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  • 2021-05-14 发布

三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 立体几何中的翻折问题 文

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第56课 立体几何中的翻折问题 ‎ ‎1.(2019东城一模)如图,在边长为的正三角形中,,,分别为,,上的点,且满足.将沿折起到的位置,使平面平面,连结,.(如图)‎ ‎(1)若为中点,求证:∥平面;‎ ‎(2)求证:.‎ 证明:(1)取中点,连结.‎ 在中,分别为的中点,‎ ‎ ∴∥,且. ‎ ‎ ∴∥,且,‎ ‎ ∴∥,且. ‎ ‎ ∴四边形为平行四边形,∴∥. ‎ ‎ 又∵平面,且平面,‎ ‎ ∴∥平面. ‎ ‎(2) 取中点,连结.‎ ‎∴,而,‎ 即是正三角形. ‎ 又∵, ∴. ‎ ‎∴在图2中有. ‎ ‎∵平面平面,平面平面,‎ ‎∴⊥平面. ‎ 又平面,∴⊥. ‎ ‎2.(2019海淀一模)已知菱形中,, (如图1所示),将菱形沿对角线翻折,使点翻折到点的位置(如图2所示),点,,分别是,,的中点.‎ ‎(1)证明: //平面;‎ ‎(2)证明:;‎ ‎(3)当时,求线段的长.‎ 证明:(1)∵点分别是的中点,‎ ‎ 又平面,平面,‎ ‎ ∴平面. ‎ ‎ (2)在菱形中,设为的交点,‎ ‎     则. ‎ ‎   ∴ 在三棱锥中,‎ ‎    又  ‎ ‎∴ 平面. ‎ ‎     又平面,∴.‎ ‎   (3)连结.‎ 在菱形中,,‎ ‎     ∴ 是等边三角形,‎ ‎     ∵ 为中点,‎ ‎ 又 ,.‎ ‎ ∴平面,即平面.‎ ‎ 又 平面,∴ .‎ ‎3.(2019汕头二模)如图,在边长为4的菱形中,,点、分别在边、上.点与点、不重合,,,沿将翻折到的位置,使平面平面.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)记三棱锥的体积为,四棱锥的体积为,且,求此时线段的长.‎ ‎【解析】(1)证明:在菱形中,‎ ‎∵平面⊥平面,‎ 平面平面,且平面,‎ ‎∴平面, ‎ ‎∵平面,∴. ‎ ‎∵,∴平面.‎ ‎(2)设.‎ 由(1)知,平面, ‎ ‎∴为三棱锥及四棱锥的高, ‎ ‎4.(2019西城一模)如图,矩形中,,.,分别在线段和上,∥,将矩形沿折起.记折起后的矩形为,且平面平面.‎ ‎(1)求证:∥平面;‎ ‎(2)若,求证:; ‎ ‎(3)求四面体体积的最大值.‎ ‎【解析】(1)证明:∵四边形,都是矩形,‎ ‎ ∴ 四边形是平行四边形, ‎ ‎ ∵ 平面,∴ ∥平面.‎ ‎(2)证明:设.‎ ‎∵平面平面,且, ‎ ‎∴ 平面, ∴ . ‎ 又 , ∴四边形为正方形,‎ ‎∴ 平面, ∴ . ‎ ‎(3)设,则,其中.‎ 由(1)得平面,‎ ‎∴四面体的体积为 当且仅当,即时,取等号,‎ ‎∴时,四面体的体积最大. ‎