高考数学试题分类汇编及答案解析个专题 68页

高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一 集合1 专题二 函数2 专题三 三角函数7 专题四 解三角形10 专题五 平面向量12 专题六 数列14 专题七 不等式18 专题八 复数21 专题九 导数及其应用23 专题十 算法初步27 专题十一 常用逻辑用语31 专题十二 推理与证明32 专题十三 概率统计33 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何43 专题十五 点、线、面的位置关系53 专题十六 平面几何初步53 专题十七 圆锥曲线与方程55 专题十八 计数原理61 专题十九 几何证明选讲62 专题二十 不等式选讲64 专题二十一 矩阵与变换65 专题二十二 坐标系与参数方程65 专题一 集合 1.（15年北京文科）若集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2.(15年广东理科) 若集合 ， ，则 A． B． C． D． 3.(15年广东文科) 若集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 4.（15年广东文科）若集合 ， ，用 表示集合中的元素个数，则 （ ） A．B． C． D． 5.（15年安徽文科）设全集 ， ， ，则 ( ) （A） （B） （C） （D） 6.（15年福建文科）若集合 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D 7.(15年新课标1文科) 1、已知集合 ，则集合 中的元素个数为( ) （A） 5 （B）4 （C）3 （D）2 8.(15年新课标2理科) 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ） （A）｛--1,0｝ （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝ （D）｛,0,，1，2｝ 9.(15年新课标2文科) 已知集合 , ,则 （ ） A． B． C． D． { }5 2x xΑ = − < < { }3 3x xΒ = − < < Α Β = { }3 2x x− < < { }5 2x x− < < { }3 3x x− < < { }5 3x x− < < { | ( 4)( 1) 0}M x x x= + + = { | ( 4)( 1) 0}N x x x= - - = M N = { }1, 4− − { }0 { }1,4 { }1,1Μ = − { }2,1,0Ν = − Μ Ν = { }0, 1− { }0 { }1 { }1,1− ( ){ }, , , 0 4,0 4,0 4 , , ,p q r s p s q s r s p q r sΕ = ≤ < ≤ ≤ < ≤ ≤ < ≤ ∈Ν且 ( ){ }F , , , 0 4,0 4 , , ,t u v w t u v w t u v w= ≤ < ≤ ≤ < ≤ ∈Ν且 ( )card Χ ( ) ( )card card FΕ + = 100 150 200 { }1 2 3 4 5 6U = ，，，，， { }1 2A = ， { }2 3 4B = ，， ( )UA C B = { }1 2 5 6，，， { }1 { }2 { }1 2 3 4，，， { }2 2M x x= − ≤ < { }0,1,2N = M N { }0 { }1 { }0,1,2 { }0,1 { 3 2, }, {6,8,10,12,14}A x x n n N B= = + ∈ = A B { }| 1 2A x x= − < < { }| 0 3B x x= < < A B = ( )1,3− ( )1,0− ( )0,2 ( )2,3 10.(15年陕西理科) 设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 11.(15陕西文科) 集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 12.(15年天津理科) 已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合 （A） （B） （C） （D） 13.(15年天津理科) 已知全集 ,集合 ,集合 ,则集合 （ ） (A) (B) (C) (D) 14.(15年浙江理科) 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 15.(15年山东理科) 已知集合A= ，则 (A)(1,3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4) 16.(15年江苏) 已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为_______. 专题二 函数 1.（15年北京理科）如图，函数 的图象为折线 ，则不等式 的解集是 A． B． C． D． 2.（15年北京理科）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车 2{ | }M x x x= = { | lg 0}N x x= ≤ M N = [0,1] (0,1] [0,1) ( ,1]−∞ 2{ | }M x x x= = { | lg 0}N x x= ≤ M N = [0,1] (0,1] [0,1) ( ,1]−∞ { }1,2,3,4,5,6,7,8U = { }2,3,5,6A = { }1,3,4,6,7B = UA B = { }2,5 { }3,6 { }2,5,6 { }2,3,5,6,8 {1,2,3,4,5,6}U = {2,3,5}A = {1,3,4,6}B = A U B =（ ） {2,5} {1,4,6} {2,3,5} 2{ 2 0}P x x x= − ≥ { 1 2}Q x x= < ≤ ( )R P Q = [0,1) (0,2] (1,2) [1,2] 2{ | 4 3 0}, { | 2 4}x x x B x x− + < = < < A B = { }3,2,1=A { }5,4,2=B BA  ( )f x ACB ( ) ( )2log 1f x x +≥ { }| 1 0x x− < ≤ { }| 1 1x x− ≤ ≤ { }| 1 1x x− < ≤ { }| 1 2x x− < ≤ A B O x y -1 2 2 C 在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 3.（15年北京理科）设函数 ①若 ，则 的最小值为； ②若 恰有2个零点，则实数的取值范围是． 4.（15年北京文科）下列函数中为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 5.(15年北京文科)， ， 三个数中最大数的是． 6.（15年广东理科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A． B． C． D． 7.（15年广东理科）设 ，函数 。 (1) 求 的单调区间 ； (2) 证明： 在 上仅有一个零点； (3) 若曲线 在点处的切线与轴平行，且在点 处的切线与直线 平行（是坐标原点）,证明： ． ( ) ( )( ) 2 1 4 2 1. x a xf x x a x a x  − <=  − − ‚ ‚ ‚ ≥ 1a = ( )f x ( )f x 2 siny x x= 2 cosy x x= lny x= 2 xy −= 1 23 2log 5 xexy += xxy 1+= x xy 2 12 += 21 xy += 1a > aexxf x −+= )1()( 2 )(xf )(xf ( ),−∞ +∞ ( )y f x= ( , )M m n OP 123 −−≤ eam 8.（15年广东文科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 9.（15年安徽文科）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) （A）y=lnx （B） （C）y=sinx （D）y=cosx 10.10.（15年安徽文科）函数 的图像如图所示，则下列结论成立的是( ) （A）a>0，b<0，c>0，d>0 （B）a>0，b<0，c<0，d>0 （C）a<0，b<0，c<0，d>0 （D）a>0，b>0，c>0，d<0 11.（15年安徽文科） 。 12．（15年安徽文科）在平面直角坐标系 中，若直线 与函数 的图像只有一个交点，则的值为。 13.（15年福建理科）下列函数为奇函数的是( ) A． B． C． D． 14.（15年福建理科）若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数的取值范围是． 15.（15年福建文科）下列函数为奇函数的是( ) A． B． C． D． 16.（15年福建文科）若函数 满足 ，且 在 单调递增，则实数的最小值等于_______． 17.（15年新课标1理科）若函数f(x)=xln（x+ ）为偶函数，则a= 18.（15年新课标2理科）设函数 , ( ) （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 2 siny x x= + 2 cosy x x= − 12 2 x xy = + sin 2y x x= + 2 1y x= + ( ) 3 2f x ax bx cx d= + + + =−+ −1)2 1(2lg22 5lg xOy ay 2= 1|| −−= axy y x= siny x= cosy x= x xy e e−= − ( ) 6, 2, 3 log , 2,a x xf x x x − + ≤=  + > 0a > 1a ≠ [ )4,+∞ y x= xy e= cosy x= x xy e e−= − ( ) 2 ( )x af x a R−= ∈ (1 ) (1 )f x f x+ = − ( )f x [ , )m +∞ 2a x+ 2 1 1 log (2 ), 1, ( ) 2 , 1,x x x f x x− + − <=  ≥ 2( 2) (log 12)f f− + = 19.（15年新课标2理科）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运 动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为 20.（15年新课标2文科）如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记 ,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数 ,则的图像大致为（ ） A． B． C． D． 21.（15年新课标2文科）设函数 ,则使得 成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 22.（15年新课标2文科）已知函数 的图像过点（-1,4）,则a=． BOP x∠ = ( )f x 2 1( ) ln(1 | |) 1f x x x = + − + ( ) (2 1)f x f x> − 1 ,13      ( )1, 1,3  −∞ +∞   1 1,3 3  −   1 1, ,3 3    −∞ − +∞       ( ) 3 2f x ax x= − 23.（15年陕西文科）设 ，则 （ ） A．B． C． D． 24.（15年陕西文科）设 ，则 （ ） A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数 C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数 25.（15年陕西文科）设 ，若 ， ， ，则下列关系式中正确的是（ ） A． B． C． D． 26.（15年天津理科）已知定义在上的函数 （为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为 （A） （B） （C） （D） 27.（15年天津理科）已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 28.（15年天津理科）曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为. 29.（15年天津文科）已知定义在R上的函数 为偶函数,记 ,则 ,的大小关系为（ ） (A) (B) (C) (D) 30.（15年天津文科）已知函数 ,函数 ,则函数 的零点的个数为 (A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5 31.（15年湖南理科）设函数 ，则 是（） A.奇函数，且在 上是增函数B. 奇函数，且在 上是减函数 1 , 0( ) 2 , 0x x xf x x  − ≥=  < ( ( 2))f f − = 1 4 1 2 3 2 ( ) sinf x x x= − ( )f x = ( ) ln ,0f x x a b= < < ( )p f ab= ( )2 a bq f += 1 ( ( ) ( ))2r f a f b= + q r p= < q r p= > p r q= < p r q= > ( ) 2 1x mf x −= − ( ) ( )0.5 2(log 3), log 5 , 2a f b f c f m= = = , ,a b c a b c< < a c b< < c a b< < c b a< < ( ) ( )2 2 , 2, 2 , 2, x x f x x x  − ≤=  − > ( ) ( )2g x b f x= − − b R∈ ( ) ( )y f x g x= − 7 ,4  +∞   7, 4  −∞   70, 4      7 ,24      2y x= y x= | |( ) 2 1( )x mf x m-= - 为实数 0.5(log 3),a f= 2b (log 5),c (2 )f f m= = , ,a b c b ca < < bc a< < ba c< < bc a< < 2 2 | |, 2( ) ( 2) , 2 x xf x x x ì - £ï= í - >ïî ( ) 3 (2 )g x f x= - - y ( ) ( )f x g x= - ( ) ln(1 ) ln(1 )f x x x= + − − ( )f x (0,1) (0,1) C. 