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- 2021-05-14 发布
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第56课 立体几何中的翻折问题
1.(2019东城一模)如图,在边长为的正三角形中,,,分别为,,上的点,且满足.将沿折起到的位置,使平面平面,连结,.(如图)
(1)若为中点,求证:∥平面;
(2)求证:.
证明:(1)取中点,连结.
在中,分别为的中点,
∴∥,且.
∴∥,且,
∴∥,且.
∴四边形为平行四边形,∴∥.
又∵平面,且平面,
∴∥平面.
(2) 取中点,连结.
∴,而,
即是正三角形.
又∵, ∴.
∴在图2中有.
∵平面平面,平面平面,
∴⊥平面.
又平面,∴⊥.
2.(2019海淀一模)已知菱形中,, (如图1所示),将菱形沿对角线翻折,使点翻折到点的位置(如图2所示),点,,分别是,,的中点.
(1)证明: //平面;
(2)证明:;
(3)当时,求线段的长.
证明:(1)∵点分别是的中点,
又平面,平面,
∴平面.
(2)在菱形中,设为的交点,
则.
∴ 在三棱锥中,
又
∴ 平面.
又平面,∴.
(3)连结.
在菱形中,,
∴ 是等边三角形,
∵ 为中点,
又 ,.
∴平面,即平面.
又 平面,∴ .
3.(2019汕头二模)如图,在边长为4的菱形中,,点、分别在边、上.点与点、不重合,,,沿将翻折到的位置,使平面平面.
(1)求证:平面;
(2)记三棱锥的体积为,四棱锥的体积为,且,求此时线段的长.
【解析】(1)证明:在菱形中,
∵平面⊥平面,
平面平面,且平面,
∴平面,
∵平面,∴.
∵,∴平面.
(2)设.
由(1)知,平面,
∴为三棱锥及四棱锥的高,
4.(2019西城一模)如图,矩形中,,.,分别在线段和上,∥,将矩形沿折起.记折起后的矩形为,且平面平面.
(1)求证:∥平面;
(2)若,求证:;
(3)求四面体体积的最大值.
【解析】(1)证明:∵四边形,都是矩形,
∴ 四边形是平行四边形,
∵ 平面,∴ ∥平面.
(2)证明:设.
∵平面平面,且,
∴ 平面, ∴ .
又 , ∴四边形为正方形,
∴ 平面, ∴ .
(3)设,则,其中.
由(1)得平面,
∴四面体的体积为
当且仅当,即时,取等号,
∴时,四面体的体积最大.