高考数学试卷全国理科 8页

2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分. （1）设集合 2{ | 4 3 0}A x x x    ， { | 2 3 0}B x x   ，则 A B  （A） 3( 3, )2   （B） 3( 3, )2  （C） 3(1, )2 （D） 3( ,3)2 （2）设 (1 i) 1 ix y   ，其中 x，y 是实数，则 i =x y （A）1（B） 2 （C） 3 （D）2 （3）已知等差数列{ }na 前 9 项的和为 27， 10 =8a ，则 100 =a （A）100（B）99（C）98（D）97 （4）某公司的班车在 7:00，8:00，8:30 发车，学.科网小明在 7:50 至 8:30 之间 到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分 钟的概率是 （A） 3 1 （B） 2 1 （C） 3 2 （D） 4 3 （5）已知方程 1 3 2 2 2 2     nm y nm x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离 为 4，则 n 的取值范围是 （A）(–1,3) （B）(–1, 3) （C）(0,3) （D）(0, 3) （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的 半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是 （A）17π（B）18π（C）20π（D）28π （7）函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为 （A） （B） （C） （D） （8）若 10 1a b c   ， ，则 （A） c ca b （B） c cab ba （C） log logb aa c b c （D） log loga bc c （9）执行右面的程序图，如果输入的 0 1 1x y n  ， ， ，则输出 x，y 的值满 足（A） 2y x （B） 3y x （C） 4y x （D） 5y x (10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的标准线于 D、E 两 点.已知|AB|= 4 2 ，|DE|= 2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 (11)平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A，a//平面 CB1D1， a  平面 ABCD=m， a  平面 ABA1B1=n，则 m、n 所成角的正弦值为 (A) 3 2 (B) 2 2 (C) 3 3 (D) 1 3 （12）.已知函数 ( ) sin( )( 0 ),2 4f x x+ x        ， 为 ( )f x 的零点， 4x  为 ( )y f x 图像的对称轴，且 ( )f x 在 5 18 36       ， 单调，则 的最大值为 （A）11 （B）9 （C）7 （D）5 第 II 卷 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 (13)设向量 a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则 m=__________. (14) 5(2 )x x 的展开式中，x3 的系数是_________.（用数字填写答案） （15）设等比数列 满足 a1+a3=10，a2+a4=5，则 a1a2…an 的最大值为____________。 （16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg， 乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的 利润为 900 元。该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的 条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为__________元。 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本题满分为 12 分） △ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别别为 a，b，c，已知 2cos ( cos cos ) .C a B+b A c （I）求 C； （II）若 7,c ABC  的面积为 3 3 2 ，求 ABC 的周长． （18）（本题满分为 12 分） 如图，在已 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF=2FD， 90AFD   ，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60 ． （I）证明平面 ABEF  EFDC； （II）求二面角 E-BC-A 的余弦值． （19）（本小题满分 12 分） 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购 进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备 件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为 此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概 率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时 购买的易损零件数. （I）求 X 的分布列； （II）若要求 ( ) 0.5P X n  ，确定 n 的最小值； （III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 19n  与 20n  之中选其 一，应选用哪个？ 20. （本小题满分 12 分） 设圆 2 2 2 15 0x y x    的圆心为 A，直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. （I）证明 EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程； （II）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M,N 两点，学科&网过 B 且与 l 垂直 的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围. （21）（本小题满分 12 分） 已知函数 2)1()2()(  xaexxf x 有两个零点. (I)求 a 的取值范围； (II)设 x1，x2 是 的两个零点，证明： +x2<2. 