偶函数，且在 上是增函数 D. 偶函数，且在 上是减函数 32.（15年湖南理科）已知 ，若存在实数，使函数 有两个零点，则的取值范围 是. 33.（15年山东理科）要得到函数 的图象，只需将函数 的图像 (A)向左平移 个单位 (B) 向右平移 个单位 (C)向左平移 个单位 (D) 向右平移 个单位 34.（15年山东理科）设函数 则满足 的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 35.（15年山东理科）已知函数 的定义域 和值域都是 ，则 . 36.（15年江苏）已知函数 ， ，则方程 实根的个数为 专题三 三角函数 1.（15北京理科）已知函数 ． (Ⅰ) 求 的最小正周期； (Ⅱ) 求 在区间 上的最小值． 2.（15北京文科）已知函数 ． （Ⅰ）求 的最小正周期； （Ⅱ）求 在区间 上的最小值． (0,1) (0,1) 3 2 ,( ) , x x af x x x a  ≤=  > ( ) ( )g x f x b= − sin(4 )3y x π= − sin 4y x= 12 π 12 π 3 π 3 π 3 1, 1,( ) 2 , 1.x x xf x x − <=  ≥ ( )( ( )) 2 f af f a = 2[ ,1]3 [0,1] 2[ , )3 +∞ [1, )+∞ ( ) xf x a b= + ( 0, 1)a a> ≠ [ 1,0]− a b+ = |ln|)( xxf =    >−− ≤<= 1,2|4| 10,0)( 2 xx xxg 1|)()(| =+ xgxf 2( ) 2 sin cos 2 sin2 2 2 x x xf x = − ( )f x ( )f x [ π 0]− ， ( ) 2sin 2 3sin 2 xf x x= − ( )f x ( )f x 20, 3 π     3.（15年广东文科）已知 ． 求 的值； 求 的值． 4.（15年安徽文科）已知函数 （1）求 最小正周期； （2）求 在区间 上的最大值和最小值. 5.（15年福建理科）已知函数 的图像是由函数 的图像经如下变换得到：先将 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移 个单位长度. (Ⅰ)求函数 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于的方程 在 内有两个不同的解 ． （1)求实数m的取值范围； （2)证明： 6.（15年福建文科）若 ，且为第四象限角，则 的值等于（ ） A． B． C． D． 7.（15年福建文科）已知函数 ． （Ⅰ）求函数 的最小正周期； （Ⅱ）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再向下平移（ ）个单位长度后得到函数 的图象，且函数 的最大值为2． （ⅰ）求函数 的解析式； （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得 ． 8.（15年新课标1理科）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A） （B） （C） （D） tan 2α = ( )1 tan 4 πα +   ( )2 2 sin 2 sin sin cos cos2 1 α α α α α+ − − 2( ) (sin cos ) cos2f x x x x= + + ( )f x ( )f x [0, ]2 π f( )x ( ) cosg x x= ( )g x 2 p f( )x f( ) g( )x x m+ = [0,2 )p ,a b 22cos ) 1.5 ma b- = -( 5sin 13 α = − tanα 12 5 12 5 − 5 12 5 12 − ( ) 210 3sin cos 10cos2 2 2 x x xf x = + ( )f x ( )f x 6 π 0a > ( )g x ( )g x ( )g x ( )0 0g x > 3 2 − 3 2 1 2 − 1 2 9.(15年新课标1理科) 函数f(x)= 的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为 (A)（ ）,k (b)（ ）,k (C)（ ）,k(D)（ ）,k 10.（15年陕西理科）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 ，据此函数 可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 11.（15年陕西文科）如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin( x＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________. 3sin( )6y x k π ϕ= + + 6 π 12.（15年天津理科）已知函数 ， (I)求 最小正周期； (II)求 在区间 上的最大值和最小值. 13.（15年天津文科）已知函数 若函数 在区间 内单调递增,且函数 的图像关于直线 对称,则的值为． 14.（15年湖南理科） A. B. C. D. 10.（15年江苏）已知 ， ，则 的值为_______. 11.（15年江苏）在 中，已知 . （1）求的长； （2）求 的值. 专题四 解三角形 1.（15北京理科）在 中， ， ， ，则 ． 2.（15北京文科）在 中， ， ， ，则 ． 3.（15年广东理科）设 的内角，，的对边分别为，，，若 ， ， ，则 4.（15年广东文科）设 的内角，，的对边分别为，，．若 ， ， ，且 ，则（ ） A．B．C． D． ( ) 2 2sin sin 6f x x x π = − −   Rx∈ ( )f x ( )f x [ , ]3 4 p p- ( ) ( )sin cos 0 , ,f x x x xω ω ω= + > ∈R ( )f x ( ),ω ω− ( )f x x ω= 5 12 π 3 π 4 π 6 π tan 2α = − ( ) 1tan 7 α β+ = tan β ABC∆ 60,3,2 === AACAB C2sin ABC△ 4a = 5b = 6c = sin 2 sin A C = C∆ΑΒ 3a = 6b = 2 3 π∠Α = ∠Β = ABC∆ 3a = 1sin 2B = 6C =π C∆ΑΒ 2a = 2 3c = 3cos 2 Α = b c< 2 2 5.(15年安徽理科) 在 中， ,点D在 边上， ，求 的长。 6.（15年安徽文科）在 中， ， ， ，则 。 7.（15年福建理科）若锐角 的面积为 ，且 ，则 等于________． 8.（15年福建文科）若 中， ， ， ，则 _______． 9.(15年新课标1理科) 10.（15年新课标2理科）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。 (Ⅰ)求 ; (Ⅱ) 若 =1， = 求 和 的长. 11.（15年新课标2文科）△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC. （I）求 ； （II）若 ,求 . ABC∆ , 6, 3 24A AB AC π= = = BC AD BD= AD ABC∆ 6=AB 75=∠A 45=∠B =AC ABC∆ 10 3 5, 8AB AC= = BC ABC∆ 3AC = 045A = 075C = BC = C B ∠ ∠ sin sin AD DC 2 2 BD AC sin sin B C ∠ ∠ 60BAC∠ =  B∠ 12.(15年陕西理科) 的内角，，所对的边分别为，，．向量 与 平行． （I）求； （II）若 ， 求 的面积． 13.（15年陕西文科） 的内角 所对的边分别为 ，向量 与 平行. (I)求； (II)若 求 的面积. 14.（15年天津理科）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 的面积为 ， 则的值为. 15．（15年天津文科）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为 , （I）求a和sinC的值； （II）求 的值. 专题五 平面向量 1.（15北京理科）在 中，点，满足 ， ．若 ，则；． 2.（15北京文科）设，是非零向量，“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（15年广东理科）在平面直角坐标系 中，已知向量 ， ， 。 （1）若 ，求tan x的值 （2）若与的夹角为 ，求的值。 4.（15年广东文科）在平面直角坐标系 中，已知四边形 是平行四边形， ， ，则 （ ） C∆ΑΒ ( ), 3m a b= ( )cos ,sinn = Α Β 7a = 2b = C∆ΑΒ ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( , 3 )m a b= (cos ,sin )n A B= 7, 2a b= = ABC∆ ABC∆ , ,A B C , ,a b c ABC∆ 3 15 12,cos ,4b c A− = = − 3 15 12,cos ,4b c A− = = − cos 2 6A π +   ABC△ 2AM MC=  BN NC=  MN xAB yAC= +   a b a b⋅ =   //a b xoy 2 2,2 2m  = −     ( )sin ,cosn x x= 0, 2x π ∈   m n⊥  3 π x yΟ CDΑΒ ( )1, 2ΑΒ = − ( )D 2,1Α = D CΑ ⋅Α =  A．B．C．D． 5.（15年安徽文科） 是边长为2的等边三角形，已知向量 满足 ， ，则下列结论中正确的是。（写出所有正确结论得序号） ①为单位向量；②为单位向量；③ ；④ ；⑤ 。 6.（15年福建理科）已知 ，若点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ） A．13 B．15 C．19 D．21 7.（15年福建文科）设 ， ， ．若 ，则实数的值等于（ ） A． B． C． D． 8.（15年新课标1理科）已知M（x0，y0）是双曲线C： 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若 ＜0，则y0的取值范围是 （A）（- ， ） （B）（- ， ） （C）（ ， ） （D）（ ， ） 9.（15年新课标1理科）设D为ABC所在平面内一点 =3 ，则 （A） = + (B) = （C） = + (D) = 10.(15年新课标1文科) 2、已知点 ，向量 ，则向量 ( ) （A） （B） （C） （D） 11.（15年新课标2理科）设向量，不平行，向量 与 平行，则实数 _________． ABC∆ ba 、 aAB 2= → baAC  += → 2 ba  ⊥ → BCb // → ⊥+ BCba )4(  1, ,AB AC AB AC tt ⊥ = =    ABC∆ 4AB ACAP AB AC = +     PB PC⋅  (1,2)a = (1,1)b = c a kb= +   b c⊥  3 2 − 5 3 − 5 3 3 2 2 2 12 x y− = 1MF 2MF 3 3 3 3 3 6 3 6 2 2 3 − 2 2 3 2 3 3 − 2 3 3 (0,1), (3,2)A B ( 4, 3)AC = − − BC = ( 7, 4)− − (7,4) ( 1,4)− (1,4) a bλ +  2a b+  λ = 12.（15年新课标2文科）已知 , ,则 （ ） A． B． C． D． 13.（15年陕西理科）对任意向量 ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A． B． C． D． 14.（15年陕西文科）对任意向量 ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A． B． C． D． 15.（15年天津理科）在等腰梯形 中,已知 ,动点和分别在线段 和 上,且, 则 的最小值为. 16.（15年天津文科）在等腰梯形ABCD中,已知 , 点E和点F分别在线段BC和CD上,且 则 的值为． 17.（15年山东理科）已知菱形ABCD的边长为， ，则 (A) (B) (C) (D) 18.（15年江苏）已知向量a= ，b= , 若ma+nb= ( ), 的值为______. 19.（15年江苏）设向量 ，则 的值为 专题六 数列 1.（15北京理科）设 是等差数列. 下列结论中正确的是 A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 ( )1, 1= −a ( )1,2= −b (2 )+ ⋅ =a b a ,a b  | | | || |a b a b⋅ ≤    | | || | | ||a b a b− ≤ −    2 2( ) | |a b a b+ = +    2 2 ( )( )a b a b a b+ − = −      ,a b  | | | || |a b a b• ≤    | | || | | ||a b a b− ≤ −    2 2( ) | |a b a b+ = +    2 2 ( )( )a b a b a b+ − = −      ABCD / / , 2, 1, 60AB DC AB BC ABC= = ∠ =  BC DC 1, ,9BE BC DF DCλ λ= =    AE AF⋅  AB DC 2, 1, 60 ,AB BC ABC= = ∠ =  2 1, ,3 6BE BC DF DC= =    AE AF⋅  60ABC∠ =  BD CD⋅ =  23 2 a− 23 4 a− 23 4 a 23 2 a )1,2( )2,1( − )8,9( − Rnm ∈, nm − )12,,2,1,0)(6cos6sin,6(cos =+= kkkkak πππ 11 1 0 ( )k k k a a + = ⋅∑   { }na 1 2 0a a+ > 2 3 0a a+ > 1 3 0a a+ < 1 2 0a a+ < 1 20 a a< < 2 1 3a a a> 1 0a < ( )( )2 1 2 3 0a a a a− − > 2.