高考文科数学分类汇编专题八立体几何 13页

‎《2018年高考文科数学分类汇编》‎ 第八篇：立体几何 一、 选择题 ‎1.【2018全国一卷5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A． B． C． D．‎ ‎2.【2018全国一卷9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 A． B． C．3 D．2‎ ‎3.【2018全国一卷10】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 A． B． C． D．‎ ‎4.【2018全国二卷9】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A． B． C． D．‎ ‎5.【2018全国三卷3】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ‎6.【2018全国三卷12】设是同一个半径为4的球的球面上四点，‎ 为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 A． B． C． D． ‎ ‎7.【2018北京卷6】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎ ‎ 第7题图 第8题图 ‎8.【2018浙江卷3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎9.【2018浙江卷8】已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则 A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1‎ ‎10.【2018上海卷15】《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）‎ ‎（A）4 （B） 8（C）12 （D）16‎ 一、 填空题 ‎1.【2018全国二卷16】已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．‎ ‎2.【2018天津卷11】如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．‎ ‎3.【2018江苏卷10】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．‎ 三、解答题 ‎1.【2018全国一卷18】如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．‎ ‎2.【2018全国二卷19】如图，在三棱锥中，，，为的中点．‎ ‎ （1）证明：平面；‎ ‎ （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．‎ ‎3.【2018全国三卷19】如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．‎ ‎4.【2018北京卷18】如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：PE⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.‎ ‎5.【2018天津卷17】如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．‎ ‎（Ⅰ）求证：AD⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．‎ ‎6.【2018江苏卷15】在平行六面体中，．‎ 求证：（1）平面；‎ ‎（2）平面平面．‎ ‎7.【2018江苏卷22（附加题）】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．‎ ‎（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；‎ ‎（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．‎ ‎8.【2018浙江卷19】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．‎ ‎（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；‎ ‎（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．‎ ‎9.【2018上海卷17】已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2‎ ‎（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；‎ ‎（2）设PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.‎ 参考答案 一、 选择题 ‎1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.B 7.C 8.C 9.D 10.D 二、 填空题 ‎1. 2. 3. ‎ 三、 解答题 ‎1.解：（1）由已知可得，=90°，．‎ 又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD．‎ 又AB平面ABC，‎ 所以平面ACD⊥平面ABC．‎ ‎（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．‎ 又，所以．‎ 作QE⊥AC，垂足为E，则．‎ 由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．‎ 因此，三棱锥的体积为 ‎．‎ ‎2解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．‎ 连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．‎ 由知，OP⊥OB．‎ 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．‎ ‎（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．‎ 故CH的长为点C到平面POM的距离．‎ 由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．‎ 所以OM=，CH==．‎ 所以点C到平面POM的距离为．‎ ‎3.解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．‎ 因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．‎ 因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．‎ 又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．‎ 而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．‎ ‎（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．‎ 证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．‎ 连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．‎ MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．‎ ‎4.解：（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.‎ ‎∵底面为矩形，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.‎ ‎∵平面平面，∴平面.‎ ‎∴.又，‎ ‎∴平面，∴平面平面.‎ ‎（Ⅲ）如图，取中点，连接.‎ ‎∵分别为和的中点，∴，且.‎ ‎∵四边形为矩形，且为的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，且，∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴.‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎5.解：（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．‎ ‎（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．‎ 在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．‎ 在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．‎ 在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．‎ 所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．‎ ‎（Ⅲ）解：连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．‎ 在Rt△CAD中，CD==4．‎ 在Rt△CMD中，．‎ 所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．‎ ‎6.证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．‎ 因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，‎ 所以AB∥平面A1B1C．‎ ‎（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．‎ 又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，‎ 因此AB1⊥A1B．‎ 又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，‎ 所以AB1⊥BC．‎ 又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，‎ 所以AB1⊥平面A1BC．‎ 因为AB1平面ABB1A1，‎ 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．‎ ‎7.解：如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O−xyz．‎ 因为AB=AA1=2，‎ 所以．‎ ‎（1）因为P为A1B1的中点，所以，‎ 从而，‎ 故．‎ 因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为．‎ ‎（2）因为Q为BC的中点，所以，‎ 因此，．‎ 设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，‎ 则即 不妨取，‎ 设直线CC1与平面AQC1所成角为，‎ 则，‎ 所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．‎ ‎8.解：方法一：‎ ‎（Ⅰ）由得，所以.‎ 故.‎ 由，得，‎ 由得，‎ 由，得，所以，故.‎ 因此平面.‎ ‎（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.‎ 由平面得平面平面，‎ 由得平面，‎ 所以是与平面所成的角.‎ 由得，‎ 所以，故.‎ 因此，直线与平面所成的角的正弦值是.‎ 方法二：‎ ‎（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.‎ 由题意知各点坐标如下：‎ 因此[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ 由得.‎ 由得.‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）设直线与平面所成的角为.‎ 由（Ⅰ）可知 设平面的法向量.‎ 由即可取.‎ 所以.‎ 因此，直线与平面所成的角的正弦值是.‎ ‎9.解：(1)依题意可知：圆锥的高度为，‎ 所以其体积为：。‎ ‎(2)依题意可知:平面,则,。‎ 而，则，即、、两两相互垂直。‎ 所以可以以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如图的空间直角坐标系。则，，‎ 为线段中点，，，。‎ 则直线与的夹角的余弦值为：‎ ‎，‎ 解得：‎