1956年全国高考数学试题及其解析 3页

‎1956年全国高考数学试题及其解析 下列各题顺次解答,不必抄题（但须写明题号,例如:Ⅰ甲、Ⅰ乙、Ⅱ、Ⅲ等）.‎ 一、甲、利用对数性质,计算lg25+lg2·lg50.‎ ‎ （log是以10为底的对数log10的记号）‎ 乙、设m是实数,求证方程2x2-(‎4m-1)x-m2-m=0的两 个根必定都是实数.‎ 丙、设M是△ABC的边AC的中点,过M作直线交AB直线于E,过B作直线平行于ME交AC直线于F.求证△AEF的面积等于△ABC的面积的一半.‎ 二、解联立方程 四、有一四棱柱体,底面ABCD为菱形,∠A抇AB=∠A抇AD（如右图）,求证平面A抇ACC挻怪庇诘酌鎋ABCD.‎ ‎ ‎ 五、若三角形的三个角成等差级数,则其中一定有一个角是60°;若这样的三角形的三边又成等比级数,则三个角都是60°,试证明之.‎ ‎ ‎ ‎1956年试题答案 一 、甲、解: ∵lg2=1-lg5,lg50=1+lg5,‎ 原式=lg25+lg2·lg50=lg25+(1-lg5)(1+lg5)=lg25+1-lg25=1.‎ 乙、解:方程的判别式Δ=(‎4m-1)2+8(m2+m)=‎24m2‎+1,‎ ‎∵ m2 ≥0 ,∴Δ>0,‎ 所以二个根全是实数.‎ 丙、解:连BM.‎ ‎△AEF的面积=△ABF的面积+△BEF的面积,‎ ‎∵ BF∥MF,‎ ‎∴ △BEF的面积=△BFM的面积,‎ ‎∴ △AEF的面积=△BAM的面积.‎ 丁、解:最大角对最大边,由余弦定律得 ‎ 37=32+42-2·3·4cosθ ‎ ‎ ‎ ∴ θ=120°. ‎ 戊、解:tanα+tanβ=-6,tanα·tanβ=7;‎ ‎ ‎ 两边分别平方,x+y=9,或x+y=16.‎ 分别与(2)联立:‎ ‎ ‎ ‎ 解方程组(Ⅰ),得 ‎ 解方程组(Ⅱ)得 ‎ ‎ ‎ 综上述,共得四组解:‎ ‎ ‎ 经检验,以上四组解均为原方程的解.‎ 三、解:令AP与BC的交点是M,‎ ‎∵ ∠APB=∠ABM.‎ ‎ ∴ △ABP∽△AMB,∴ AP·AM=AB2,(1)‎ ‎ ∵ ∠APC=∠BPM,∠PAC=∠PBM,‎ ‎ ∴ △ACP∽△BMP,∴AP·MP=PB·PC, (2)‎ ‎ (1)+(2),得 AP·AM+AP·MP=AB2+PB·PC,‎ ‎ 即 AP2=AB2+PB·PC.‎ ‎ ‎ 四、‎ 五、解:令三角形的三个角是A,B,C,‎ 由 A-B=B-C,A+B+C=180°,‎ 得 B=60°‎ 设三边的长为a,aq,aq2,则长边aq的边所对的角即为60°,‎ 根据余弦定理,‎ ‎(aq)2=a2+(aq2)2‎-2a·aq2cos60°,‎ a2q2=a2+a2q4-a2q2.‎ ‎∴ q=±1.但q=-1不合题意,‎ 于是此三角形边长各为a因而三个角都是60°.‎