（15北京理科）已知数列 满足： ， ，且 ． 记集合 ． （Ⅰ）若 ，写出集合的所有元素； （Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合的元素个数的最大值． 3.（15北京文科）已知等差数列 满足 ， ． （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）设等比数列 满足 ， ，问：与数列 的第几项相等？ 4.（15年广东理科）在等差数列 中，若 ，则 = 5.（15年广东理科）数列 满足 , . (1) 求的值； (2) 求数列 前项和； (3) 令 ， ，证明：数列 的前项和 满足 6.（15年广东文科）若三个正数，，成等比数列，其中 ， ，则． 7.(15年广东文科) 设数列 的前项和为， ．已知 ， ， ，且当 时， ． 求的值； 证明： 为等比数列； 求数列 的通项公式． 8.（15年安徽理科）设 ，是曲线 在点 处的切线与x轴交点的横坐标， （1）求数列 的通项公式； （2）记 ，证明 . 9.（15年安徽文科）已知数列 中， ， （ ），则数列 的前9项和等于。 { }na * 1a ∈N 1 36a ≤ 1 2 18 2 36 18 n n n n n a aa a a+ =  − > ， ≤ ， ， ( )1 2n = ， ，… { }*|nM a n= ∈N 1 6a = { }na 1 2 10a a+ = 4 3 2a a− = { }na { }nb 2 3b a= 3 7b a= { }na { }na 2576543 =++++ aaaaa 82 aa + { }na 121 2 242 − +−=+⋅⋅⋅++ nn nnaaa *Nn∈ { }na 1 1b a= ( )1 1 1 11 22 3 n n n Tb a nn n −  = + + + +⋅⋅⋅+ ≥   { }nb nSn ln22 +< 5 2 6a = + 5 2 6c = − { }na n ∗∈Ν 1 1a = 2 3 2a = 3 5 4a = 2n ≥ 2 1 14 5 8n n n nS S S S+ + −+ = + ( )1 ( )2 1 1 2n na a+  −   ( )3 { }na *n N∈ 2 3 1ny x += + (1 2)， { }nx 2 2 2 1 2 2 1n nT x x x −=  1 4nT n ≥ }{ na 11 =a 2 1 1 += −nn aa 2≥n }{ na 10.（15年安徽文科）已知数列 是递增的等比数列，且 （1）求数列 的通项公式； （2）设为数列 的前n项和， ，求数列 的前n项和。 11.（15年福建理科）若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 12.（15年福建文科）若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于________． 13.（15年福建文科）等差数列 中， ， ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求 的值． 14.（15年新课标2理科）等比数列｛an｝满足a1=3， =21，则 ( ) （A）21 （B）42 （C）63 （D）84 15.（15年新课标2理科）设是数列 的前n项和，且 ， ，则 ________． 16.（15年新课标2文科）设是等差数列 的前项和,若 ,则 （ ） A． B． C． D． 17.（15年新课标2文科）已知等比数列 满足 , ,则 （ ） 18.（15年陕西理科）中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为． 19.（15年陕西文科）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________ 20.（15年陕西文科）设 { }na 1 4 2 39, 8.a a a a+ = = { }na { }na 1 1 n n n n ab S S + + = { }nb ,a b ( ) ( )2 0, 0f x x px q p q= − + > > , , 2a b − p q+ ,a b ( ) ( )2 0, 0f x x px q p q= − + > > , , 2a b − p q+ { }na 2 4a = 4 7 15a a+ = { }na 22 na nb n−= + 1 2 3 10b b b b+ + +⋅⋅⋅+ 1 3 5a a a+ + 3 5 7a a a+ + = { }na 1 1a = − 1 1n n na S S+ += nS = { }na 1 3 5 3a a a+ + = 5S = { }na 1 1 4a = ( )3 5 44 1a a a= − 2a = A.2 1C. 2 1D.8 2( ) 1, , 2.n nf x x x x n N n= + + + − ∈ ≥ (I)求 ； (II)证明： 在 内有且仅有一个零点（记为），且 . 21.（15年天津理科）已知数列 满足 ，且 成等差数列. (I)求q的值和 的通项公式； (II)设 ，求数列 的前n项和. 22.（15年天津文科）已知 是各项均为正数的等比数列, 是等差数列,且 , . （I）求 和 的通项公式； （II）设 ,求数列 的前n项和. 23.（15年天津文科）已知函数 （I）求 的单调性； （II）设曲线 与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为 ,求证：对于任意的正实数,都有 ; （III）若方程 有两个正实数根 且 ,求证： . 24.(15年浙江理科) 3. 已知 是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 25.（15年湖南理科）设为等比数列 的前项和，若 ，且 成等差数列，则 . 26.（15年山东理科）设数列 的前项和为，已知 （Ⅰ）求数列 的通项公式； (2)nf ′ ( )nf x 20, 3     1 1 20 2 3 3 n na  < − <    { }na * 2 1 2(q ) n N , 1, 2n na qa a a+ = ≠ ∈ = =为实数，且q 1， 2 3 3 4 4 5, ,a a a a a a+ + + { }na *2 2 2 1 log ,n n n ab n Na − = ∈ n｛b｝ { }na { }nb 1 1 2 3 31, 2a b b b a= = + = 5 23 7a b- = { }na { }nb *,n n nc a b n N= Î { }nc 4( ) 4 , ,f x x x x R= - Î ( )f x ( )y f x= ( )y g x= ( ) ( )f x g x£ ( )= ( )f x a a为实数 1 2x x， ， 1 2x x< 1 3 2 1- 43 ax x < - + { }na 1 40, 0a d dS> > 1 40, 0a d dS< < 1 40, 0a d dS> < 1 40, 0a d dS< > { }na 1 1a = 1 2 33 ,2 ,S S S na = { }na 2 3 3.n nS = + { }na （Ⅱ）若数列 满足 ，求数列 的前项和. 27.（15年江苏）数列 满足 ，且 （ ），则数列 的前10项和为 28.（15年江苏）设 是各项为正数且公差为d 的等差数列 （1）证明： 依次成等比数列； （2）是否存在 ，使得 依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在 及正整数 ，使得 依次成等比数列，并说明理由. 专题七 不等式 1.（15北京理科）若，满足 则 的最大值为 A．0 B．1 C． D．2 2.（15北京文科）如图， 及其内部的点组成的集合记为， 为中任意一点，则 的最大值为． 3．（15年广东理科）若变量，满足约束条件 则 的最小值为 A． B.6C. D. 4 4.（15年广东文科）若变量，满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） A．B．C．D． { }nb 3logn n na b a= { }nb }{ na 11 =a 11 +=−+ naa nn *Nn∈ }1{ na 1 2 3 4, , ,a a a a ( 0)d ≠ 31 2 42 ,2 ,2 ,2aa a a 1,a d 2 3 4 1 2 3 4, , ,a a a a 1,a d ,n k knknknn aaaa 3 4 2 321 ,,, +++ 0 1 0 x y x y x −  +  ≤ ， ≤ ， ≥ ， 2z x y= + 3 2 C∆ΑΒ ( ),x yΡ 2 3z x y= +    ≤≤ ≤≤ ≥+ 20 31 854 y x yx yxz 23 += 5 31 5 23 2 2 0 4 x y x y x + ≤  + ≥  ≤ 2 3z x y= + 5.（15年广东文科）不等式 的解集为．（用区间表示） 6.（15年安徽文科）已知x，y满足约束条件 ，则z=-2x+y的最大值是( ) （A）-1 （B）-2 （C）-5 （D）1 7.（15年福建理科）若变量 满足约束条件 则 的最小值等于( ) A． B．C． D．2 8.（15年福建理科）已知 ，若点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ） A．13 B．15 C．19 D．21 9.（15年福建文科）若直线 过点 ，则 的最小值等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 10.（15年福建文科）变量 满足约束条件 ，若 的最大值为2，则实数等于（ ） A． B． C． D． 11.（15年新课标1理科）若x,y满足约束条件 则 的最大值为. 12.（15年新课标2理科）若x，y满足约束条件 ，则 的最大值为____________． 13.（15年新课标2文科）若x,y满足约束条件 ,则z=2x+y的最大值为． 15.（15年陕西理科）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天 原料 的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最 2 3 4 0x x− − + > 0 4 0 1 x y x y y − ≥  + − ≤  ≥ ,x y 2 0, 0, 2 2 0, x y x y x y + ≥  − ≤  − + ≥ 2z x y= − 5 2 − 3 2 − 1, ,AB AC AB AC tt ⊥ = =    ABC∆ 4AB ACAP AB AC = +     PB PC⋅  1( 0, 0)x y a ba b + = > > (1,1) a b+ ,x y 0 2 2 0 0 x y x y mx y + ≥  − + ≥  − ≤ 2z x y= − y x 1 0 2 0, 2 2 0, x y x y x y − + ≥  − ≤  + − ≤ ， z x y= + 5 0 2 1 0 2 1 0 x y x y x y + − ≤  − − ≥  − + ≤ 大利润为（ ） A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 16.（15年陕西文科）某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料 的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ） A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元 17.（15年天津理科）设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 （A）3 （B）4 （C）18 （D）40 18.（15年天津文科）设变量 满足约束条件 ,则目标函数 的最大值为（ ） 19.（15年天津文科）设 ,则“ ”是“ ”的（ ） (A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 20.（15年天津文科）已知 则当a的值为时 取得最大值. 21.（15年湖南理科）执行如图1所示的程序框图，如果输入 ，则输出的 ( ) A. B. C. D. 甲 乙 原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8 甲 乙 原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8 ,x y 2 0 3 0 2 3 0 x x y x y + ≥  − + ≥  + − ≤ 6z x y= + , yx 2 0 2 0 2 8 0 x x y x y ì - £ïï - £íï + - £ïî 3 yz x= + x RÎ 1 2x< < | 2 | 1x - < 0, 0, 8,a b ab> > = ( )2 2log log 2a b⋅ 3n = S = 6 7 3 7 8 9 4 9 22.（15年山东理科）不等式 的解集是 (A) (B) (C) (D) 23.（15年山东理科）已知 满足约束条件 若 的最大值为4，则 (A) (B) (C) (D) 24.（15年江苏）不等式 的解集为________. 专题八 复数 1.（15北京理科）1．复数 A． B． C． D． 2.（15北京文科）复数 的实部为． 3.（15年广东理科）若复数 ( 是虚数单位 )，则 A． B． C． D． 4.（15年广东文科）已知是虚数单位，则复数 （ ） A．B．C． D． 5.(15年安徽文科) 设i是虚数单位，则复数 ( ) （A）3+3i （B）-1+3i （3）3+i （D）-1+i 6.(15年福建理科) 若集合 （是虚数单位）， ，则 等于( ) A． B． C． D． 7．