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请 写清题号 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O 为圆心， 2 1 OA 为半径作圆. (I)证明：直线 AB 与⊙O 相切； (II)点 C,D 在⊙O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明：AB∥CD. （23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数，a＞0）。 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ=4cosθ。 （I）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； （II）直线 C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足 tanα0=2，若曲线 C1 与 C2 的公共点 都在 C3 上，求 a。 （24）（本小题满分 10 分），选修 4—5：不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣. （I）在答题卡第（24）题图中画出 y= f(x)的图像； （II）求不等式∣f(x)∣﹥1 的解集。 2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. （1）D（2）B（3）C （4）B（5）A （6）A （7）D（8）C（9）C（10）B（11）A（12）B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 (13) 2 (14)10 （15）64 （16） 216000 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分为 12 分） 解：（I）由已知及正弦定理得，  2cosC sin cos sin cos sin C      ， 即  2cosCsin sin C    ．故 2sin CcosC sin C ． 可得 1cosC 2  ，所以 C 3  ． （II）由已知， 1 3 3sin C2 2ab  ．又 C 3  ，所以 6ab  ． 由已知及余弦定理得， 2 2 2 cosC 7a b ab   ．故 2 2 13a b  ，从而  2 25a b  ． 所以 C 的周长为5 7 ． （18）（本小题满分为 12 分） 解：（I）由已知可得 F DF  ， F F   ，所以 F  平面 FDC ． 又 F  平面 F ，故平面 F  平面 FDC ． （II）过 D 作 DG F  ，垂足为 G ，由（I）知 DG  平面 F ． 以 G 为坐标原点， GF  的方向为 x 轴正方向， GF  为单位长度，建立如图所示的空 间直角坐标系 G xyz ． 由（I）知 DF  为二面角 D F    的平面角，故 DF 60    ，则 DF 2 ， DG 3 ，可得  1,4,0 ，  3,4,0  ，  3,0,0  ，  D 0,0, 3 ． 由已知， // F  ，所以 // 平面 FDC ． 又平面 CD  平面 FDC DC  ，故 //CD ， CD// F ． 由 // F  ，可得   平面 FDC ，所以 C F  为二面角 C F   的平面角， C F 60    ．从而可得  C 2,0, 3 ． 所以  C 1,0, 3  ，  0,4,0  ，  C 3, 4, 3    ，  4,0,0   ． 设  , ,n x y z 是平面 C  的法向量，则 C 0 0 n n        ，即 3 0 4 0 x z y     ， 所以可取  3,0, 3n   ． 设 m 是平面 CD 的法向量，则 C 0 0 m m        ， 同 理 可 取  0, 3,4m  ． 则 2 19cos , 19 n mn m n m         ． 故二面角 C     的余弦值为 2 19 19  ． （19）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数 为 8，9，10，11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2，从而 04.02.02.0)16( XP ； 16.04.02.02)17( XP ； 24.04.04.02.02.02)18( XP ； 24.02.04.022.02.02)19( XP ； 2.02.02.04.02.02)20( XP ； 08.02.02.02)21( XP ； 04.02.02.0)22( XP . 所以 X 的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 04.0 16.0 24.0 24.0 2.0 08.0 04.0 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 44.0)18( XP ， 68.0)19( XP ，故 n 的最小值为 19. （Ⅲ）记Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当 19n 时， 08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019 EY 404004.0)500320019(  .学科&网 当 20n 时， 04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020 EY 4080 . 可知当 19n 时所需费用的期望值小于 20n 时所需费用的期望值，故应选 19n . 20.解：（Ⅰ）因为 |||| ACAD  ， ACEB // ，故 ADCACDEBD  ， 所以 |||| EDEB  ，故 |||||||||| ADEDEAEBEA  . 又圆 A 的标准方程为 16)1( 22  yx ，从而 4|| AD ，所以 4||||  EBEA . 