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- 2021-05-14 发布
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浙江高考历年真题之解析几何大题
(教师版)
1、(2005年)如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,长轴的长为4,左准线与x轴的交点为M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线:x=m(|m|>1),P为上的动点,使
最大的点P记为Q,求点Q的坐标(用m表示).
解析:(Ⅰ)设椭圆方程为,半焦距为,
则 ,
,
(Ⅱ) 设,当时,;
当时,,只需求的最大值即可
设直线的斜率,直线的斜率,
当且仅当时,最大,
2、(2006年)如图,椭圆=1(a>b>0)与过点A(2,0)、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=。
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF2的中点,求证:∠ATM=∠AFT。
解析:(Ⅰ)过 A、B的直线方程为
因为由题意得有惟一解,
即有惟一解,
所以故=0
又因为e,即 , 所以
从而得 故所求的椭圆方程为
(Ⅱ)由(Ⅰ)得, 所以 ,从而M(1+,0)
由 ,解得 因此
因为,又,,得
,因此,
3、(2007年)如图,直线与椭圆交于两点,记的面积为.
(I)求在,的条件下,的最大值;
(II)当,时,求直线的方程.
解析:(I)设点的坐标为,点的坐标为.
由,解得
所以,当且仅当时,.S取到最大值1.
(Ⅱ)解:由得
①
|AB|= ②
又因为O到AB的距离 所以 ③
③代入②并整理,得,解得,,
代入①式检验,△>0,故直线AB的方程是
或或或.
4、(2008年)已知曲线C是到点P()和到直线距离相等的点的轨迹。
是过点Q(-1,0)的直线,M是C上(不在上)的动点;A、B在上,
轴(如图)。
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)求出直线的方程,使得为常数。
解析:(Ⅰ)设为上的点,则,
到直线的距离为.
由题设得.化简,得曲线的方程为.
(Ⅱ)解法一:
设,直线,则,从而.
A
B
O
Q
y
x
l
M
在中,因为,.
所以 .
,.
当时,,
从而所求直线方程为.
解法二:设,直线,则,从而
.过垂直于的直线.
A
B
O
Q
y
x
l
M
H
l1
因为,所以,
.
当时,,
从而所求直线方程为.
5、(2009年)已知椭圆:的右顶点为,过的
焦点且垂直长轴的弦长为.
(I)求椭圆的方程;
(II)设点在抛物线:上,在点处的切线与交于
点.当线段的中点与的中点的横坐标相等时,求的最小值.
O
x
y
A
P
M
N
解析:(Ⅰ)解:由题意,得从而
因此,所求的椭圆方程为.
(Ⅱ)解:如图,设,
则抛物线在点处的切线斜率为.
直线的方程为:.
将上式代入椭圆的方程中,得.
即. ①
因为直线与椭圆有两个不同的交点,
所以①式中的. ②
设线段的中点的横坐标是,则.
设线段的中点的横坐标是,则.
由题意,得,即. ③
由③式中的,得,或.
当时,.
则不等式②不成立,所以.
当时,代入方程③得,
将代入不等式②,检验成立.
所以,的最小值为1.
6、(2010年)已知,直线椭圆
分别为椭圆C的左、右焦点.
(I)当直线过右焦点F2时,求直线的方程;
(II)设直线与椭圆C交于A,B两点,,的重心分
别为G,H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.
解析:(Ⅰ)解:因为直线经过,所以
又因为所以故直线的方程为
(Ⅱ)解:设,
由消去得:
则由,知
且有
由于故O为F1F2的中点,
由,可知
设M是GH的中点,则
由题意可知,
好
即
而
所以即
又因为所以所以的取值范围是(1,2)。
7、(2011年)已知抛物线=,圆的圆心为点M。
(Ⅰ)求点M到抛物线的准线的距离;
(Ⅱ)已知点P是抛物线上一点(异于原点),过点P作圆的两条切线,交抛物线于A,B两点,若过M,P两点的直线垂足于AB,求直线的方程.
解析:
8、(2012年)如图,椭圆的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为,不过原点O的直线与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求△面积取最大值时直线的方程。
解析:
9、(2013年)如图,点是椭圆
的一个顶点,的长轴是圆的直径,是过点
且互相垂直的两条直线,其中交于两点,交于另一点.
求椭圆的方程;
求面积取最大值时直线的方程.
(1)由题意得
∴椭圆的方程为
(2)设
由题意知直线的斜率存在,不妨设其为,则直线的方程为
故点到直线的距离为,又圆:,
∴
又,∴直线的方程为
由,消去,整理得,
故,代入的方程得
∴
设△的面积为,则
∴
当且仅当,即时上式取等号。
∴当时,△的面积取得最大值,
此时直线的方程为
10、(2014年)如图,设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点,且点在第一象限.
已知直线的斜率为,用表示点的坐标;
若过原点的直线与垂直,证明:点到直线的距离的最大值为.
(1)方法1:设直线l的方程为 ,由 ,消去y得
由于直线l与椭圆C只有一个公共点P,故△=0,即,解得点P的坐标为
又点P在第一象限,故点P的坐标为
方法2:作变换 ,则椭圆C:变为圆 :
切点 变为点 ,切线( 变为 。
在圆 中设直线 的方程为( ) ,
由 解得
即 ,由于 ,
所以 ,得 ,
即 代入得 即,
利用逆变换代入即得:
(2)由于直线l1过原点O且与直线l垂直,故直线l1的方程为x+ky=0,所以点P到直线l1的距离
整理得:
因为,所以
当且仅当 时等号成立。
所以,点P到直线 的距离的最大值为
11、(2015年)已知椭圆=1上两个不同的点A, B关于直线y=mx+对称.
求实数m的取值范围;
求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)
解:(1)由题意,可设直线AB的方程为x=-my+n,代入椭圆方程,可得(m2+2)y2-2mny+n2-2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意,△=4m2n2-4(m2+2)(n2-2)=8(m2-n2+2)>0,
设线段AB的中点P(x0,y0),则.x0=-m×+n=,
由于点P在直线y=mx+上,∴=+,
∴,代入△>0,可得3m4+4m2-4>0,
解得m2,∴或m.
(2)直线AB与x轴交点横坐标为n,
∴S△OAB==|n|•=,
由均值不等式可得:n2(m2-n2+2)=,
∴S△AOB=,当且仅当n2=m2-n2+2,即2n2=m2+2,又∵,解得m=,
当且仅当m=时,S△AOB取得最大值为.
12、(2016年)如图,设椭圆.
(1)求直线被椭圆截得的线段长(用、表示);
(2)若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.
I)设直线被椭圆截得的线段为,由得
,
故
,.
因此
.
(II)假设圆与椭圆的公共点有个,由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点,,满足
.
记直线,的斜率分别为,,且,,.
由(I)知,
,,
故
,
所以.
由于,,得
,
因此
, ①
因为①式关于,的方程有解的充要条件是
,
所以
.
因此,任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为
,
由得,所求离心率的取值范围为.
13、 (2017年)如图,已知抛物线x2=y,点A(-,),B(,),抛物线上的点p(x,y)(-<x<).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围;
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
解:(1)设直线AP的斜率为k,
k==x-,
因为-<x<,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).
(2)联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是xQ=.
因为|PA|=(x+)=(k+1),
|PQ|=(xQ-x)=-,
所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.
令f(k)=-(k-1)(k+1)3,
因为f′(k)=-(4k-2)(k+1)2,
所以f(k)在区间(-1,)上单调递增,(,1)上单调递减,
因此当k=时,|PA|·|PQ|取得最大值.