(15年福建文科) 若 （ 是虚数单位），则 的值分别等于（ ） A． B． C． D． | 1| | 5| 2x x− − − < ( ,4)−∞ ( ,1)−∞ (1,4) (1,5) ,x y 0, 2, 0. x y x y y − ≥  + ≤  ≥ z ax y= + 2 2 4x x− < ( )i 2 i− = 1 2i+ 1 2i− 1 2i− + 1 2i− − ( )1i i+ ( )3 2z i i= − z = 3 2i− 3 2i+ 2 3i+ 2 3i− ( )21 i+ = 2i− ( )( )1 1 2i i− + = { }2 3 4, , ,A i i i i= { }1, 1B = − A B { }1− { }1 { }1, 1− (1 ) (2 3 )i i a bi+ + − = + , ,a b R i∈ ,a b 3, 2− 3, 3− 1,4− 8.(15年新课标1理科)设复数z满足 =i，则|z|= （A）1 （B） （C） （D）2 9.(15年新课标1文科) 3、已知复数满足 ，则（） （A） （B） （C） （D） 10.（15年新课标2理科）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（ ） （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2 11.（15年新课标2文科）若为实数,且 ,则( ) A． B． C． D． 12.（15年陕西理科）设复数 ，若 ，则 的概率为（ ） A． B． C． D． 13.（15年陕西文科）设复数 ，若 ，则 的概率（ ） A． B． C． D． 14.（15年天津理科）是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为. 15.（15年天津文科）i是虚数单位,计算 的结果为． 16.(15年湖南理科) 已知 （为虚数单位），则复数=（） A. B. C. D. 17.（15年山东理科）若复数满足 ，其中是虚数单位，则 (A) (B) (C) (D) 18.（15年江苏）设复数z满足 （i是虚数单位），则z的模为_______. 专题九 导数及其应用 1.（15北京理科）已知函数 ． （Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程； 1+z 1 z− ( 1) 1z i i− = + 2 i− − 2 i− + 2 i− 2 i+ 2 i 3 i1 i a+ = ++ ( 1)z x yi= − + ( , )x y R∈ | | 1z ≤ y x≥ 3 1 4 2π+ 1 1 4 2π− 1 1 2 π− 1 1 2 π+ ( 1)z x yi= − + ( , )x y R∈ | | 1z ≤ y x≥ 3 1 4 2π+ 1 1 2 π+ 1 1 4 2π− 1 1 2 π− ( )( )1 2i a i− + 1 2i 2 i − + ( )21 1i iz − = + 1 i+ 1 i− 1 i− + 1 i− − 1 z ii =− 1 i− 1 i+ 1 i− − 1 i− + 2 3 4z i= + ( ) 1ln1 xf x x += − ( )y f x= ( )( )0 0f， （Ⅱ）求证：当 时， ； （Ⅲ）设实数使得 对 恒成立，求的最大值． 2.（15北京文科）设函数 ， ． （Ⅰ）求 的单调区间和极值； （Ⅱ）证明：若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点． 3．（15年安徽理科）设函数 . （1）讨论函数 内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； （2）记 上的最大值D； （3）在（2）中，取 4.（15年安徽文科）已知函数 （1）求 的定义域，并讨论 的单调性； （2）若 ，求 在 内的极值。 5.（15年福建理科）若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ） A． B． C． D． 6.（15年福建理科）已知函数 ， (Ⅰ)证明：当 ； (Ⅱ)证明：当 时，存在 ,使得对 (Ⅲ)确定k的所以可能取值，使得存在 ，对任意的 恒有 ． ( )0 1x∈ ， ( ) 3 2 3 xf x x  > +   ( ) 3 3 xf x k x  > +   ( )0 1x∈ ， ( ) 2 ln2 xf x k x= − 0k > ( )f x ( )f x ( )f x (1, e 2( )f x x ax b= − + (sin ) 2 2f x π π在( - , ) 2 0 0 0 0( ) , (sin ) (sin )f x x a x b f x f x= − + −求函数 在 2 2 π π ( - , ) 2 0 0 0, D 14 aa b z b= = = − ≤求 满足 时的最大值。 )0,0()()( 2 >>+= rarx axxf )(xf )(xf 400= r a )(xf ),0( +∞ ( )f x ( )0 1f = − ( )f x′ ( ) 1f x k′ > > 1 1f k k   <   1 1 1f k k   >  −  1 1 1 1f k k   < − −  1 1 1 kf k k   > − −  f( ) ln(1 )x x= + ( ) ,(k ),g x kx R= Î 0x x x> <时，f ( ) 1k < 0 0x > 0(0 ),x xÎ任意 ， 恒有 f( ) ( )x g x> ； 0t > (0 ),xÎ ，t 2| f( ) ( ) |x g x x- < 7.（15年福建文科）“对任意 ， ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8.（15年福建文科）已知函数 ． (Ⅰ)求函数 的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当 时， ； （Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在 ，当 时，恒有 ． 9.（15年新课标1理科）设函数 = ,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得 0，则的取值范围是（ ） A.[- ，1） B. [- ， ） C. [ ， ） D. [ ，1） 10.（15年新课标2理科）设函数f’(x)是奇函数 的导函数，f（-1）=0，当 时， ，则使得 成立的x的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 11.（15年新课标2理科）设函数 。 （1）证明： 在 单调递减，在 单调递增； （2）若对于任意 ，都有 ，求m的取值范围。 12.（15年新课标2文科）已知曲线 在点 处的切线与曲线 相切,则a=． 13.（15年新课标2文科）已知 . （I）讨论 的单调性； （II）当 有最大值,且最大值大于 时,求a的取值范围. (0, )2x π∈ sin cosk x x x< 1k < 2( 1)( ) ln 2 xf x x −= − ( )f x 1x > ( ) 1f x x< − 0 1x > 0(1, )x x∈ ( ) ( )1f x k x> − ( )f x (2 1)xe x ax a− − + 0( )f x ( )( )f x x R∈ 0x > ' ( ) ( ) 0xf x f x− < ( ) 0f x > 2( ) mxf x e x mx= + − ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ 1 2, [ 1,1]x x ∈ − 1 2| ( ) ( ) | 1f x f x e− ≤ − lny x x= + ( )1,1 ( )2 2 1y ax a x= + + + ( ) ( )ln 1f x x a x= + − ( )f x ( )f x 2 2a − 14.（15年陕西理科）对二次函数 （a为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有 一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A．-1是 的零点 B．1是 的极值点 C．3是 的极值 D. 点 在曲线 上 15.（15年陕西理科）设 是等比数列，，，，的各项和，其中 ， ， ． （I）证明：函数 在 内有且仅有一个零点（记为），且 ； （II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 ，比较 与 的大小，并加以证明． 16.（15年陕西文科）函数 在其极值点处的切线方程为____________. 17.（15年天津理科）已知函数 ，其中 . (I)讨论 的单调性； (II)设曲线 与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为 ,求证：对于任意的正实数，都有 ； (III)若关于的方程 有两个正实根 ，求证： 18.（15年天津文科）已知函数 ,其中a为实数, 为 的导函数,若 ,则a的值为． 19.（15年山东理科）设函数 ，其中 . （Ⅰ）讨论函数 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若 ， 成立，求的取值范围.. 20.（15年江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条 连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 ，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到 2( )f x ax bx c= + + ( )f x ( )f x ( )f x (2,8) ( )y f x= ( )nf x 0x > n∈Ν 2n ≥ ( ) ( )F 2n nx f x= − 1 ,12      11 1 2 2 n n nx x += + ( )ng x ( )nf x ( )ng x xy xe= ( ) n ,nf x x x x R= − ∈ *n ,n 2N∈ ≥ ( )f x ( )y f x= ( )y g x= ( ) ( )f x g x≤ ( )=a(a )f x 为实数 1 2x x， 2 1| - | 21 ax x n< +- ( ) ( )ln , 0,f x ax x x= ∈ +∞ ( )f x′ ( )f x ( )1 3f ′ = 2( ) ln( 1) ( )f x x a x x= + + − a R∈ ( )f x 0x∀ > ( ) 0f x ≥ 1 2l l， 1 2l l， 的距离分别为5千米和40千米，点N到 的距离分别为20千米和2.5千米，以 所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数 （其中a，b为常数）模型. （1）求a，b的值； （2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式 ，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度. 21.（15年江苏）已知函数 . （1）试讨论 的单调性； （2）若 （实数c是a与无关的常数），当函数 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是 ，求c的值. 专题十 算法初步 1.（15北京理科）执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A． B． C． D． 1 2l l， 1 2l l， 2 ay x b = + ( )f t ),()( 23 Rbabaxxxf ∈++= )(xf acb −= )(xf ),2 3()2 3,1()3,( +∞−−∞  ( )2 2− ， ( )4 0− ， ( )4 4− −， ( )0 8−， 2.（15北京文科）执行如图所示的程序框图，输出的的值为（ ） A．B．C．D． 3.（15年安徽文科）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为( ) 开始 x=1，y=1，k=0 s=x-y，t=x+y x=s，y=t k=k+1 k≥3 输出(x，y) 结束 是 否 （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 4.（15年福建理科）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( ) A．2 B．1 C．0 D． 5.（15年福建文科）阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入的值为1，则输出的值为（ ） A．2 B．7 C．8 D．128 6.(15年新课标1理科) 执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 7.（15年新课标2理科）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执 行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a= A.0 B.2 C.4 D.14 8.（15年新课标2文科）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执 行该程序框图,若输入的 分别为14,18,则输出的为（ ） 9.（15年陕西理科）根据右边的图，当输入x为2006时，输出的 （ ） ,a b A.0 B.2 C.4 D.14 y = A．28 B．10 C．4 D．2 10.（15年陕西文科）根据右边框图，当输入为6时，输出的 （ ） A．B．C．D． 11.（15年天津理科）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为 （A） （B）6（C）14（D）18 12.（15年天津文科）阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为（ ） (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5 y = 10− 13.（15年山东理科）执行右边的程序框图，输出的的值为. 14.（15年江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________. 专题十一 常用逻辑用语 1.（15北京理科）设，是两个不同的平面，是直线且 ．