由题设得 )0,1(A ， )0,1(B ， 2|| AB ，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为： 134 22  yx （ 0y ）. （Ⅱ）当l 与 x 轴不垂直时，设l 的方程为 )0)(1(  kxky ， ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN . 由      134 )1( 22 yx xky 得 01248)34( 2222  kxkxk . 则 34 8 2 2 21  k kxx ， 34 124 2 2 21   k kxx .所以 34 )1(12||1|| 2 2 21 2   k kxxkMN . 过点 )0,1(B 且与 l 垂直的直线 m ： )1(1  xky ， A 到 m 的距离为 1 2 2 k ，所 以 1 344) 1 2(42|| 2 2 2 2 2     k k k PQ .故四边形 MPNQ 的面积 34 1112||||2 1 2  kPQMNS . 可得当l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为 )38,12[ . 当l 与 x 轴垂直时，其方程为 1x ， 3|| MN ， 8|| PQ ，四边形 MPNQ 的面积 为 12.综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为 )38,12[ . （21）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ） '( ) ( 1) 2 ( 1) ( 1)( 2 )x xf x x e a x x e a       ． （i）设 0a  ，则 ( ) ( 2) xf x x e  ， ( )f x 只有一个零点． （ii）设 0a  ，则当 ( ,1)x  时， '( ) 0f x  ；当 (1, )x  时， '( ) 0f x  ．所 以 ( )f x 在 ( ,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增． 又 (1)f e  ， (2)f a ，取b 满足 0b  且 ln 2 ab  ，则 2 2 3( ) ( 2) ( 1) ( ) 02 2 af b b a b a b b       ，故 ( )f x 存在两个零点． （iii）设 0a  ，由 '( ) 0f x  得 1x  或 ln( 2 )x a  ． 若 2 ea   ，则 ln( 2 ) 1a  ，故当 (1, )x  时， '( ) 0f x  ，因此 ( )f x 在 (1, ) 上 单调递增．又当 1x  时， ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 不存在两个零点．学科&网 若 2 ea   ， 则 ln( 2 ) 1a  ， 故 当 (1,ln( 2 ))x a  时 ， '( ) 0f x  ； 当 (ln( 2 ), )x a   时 ， '( ) 0f x  ． 因 此 ( )f x 在 (1,ln( 2 ))a 单 调 递 减 ， 在 (ln( 2 ), )a  单调递增．又当 1x  时， ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 不存在两个零点． 综上， a 的取值范围为 (0, ) ． （Ⅱ）不妨设 1 2x x ，由（Ⅰ）知 1 2( ,1), (1, )x x    ， 22 ( ,1)x   ， ( )f x 在 ( ,1) 上单调递减，所以 1 2 2x x  等价于 1 2( ) (2 )f x f x  ，即 2(2 ) 0f x  ． 由于 22 2 2 2 2(2 ) ( 1)xf x x e a x     ，而 2 2 2 2 2( ) ( 2) ( 1) 0xf x x e a x     ，所 以 2 22 2 2 2(2 ) ( 2)x xf x x e x e     ． 设 2( ) ( 2)x xg x xe x e    ，则 2'( ) ( 1)( )x xg x x e e   ． 所以当 1x  时， '( ) 0g x  ，而 (1) 0g  ，故当 1x  时， ( ) 0g x  ． 从而 2 2( ) (2 ) 0g x f x   ，故 1 2 2x x  ． 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请 写清题号 （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）设 E 是 AB 的中点，连结OE ， 因为 , 120OA OB AOB    ，所以OE AB ， 60AOE  ． 在 Rt AOE 中， 1 2OE AO ，即 O 到直线 AB 的距离等于圆 O 的半径，所 以直线 AB 与⊙O 相切． （Ⅱ）因为 2OA OD ，所以O 不是 , , ,A B C D 四点所在圆的圆心，设 'O 是 , , ,A B C D 四点所在圆的圆心，作直线 'OO ． 由已知得 O 在线段 AB 的垂直平分线上，又 'O 在线段 AB 的垂直平分线上，所以 'OO AB ． 同理可证， 'OO CD ．所以 //AB CD ． （23）（本小题满分 10 分） 解：⑴ cos 1 sin x a t y a t     （ t 均为参数） ∴  22 21x y a   ① ∴ 1C 为以  0 1， 为圆心， a 为半径的圆．方程为 2 2 22 1 0x y y a     ∵ 2 2 2 sinx y y    ， ∴ 2 22 sin 1 0a      即为 1C 的极坐标方程 ⑵ 2 4cosC  ： 学科&网 两边同乘  得 2 2 2 24 cos cosx y x         ， 2 2 4x y x   即  2 22 4x y   ② 3C ：化为普通方程为 2y x 由题意： 1C 和 2C 的公共方程所在直线即为 3C ①—②得： 24 2 1 0x y a    ，即为 3C ∴ 21 0a  ∴ 1a  （24）（本小题满分 10 分） 解：⑴ 如图所示： ⑵   4 1 33 2 1 2 34 2 x x f x x x x x             ， ≤ ， ， ≥   1f x  当 1x ≤ ， 4 1x   ，解得 5x  或 3x  1x ∴ ≤ 当 31 2x   ， 3 2 1x   ，解得 1x  或 1 3x  11 3x  ∴ 或 31 2x  当 3 2x≥ ， 4 1x  ，解得 5x  或 3x  3 32 x ∴ ≤ 或 5x  综上， 1 3x  或1 3x  或 5x    1f x ∴ ，解集为    1 1 3 53        ， ， ，