高考数学一轮必备考情分析学案34定积分的概念与微积分基本定理 6页

‎3.4定积分的概念与微积分基本定理 考情分析 本部分主要有两种题型，一是定积分的计算，二是用定积分求平面图形的面积。高考中多以选择、填空的形式考查定积分的概念和计算以及曲边梯形面积的求法。‎ 基础知识 ‎1、定积分的定义：如果函数在区间上连续，用分点 将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，当时，和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记做：。记：=，分别叫做积分下限和积分上限，区间叫做积分区间。‎ ‎2、定积分几何意义：如果函数在区间上连续且恒有 ，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分分几何意义。‎ ‎3、定积分性质： 为常数） ‎4、微积分基本定理 一般地，如果函数是区间上的连续函数，并且，那么 注意事项 ‎1.定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．‎ ‎2. (1)常数可提到积分号外；‎ ‎(2)和差的积分等于积分的和差；‎ ‎(3)积分可分段进行．‎ ‎3.由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．‎ 题型一　定积分的计算 ‎【例1】设f(x)＝则f(x)dx等于(　　)‎ A. B. C. D. 不存在 答案：C 解析：本题画图求解，更为清晰，如图，‎ f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx ‎＝x3＋(2x－x2) ‎＝＋(4－2－2＋)＝.‎ ‎【变式1】若(2x＋)dx＝3＋ln2(a>1)，则a的值是(　　)‎ A. 2　　　B. 3‎ C. 4　　　D. 6‎ 答案：A 解析：∵(2x＋)dx＝(x2＋lnx)＝a2＋lna－(12＋ln1)＝a2－1＋lna.‎ 且(2x＋)dx＝3＋ln2.‎ ‎∴a2－1＋lna＝3＋ln2，∴a＝2，故选A.‎ 题型二　利用定积分求面积 ‎【例2】　如图，已知幂函数y＝xa的图象过点P(2,4)，则图中阴影部分的面积为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：B 解析：将(2,4)代入y＝xa，得a＝2，所以阴影部分的面积S＝x2dx＝，选B项．‎ ‎【变式2】 求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．‎ 解　由得交点A(1,1)；‎ 由得交点B(3，－1)．‎ 故所求面积S＝dx＋dx ‎＝＋ ‎＝＋＋＝.‎ 题型三　定积分的应用 ‎【例3】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图，直线y＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为，求f(x)．‎ 解：由f(0)＝0得c＝0，‎ f′(x)＝3x2＋2ax＋b.‎ 由f′ (0)＝0得b＝0，‎ ‎∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，‎ 由∫[－f(x)]dx＝得a＝－3.‎ ‎∴f(x)＝x3－3x2.‎ ‎【变式3】 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是(　　)．‎ A．在t1时刻，甲车在乙车前面 B．t1时刻后，甲车在乙车后面 C．在t0时刻，两车的位置相同 D．t0时刻后，乙车在甲车前面 解析　可观察出曲线v甲，直线t＝t1与t轴围成的面积大于曲线v乙，直线t＝t1与t轴围成的面积，故选A.‎ 答案　A 巩固提高 一、选择题 ‎1.曲线y＝x2－2x与直线x＋y＝0所围成的封闭图形的面积为(　　)‎ A.B. C. D. 答案：D 解析：如图，A(1，－1)，故所求面积为S＝(－x－x2＋2x)dx＝(x2－x3)＝－＝‎ eq f(1,6).‎ ‎2.。曲线y＝sinx(－π≤x≤2π)与x轴所围成的封闭区域的面积为(　　)‎ A. 0　　　B. 2‎ C. －2　　　D. 6‎ 答案：D 解析：先求[0，π]上的面积：‎ ‎|sinxdx|＝|－cosx||＝2.‎ 因为三块区域的面积相等，都是2，故总面积为6.‎ ‎3 由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为 (　　)‎ A.B. C.D. 答案：A 解析：由得x＝0或x＝1，由图易知封闭图形的面积＝2(x2－x3)dx＝2＝，故选A.‎ ‎4.如图，过点A(6,4)作曲线f(x)＝的切线l；‎ ‎(1)求切线l的方程；‎ ‎ (2)求切线l、x轴及曲线f(x)＝所围成的封闭图形的面积S.‎ 解：(1)∵f′(x)＝，∴f′(6)＝，‎ ‎∴切线l的方程为：y－4＝(x－6)，即x－2y＋2＝0.‎ ‎(2)令f(x)＝0，则x＝2，‎ 令y＝x＋1＝0，则x＝－2.‎ ‎∴S＝－2(x＋1)dx－dx ‎＝(x2＋x)－(4x－8)＝.‎