“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（15年安徽文科）设p：x<3，q：-1，则P为 （A）nN,> （B） nN,≤ （C）nN,≤ （D） nN,= 4.（15年陕西理科）“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 m α⊂ m β∥ α β∥ sin cosα α= cos2 0α = S←1 I←1 While I10 S←S＋2 I←I＋3 End While Print S 是 否 开始 n=1，T =1 n<3 1 0 nT T x dx= + ∫ n=n+ 1 输出 T 结束 5.（15年陕西文科）“ ”是“ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要 6.（15年天津理科）设 ，则“ ”是“ ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 7.(15年浙江理科) 4. 命题“ 且 的否定形式是（ ） A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 8.（15年湖南理科）设A,B是两个集合，则” ”是“ ”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.（15年山东理科）若“ ”是真命题，则实数的最小值为. 专题十二 推理与证明 1.（15年广东文科）若集合 ， ，用 表示集合中的元素个数，则 （ ） A．B． C． D． 2.（15年福建理科）一个二元码是由0和1组成的数字串 ，其中 称为第位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1 变为0） 已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组： 其中运算定义为： ． sin cosα α= cos2 0α = x R∈ 2 1x − < 2 2 0x x+ − > * *, ( )n N f n N∀ ∈ ∈ ( )f n n≤ * *, ( )n N f n N∀ ∈ ∈ ( )f n n> * *, ( )n N f n N∀ ∈ ∈ ( )f n n> * * 0 0, ( )n N f n N∃ ∈ ∈ 0 0( )f n n> * * 0 0, ( )n N f n N∃ ∈ ∈ 0 0( )f n n> A B A= A B⊆ [0, ],tan4x x m π∀ ∈ ≤ ( ){ }, , , 0 4,0 4,0 4 , , ,p q r s p s q s r s p q r sΕ = ≤ < ≤ ≤ < ≤ ≤ < ≤ ∈Ν且 ( ){ }F , , , 0 4,0 4 , , ,t u v w t u v w t u v w= ≤ < ≤ ≤ < ≤ ∈Ν且 ( )card Χ ( ) ( )card card FΕ + = 100 150 200 ( )* 1 2 nx x x n N∈ ( )1,2, ,kx k n=  1 2 7x x x 4 5 6 7 2 3 6 7 1 3 5 7 0, 0, 0, x x x x x x x x x x x x ⊕ ⊕ ⊕ =  ⊕ ⊕ ⊕ =  ⊕ ⊕ ⊕ = 0 0 0,0 1 1,1 0 1,1 1 0⊕ = ⊕ = ⊕ = ⊕ = 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判 定等于． 3.（15年陕西文科）观察下列等式： 1－ 1－ 1－ ………… 据此规律，第n个等式可为______________________. 4.（15年江苏）已知集合 ， ， ，令 表示集合所含元素的个数. （1）写出 的值； （2）当 时，写出 的表达式，并用数学归纳法证明. 专题十三 概率统计 1.（15北京理科），两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： 组：10，11，12，13，14，15，16 组：12，13，15，16，17，14， 假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙． (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率； (Ⅱ) 如果 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (Ⅲ) 当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 2.（15北京文科）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽 取的样本中，青年教师有 人，则该样本的老年教师人数为（ ） A．B． C． D． 类别 人数 老年教师 1 1 2 2 = 1 1 1 1 1 2 3 4 3 4 + − = + 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 4 5 6 + − + − = + + { }3,2,1=X { } )(,,3,2,1 *NnnYn ∈=  { ,),( abbabaSn 整除或整除= }nYbXa ∈∈ , ( )f n (6)f 6n ≥ ( )f n 25a = 320 100 180 300 900 中年教师 青年教师 合计 3.（15北京文科）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 年月日 年月日 注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每 千米平均耗油量为（ ） A．升 B．升 C．升 D．升 4.（15北京文科）高三年级 位学生参加期末考试，某班位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙 、丙为该班三位学生． 从这次考试成绩看， ①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是． 5.（15北京文科）某超市随机选取 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×” 表示未购买． 甲 乙 丙 丁 √ × √ √ × √ × √ √ √ √ × 1800 1600 4300 2015 35000 2015 35600 100 267 1000 100 217 200 商 品顾 客 人 数 √ × √ × 85 √ × × × × √ × × （Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率； （Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买中商品的概率； （Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？ 7.（15年广东理科）某工厂36名工人的年龄数据如下表。 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 B.40 C.44 D.40 E.41 F.33 G.40 H.45 I.42 J.43 K.36 L.31 M.38 N.39 O.43 P.45 Q.39 R.38 S.36 T.27 U.43 V.41 W.37 X.34 Y.42 Z.37 AA.44 BB.42 CC.34 DD.39 EE.43 FF.38 GG.42 HH.53 II.37 JJ.49 KK.39 （1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44， 列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的平均值和方差； （3）36名工人中年龄在 与 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？ 8.（15年广东文科）已知件产品中有件次品，其余为合格品．现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为 （ ） A．B．C．D． 9.（15年广东文科）已知样本数据，，，的均值 ，则样本数据 ， ，， 的均值为． 10.（15年广东文科）某城市 户居民的月平均用电量（单位：度），以 ， ， ， ， ， ， 分组的频率分布直方图如图． 300 sx − sx + 5x = 12 1x + 22 1x + 2 1nx + 100 [ )160,180 [ )180,200 [ )200,220 [ )220,240 [ )240,260 [ )260,280 [ ]280,300 求直方图中的值； 求月平均用电量的众数和中位数； 在月平均用电量为 ， ， ， 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在 的用户中应抽取多少户？ 11.（15年安徽理科）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品， 检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果. （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 （2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费 用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望） 12.（15年安徽文科）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职 工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 （1）求频率分布图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在 的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在 的概率. （Ⅲ）由频率分布直方图可知：在[40,50)内的人数为0.004×40×50＝2（人） 在[50,60)内的人数为0.006×10×50＝3（人） 设[40,50)内的两人分别为 ；[50,60)内的三人为 ,则从[40,60)的受伤职工中随机抽取2人，基本事件有（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），（ ）， （ ）共10种；其中2人评分都在[40,50)内的概率为 . ( )1 ( )2 ( )3 [ )220,240 [ )240,260 [ )260,280 [ ]280,300 [ )220,240 [40,50],[50,60], ,[80,90],[90,100] [40,60] [40,50] 21,aa 32,1 , AAA 21,aa 11, Aa 21, Aa 31, Aa 12, Aa 22, Aa 32, Aa 21, AA 31, AA 32, AA 10 1 考点：1.频率分布直方图；2.古典概型. 13.（15年福建理科）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下 统计数据表： 收入（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( ) A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 14.（15年福建理科）如图，点的坐标为 ，点的坐标为 ，函数 ，若在矩形 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于． 15.（15年福建理科）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到 银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小 王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望． 16.（15年福建文科）如图，矩形 中，点在轴上，点的坐标为 ．且点与点在函数 的图像上．若在矩形 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ） A． B． C． D． 17.（15年福建文科）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级 学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______． ˆˆ ˆy bx a= + ˆ ˆˆ0.76,b a y bx= = − ( )1,0 ( )2,4 ( ) 2f x x= ABCD ABCD (1,0) 1, 0 ( ) 1 1, 02 x x f x x x + ≥= − + < ABCD 1 6 1 4 3 8 1 2 18.（15年福建文科）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提 供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视 新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示． 组号 分组 频数 1 2 2 8 3 7 4 3 （Ⅰ）现从融合指数在 和 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在 的概率； （Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数． 19，（15年新课标1理科）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次 投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 20.（15年新课标2理科）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结 论不正确的是( ) （A） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B） 2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 21.（15年新课标2理科）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得 到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 [4,5) [5,6) [6,7) [7,8] [4,5) [ ]7,8 [ ]7,8 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分 散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根 据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率 22.（15年新课标2文科）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结 论中不正确的是（ ） A．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效 C．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 23.（15年新课标2文科）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用 户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布 表. A地区用户满意度评分的频率分布直方图 2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 （I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及 分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可） B地区用户满意度评分的频率分布直方图 （II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级： 估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由. 24.（15年陕西理科）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女 教师 的人数为（ ） A．167 B．137 C．123 D．93 25.（15年陕西理科）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关， 对其容量为 的样本进行统计，结果如下： （分钟） 25 30 35 40 频数（次） 20 30 40 10 （I）求的分布列与数学期望； （II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从 离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 26.（15年陕西文科）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女 教师的人数为（ ） A．93B．123C．137D．167 27.（15年陕西文科）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 (I)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (II)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率. 28.（15年天津理科）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协 会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参 加比赛. (I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率； (II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望. 100 （高中部）（初中部） 男 男 女 女 60%70% 29.（15年天津文科）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三 个协会中抽取6名运动员参加比赛. （I）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数； （II）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为 ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. （i）用所给编号列出所有可能的结果； （ii）设A为事件“编号为 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A发生的概率. 30.（15年湖南理科）.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1 )的密度曲线）的点的个数的估计值为（） A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 32.（15年山东理科）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为 （附：若随机变量服从正态分布 ，则 , .） (A) (B) (C) (D) 33．（15年山东理科）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）. 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规 则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整 除，得-1分；若能被10整除，得1分. （Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”； （Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX. 34.（15年江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 35.(15年江苏) 1 2 3 4 5 6, , , , ,A A A A A A 5 6,A A 2(0,3 )N 2( , )N µ σ ( ) 68.26%P µ σ ξ µ σ− < < + = ( 2 2 ) 95.44%P µ σ ξ µ σ− < < + = 4.56% 13.59% 27.18% 31.74% 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜 色不同的概率为________. 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 1.（15北京理科）设，是两个不同的平面，是直线且 ．“ ”是“ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（15北京理科）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 A． B． C． D．5 3.（15北京理科）如图，在四棱锥 中， 为等边三角形，平面 平面 ， ， ， ， ，为的中点． (Ⅰ) 求证： ； (Ⅱ) 求二面角 的余弦值； (Ⅲ) 若 平面 ，求的值． 4.（15北京文科）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ） A．B．C．D． m α⊂ m β∥ α β∥ 正(主)视图 11 俯视图 侧(左)视图 2 1 2 5+ 4 5+ 2 2 5+ A EFCB− AEF△ AEF ⊥ EFCB EF BC∥ 4BC = 2EF a= 60EBC FCB∠ = ∠ = ° AO BE⊥ F AE B− − BE ⊥ AOC O F E C B A 5.（15北京文科）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形， 且 ，，分别为 ， 的中点． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求证：平面 平面 ； （Ⅲ）求三棱锥 的体积． 6.（15年广东理科）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值 A．大于5B.等于5C.至多等于4D. 至多等于3 7.（15年广东理科）如图2，三角形 所在的平面与长方形 所在的平面垂直， ， ， .点是 边的中点，点、分别在线段 、 上，且 ， . （1）证明： ； （2）求二面角 的正切值； （3）求直线与直线 所成角的余弦值. 8.（15年广东文科）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是 （ ） A．至少与，中的一条相交 B．与，都相交 C．至多与，中的一条相交 D．与，都不相交 9.（15年广东文科）如图，三角形 所在的平面与长方形 所在的平面垂直， ， ， ． 证明： 平面 ； 证明： ； 求点到平面 的距离． V C− ΑΒ VΑΒ ⊥ CΑΒ V∆ ΑΒ C CΑ ⊥ Β C C 2Α = Β = ΑΒ VΑ V //Β CΜΟ CΜΟ ⊥ VΑΒ V C− ΑΒ PDC ABCD 4PD PC= = 6AB = 3BC = CD AB BC 2AF FB= 2CG GB= 图2 A D C B H F G E PE FG⊥ P AD C- - FG DCΡ CDΑΒ D C 4Ρ = Ρ = 6ΑΒ = C 3Β = ( )1 C//Β DΡ Α ( )2 C DΒ ⊥ Ρ ( )3 DΡ Α 10.（15年安徽理科）如图所示，在多面体 ，四边形 ， 均为正方形，为 的中点，过 的平面交 于F （1）证明： (2)求二面角 余弦值. 9.11.（15年安徽文科）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( ) （A） （B） （C） （D） 12.(15年安徽文科) 如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC， . (1)求三棱锥P-ABC的体积； (2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求 的值。 13.（15年福建理科）若 是两条不同的直线，垂直于平面，则“ ”是“ 的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1 1 1A B D DCBA 1 1AA B B 1 1 ,ADD A ABCD 1 1B D 1, ,A D E 1CD 1 1/ /EF B C 1 1E A D B− − 1 3+ 1 2 2+ 2 3+ 2 2 1, 1, 2, 60PA AB AC BAC= = = ∠ =  PM MC ,l m l m⊥ / /l α 14.（15年福建理科）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F 分别是线段BE，DC的中点. (Ⅰ)求证： 平面 ； (Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值． 15.（15年福建文科）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面 积等于（ ） A． B． C． D． 16.（15年福建文科）如图， 是圆的直径，点是圆上异于 的点，垂直于圆所在的平面，且 ． （Ⅰ）若为线段 的中点，求证 平面 ； （Ⅱ）求三棱锥 体积的最大值； （Ⅲ）若 ，点在线段上，求 的最小值． 17.（15年新课标1理科）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今 有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如 图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆 的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约 为3，估算出堆放斛的米约有 / /GF ADE 8 2 2+ 11 2 2+ 14 2 2+ AB ,A B 1ΡΟ = ΟΒ = AC CΑ ⊥ DΡ Ο P ABC− 2BC = CE OE+ G FB A C D E 111 2 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 18.（15年新课标1理科）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的 正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r= （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 19.（15年新课标2理科）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与 剩余部分体积的比值为 （A） （B） （C） （D） 20.(15年新课标2理科) 已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O- ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为 A．36π B.64π C.144π D.256π 8 1 7 1 6 1 5 1 B O A C 21.（15年新课标2理科）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF与平面α所成的角的正弦值。 22.（15年新课标2文科）一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩 余部分体积的比值为（ ） 23.（15年新课标2文科）已知 是球的球面上两点, ,为该球面上的动点.若三棱锥 体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 24.（15年新课标2文科）如图,长方体 中AB=16,BC=10, ,点E,F分别在 上, 过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. （I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值. 25.（15年陕西理科）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 1A.8 1B.7 1C.6 1D.5 BA, °=∠ 90AOB ABCO − π36 π64 π144 π256 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 8AA = 1 1 1 1,A B D C 1 1 4.A E D F= = 2 4π + 3 4π + 26．（15年陕西理科）如图，在直角梯形 中， ， ， ， ，是 的中点，是 与的交点．将 沿折起到 的位置，如图． （I）证明： 平面 ； （II）若平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值． 27.（15年陕西文科）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A．B．C． D． 28.（15年陕西文科）如图1，在直角梯形 中， ，是 的中点，是 与 的交点，将 沿 折起到图2中 的位置，得到四棱锥 . (I)证明： 平面 ； (II)当平面 平面 时，四棱锥 的体积为 ，求的值. CDΑΒ D// CΑ Β D 2 π∠ΒΑ = C 1ΑΒ = Β = D 2Α = DΑ CΑ ∆ΑΒΕ 1 ∆Α ΒΕ CD ⊥ 1 CΑ Ο 1 Α ΒΕ ⊥ CDΒ Ε 1 CΑ Β 1CDΑ 2 4π + 3 4π + ABCD // , ,2AD BC BAD AB BC π∠ = = 1 2 AD a= = AD OC BE ABE∆ BE 1A BE∆ 1A BCDE− CD ⊥ 1AOC 1A BE ⊥ BCDE 1A BCDE− 36 2 29.（15年天津理科）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为. 30.（15年天津理科）如图，在四棱柱 中，侧棱 , , , ,且点M和N分别为 的中点. (I)求证： ； (II)求二面角 的正弦值； (III)设E为棱 上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为 ，求线段 的长 31.（15年天津文科）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为 . 1 1 1 1ABCD A B C D- 1A A ABCD⊥ 底面 AB AC⊥ 1AB = 1 2, 5AC AA AD CD= = = = 1 1C DB D和 MN ABCD 平面 1 1D -AC B- 1 1A B 1 3 1EA 32.（15年天津文科）如图,已知 平面ABC, AB=AC=3, ,, 点E,F分别是BC, 的中点. （I）求证：EF 平面 ； （II）求证：平面 平面 . （III）求直线 与平面 所成角的大小. 33.(15年浙江文科) 1AA ⊥ 1 1,BB AA 12 5, 7BC AA= = 1 2 7,BB = 1AC 1 1A B BA 1AEA ⊥ 1BCB 1 1A B 1BCB 34.（15年湖南理科）某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新 工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率= ）（） A. B. C. D. 35.（15年山东理科）在梯形 中， , , .将梯形 绕 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 新工件的体积 原工件的体积 8 9π 16 9π 34( 2 1) π − 312( 2 1) π − ABCD 2ABC π∠ = / /AD BC 2 2 2BC AD AB= = = ABCD AD (A) (B) (C) (D) 37.（15年山东理科）如图，在三棱台 中， 分别为 的中点. （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）若 平面 , 求平面 与平面 所成角（锐角）的大小. 38.（15年江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它 们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 39.（15年江苏）如图，在直三棱柱 中，已知 ， ，设 的中点为， .求证：（1） ； （2） . 40.（15年江苏）如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为直角梯 形， , （1）求平面 与平面 所成二面角的余弦值； （2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长 专题十五 点、线、面的位置关系 1.（15年安徽文科）直线3x+4y=b与圆 相切，则b=( ) 2 3 π 4 3 π 5 3 π DEF ABC− 2 , ,AB DE G H= ,AC BC / /BD FGH CF ⊥ ABC , , 45 ,AB BC CF DE BAC⊥ = ∠ =  FGH ACFD 111 CBAABC − BCAC ⊥ 1CCBC = 1AB EBCCB =11  CCAADE 11// 平面 11 ABBC ⊥ P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD 2ABC BAD π∠ = ∠ = 2, 1PA AD AB BC= = = = PAB PCD 2 2 2 2 1 0x y x y+ − − + = P A B C D Q T FD E A G B H C （A）-2或12 （B）2或-12 （C）-2或-12 （D）2或12 专题十六 平面几何初步 1.（15北京文科）圆心为 且过原点的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 2.（15年广东理科）平行于直线 且与圆 相切的直线的方程是 A． 或 B. 或 C. 或 D. 或 3.（15年新课标2文科）已知三点 ,则△ 外接圆的圆心到原点的距离为（ ） 4.（15年新课标2文科）已知椭圆 的离心率为 ,点 在C上. （I）求C的方程； （II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 5.（15年陕西理科）设曲线 在点（0,1）处的切线与曲线 上点p处的切线垂直，则p的坐标 为． 6.（15年天津理科）如图，在圆中， 是弦 的三等分点，弦 分别经过点 .若 ，则线段 的长为 （A） （B）3 （C） （D） ( )1,1 ( ) ( )2 21 1 1x y− + − = ( ) ( )2 21 1 1x y+ + + = ( ) ( )2 21 1 2x y+ + + = ( ) ( )2 21 1 2x y− + − = 012 =++ yx 522 =+ yx 052 =+− yx 052 =−− yx 052 =++ yx 052 =−+ yx 052 =+− yx 052 =−− yx 052 =++ yx 052 =−+ yx (1,0), (0, 3), (2, 3)A B C ABC 5A.3 21B. 3 2 5C. 3 4D. 3 ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 2 2 ( )2, 2 xy e= 1 ( 0)y xx = > ,M N AB ,CD CE ,M N 2, 4, 3CM MD CN= = = NE 8 3 10 3 5 2 7.（15年天津文科）如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段N E的长为（ ） (A) (B) 3 (C) (D) 8.（15年天津文科）已知椭圆 的上顶点为B,左焦点为,离心率为 , （I）求直线BF的斜率； （II）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B）,故点B且垂直于BF的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与x 轴交于点M, . （i）求的值； （ii）若 ,求椭圆的方程. 9.（15年湖南理科） E D O A BM N C 8 3 10 3 5 2 2 2 2 2 1(a b 0)x y a b+ = > > 5 5 | |= | |PM MQl 7 5| |sin = 9PM BQPÐ 10.（15年山东理科）一条光线从点 射出，经轴反射与圆 相切，则反射光线所在的直线的斜率为 (A) 或 (B) 或 (C) 或 (D) 或 11.（15年江苏）在平面直角坐标系 中，以点 为圆心且与直线 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 专题十七 圆锥曲线与方程 1.（15北京理科）已知双曲线 的一条渐近线为 ，则． 2.（15北京理科）已知椭圆： 的离心率为 ，点 和点 都在椭圆上，直线交轴于点． （Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）； （Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得 ？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 3.（15北京文科）已知 是双曲线 （ ）的一个焦点，则． 4.（15北京文科）已知椭圆 ，过点 且不过点 的直线与椭圆交于，两点，直线 与直线 交于点． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）若 垂直于轴，求直线 的斜率； ( 2, 3)− − 2 2( 3) ( 2) 1x y+ + − = 5 3 − 3 5 − 3 2 − 3 2 − 5 4 − 4 5 − 4 3 − 3 4 − xOy )0,1( )(012 Rmmymx ∈=−−− ( )2 2 2 1 0x y aa − = > 3 0x y+ = ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 2 ( )0 1P ， ( )A m n， ( )0m≠ OQM ONQ∠ = ∠ ( )2,0 2 2 2 1yx b − = 0b > 2 23 3x y+ = ( )D 1,0 ( )2,1Ε ΑΕ 3x = ΑΒ ΒΜ （Ⅲ）试判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由． 5.（15年广东理科）已知双曲线： 的离心率 ，且其右焦点 ，则双曲线的方程为 A． B. C. D. 6.（15年广东理科）已知过原点的动直线与圆 相交于不同的两点，. （1）求圆的圆心坐标； （2）求线段 的中点的轨迹的方程； （3）是否存在实数，使得直线 与曲线只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 6.（15年广东文科）已知椭圆 （ ）的左焦点为 ，则 （ ） A．B．C．D． 7.（15年安徽理科）设椭圆E的方程为 ，点O为坐标原点，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点M在线段AB上，满足 ，直线OM的斜率为 . （I）求E的离心率e； （II）设点C的坐标为 ，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为 ，求E的方程. 8.（15年安徽文科）下列双曲线中，渐近线方程为 的是( ) （A） （B） （C） （D） 9.（15年安徽文科）设椭圆E的方程为 点O为坐标原点，点A的坐标为 ,点B的坐标为（0，b）,点M在线段AB上，满足 直线OM的斜率为 。 （1）求E的离心率e; ΒΜ DΕ 12 2 2 2 =− b y a x 5 4e = ( )2 5,0F 134 22 =− yx 1916 22 =− yx 1169 22 =− yx 143 22 =− yx 2 2 1 : 6 5 0C x y x+ - + = AB : ( 4)L y k x= - 2 2 2 125 x y m + = 0m > ( )1F 4,0− m = ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( )0a， ( )0 b， 2BM MA= 5 10 ( )0 b−， 7 2 2y x= ± 2 2 14 yx − = 2 2 14 x y− = 2 2 12 yx − = 2 2 12 x y− = 2 2 2 2 1( 0),x y a ba b + = > > ( ,0)a 2 ,BM MA= 5 10 (2)设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：MNAB。 10.（15年福建理科）若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点在双曲线上，且 ，则 等于（　） A．11 　　　B．9 C．5 　　　D．3 11.（15年福建理科）已知椭圆E： 过点 ，且离心率为 ． (Ⅰ)求椭圆E的方程； (Ⅱ)设直线 交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由． 12.（15年福建文科）已知椭圆 的右焦点为．短轴的一个端点为，直线 交椭圆于 两点．若 ，点到直线的距离不小于 ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 13.（15年福建文科）已知点为抛物线 的焦点，点 在抛物线上，且 ． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）已知点 ，延长 交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线 相切． 14.（15年新课标1理科）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为。 15.（15年新课标2理科）过三点A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于y轴于M、N两点，则 = （A）2 （B）8 （C）4 （D）10 16.（15年新课标2理科）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120° ，则E的离心率为 （A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2 17.（15年新课标2理科）已知椭圆C： 2 2 : 19 16 x yE − = 1 2,F F 1 3PF = 2PF 2 2 2 2 1(a 0)x y ba b+ = > > (0, 2） 2 2 1x my m R= - Î，( ) 9( 4- , 0) 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > :3 4 0l x y− = ,A B 4AF BF+ = 4 5 3(0, ]2 3(0, ]4 3[ ,1)2 3[ ,1)4 2: 2 ( 0)E y px p= > (2, )A m 3AF = ( 1,0)G − AF GB MN 2 2 29 ( 0)x y m m+ = > ，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。 （1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （2）若l过点 ，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。 18.（15年新课标2文科）已知双曲线过点 ,且渐近线方程为 ,则该双曲线的标准方程为． 19.（15年陕西理科）若抛物线 的准线经过双曲线 的一个焦点，则p=． 20.（15年陕西理科）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中 虚线表 示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为． 21.（15年陕西理科）已知椭圆 （ ）的半焦距为，原点到经过两点 ， 的直线的距离为 ． （I）求椭圆的离心率； （II）如图， 是圆 的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方 程． 22.（15年陕西文科）已知抛物线 的准线经过点 ，则抛物线焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 23.（15年陕西文科）如图，椭圆 经过点 ，且离心率为 . (I)求椭圆的方程； (II)经过点 ，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点 （均异于点），证明：直线 与 ( , )3 m m ( )4, 3 1 2y x= ± 2 2 ( 0)y px p= > 2 2 1x y− = 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > ( ),0c ( )0,b 1 2 c ΑΒ ( ) ( )2 2 52 1 2x y+ + − = 2 2 ( 0)y px p= > ( 1,1)− ( 1,0)− (1,0) (0, 1)− (0,1) 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > (0, 1)A − 2 2 (1,1) ,P Q AP AQ 的斜率之和为2. 24.（15年天津理科）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 （A） （B） （C） （D） 25.（15年天津理科）已知椭圆 的左焦点为 ,离心率为 ，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆 截得的线段的长为c， . (I)求直线FM的斜率； (II)求椭圆的方程； (III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围. 26.（15年天津文科）已知双曲线 的一个焦点为 ,且双曲线的渐近线与圆 相切,则双曲线的方程为（ ） (A) (B) (C) (D) 27.（15年湖南理科） ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > ( )2, 3 2 4 7y x= 2 2 121 28 x y− = 2 2 128 21 x y− = 2 2 13 4 x y− = 2 2 14 3 x y− = 2 2 2 2+ =1( 0)x y a ba b > > F -c（ , 0） 3 3 4 2 2+ 4 bx y = 4 3|FM|= 3 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b- = > > (2,0)F ( ) 2 22 y 3x - + = 2 2 19 13 x y- = 2 2 113 9 x y- = 2 2 13 x y- = 2 2 13 yx - = 28.（15年山东理科）平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线与抛物线 交于点 ，若 的垂心为的焦点，则的离心率为. 29.（15年山东理科）平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别是 ,以为圆心，以3为半径的圆与以为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C上. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设椭圆 ，P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线 交椭圆E于A,B两点，射线PO交椭圆E于点Q. （ⅰ）求 的值；（ⅱ）求 面积最大值. 30.(15年江苏) 在平面直角坐标系 中，为双曲线 右支上的一个动点。若点到直线 的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 31.（15年江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的离心率为 ，且右焦点F到左 准线l的距离为3. （1）求椭圆的标准方程； xOy 2 2 1 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 2 2 : 2 ( 0)C x py p= > , ,O A B OAB∆ xOy 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3 2 1 2,F F 2 2 2 2: 14 4 x yE a b + = y kx m= + | | | | OQ OP ABQ∆ xOy 122 =− yx 01=+− yx ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 2 （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线 AB的方程. 专题十八 计数原理 1.（15北京理科）在 的展开式中，的系数为．（用数字作答） 2.（15年广东理科）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球， 所 取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 A．1B. C. D. 3.（15年广东理科）在 的展开式中，的系数为 4.（15年广东理科）某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业 留言．（用数字作答） 5.（15年福建理科） 的展开式中，的系数等于．（用数字作答） 6.（15年新课标1理科） 的展开式中， y²的系数为 （A）10 （B）20 （C）30（D）60 7.（15年新课标2理科） 的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则__________． 8.（15年陕西理科）二项式 的展开式中的系数为15，则（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 ( )52 x+ 21 11 21 10 21 5 4)1( −x ( )52x + 4( )(1 )a x x+ + ( 1) ( )nx n N++ ∈ 9.（15年天津理科）在 的展开式中，的系数为. 10.（15年湖南理科） 11.（15年山东理科）观察下列各式： 照此规律，当 时， . 专题十九 几何证明选讲 1.（15年广东理科）如图1，已知 是圆的直径， ， 是圆的切线，切点为， ，过圆心做 的平行线，分别交 和 于点和点，则 61 4x x  −   0 0 10 1 1 3 30 1 2 2 5 5 50 1 2 3 3 7 7 7 7 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; C C C C C C C C C C = + = + + = + + + =  *n∈N 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n nC C C C − − − − −+ + + + = AB 4AB = EC 1BC = BC EC AC OD = 图1 P O E C D A B 2.（15年广东文科）如图， 为圆的直径，为 的延长线上一点，过作圆的切线，切点为，过作直线的垂线，垂足为．若 ， ，则 ． 3.（15年新课标2理科）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与ΔABC的底边BC交于M，N两点，与底边 上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。 （1）证明：EF∥BC； （2）若AG等于⊙O的半径，且 ，求四边形EBCF的面积。 4.（15年新课标2文科）如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于 点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点. （I）证明 ； （II）若AG等于圆O半径,且 ,求四边形EBCF的面积. 6.（15年陕西文科）如图， 切 于点，直线 交 于 两点， 垂足为. (I)证明： (II)若 ，求 的直径. 7.（15年江苏）如图，在 中， ， 的外接圆圆O的弦 交 于点D ΑΒ ΑΒ 4ΑΒ = C 2 3Ε = DΑ = 2 3AE MN= = EF BC 2 3AE MN= = AB O AO O ,D E ,BC DE⊥ CBD DBA∠ = ∠ 3 , 2AD DC BC= = O ABC∆ ACAB = ABC∆ AE BC 求证： ∽ 专题二十 不等式选讲 1.（15年福建理科）已知 ，函数 的最小值为4． (Ⅰ)求 的值； (Ⅱ)求 的最小值． 2.（15年新课标2理科）设a，b，c，d均为正数，且a + b = c + d，证明： （1）若ab > cd；则 ； （2） 是 的充要条件。 3.（15年新课标2文科）设 均为正数,且 .证明： （I）若 ,则 ； （II） 是 的充要条件. 4.（15年陕西理科）已知关于的不等式 的解集为 ． （I）求实数，的值； （II）求 的最大值． 5.（15年陕西文科）已知关于的不等式 的解集为 (I)求实数 的值； (II)求 的最大值. 6.（15年江苏）解不等式 ABD∆ AEB∆ 0, 0, 0a b c> > > ( ) | | | |f x x a x b c= + + - + a b c+ + 2 2 21 1 4 9a b c+ + a b c d+ > + a b c d+ > + | | | |a b c d− < − , , ,a b c d a b c d+ = + ab cd> a b c d+ > + a b c d+ > + a b c d− < − x a b+ < { }2 4x x< < 12at bt+ + x a b+ < { | 2 4}x x< < ,a b 12at bt+ + | 2 3| 3x x+ + ≥ A B C E D O （第21——A题） 专题二十一 矩阵与变换 1.（15年福建理科）已知矩阵 (Ⅰ)求A的逆矩阵； (Ⅱ)求矩阵C，使得AC=B. 2.（15年江苏）已知 ，向量 是矩阵 的属性特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值. 专题二十二 坐标系与参数方程 1.（15北京理科）在极坐标系中，点 到直线 的距离为． 2.（15年广东理科）已知直线的极坐标方程为 ，点的极坐标为 ，则点到直线的距离为 3.（15年广东文科）在平面直角坐标系 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为 ，曲线的参数方程为 （为参数），则与交点的直角坐标为． 4.（15年福建理科）在平面直角坐标系 中，圆C的参数方程为 .在极坐标系（与平面直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为 (Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值． 2 1 1 1, .4 3 0 1A B æ ö æ öç ÷ ç ÷= =ç ÷ ç ÷-è ø è ø Ryx ∈,     −= 1 1α     = 0 1 y xA π2 3     ‚ ( )cos 3sin 6ρ θ θ+ = 24sin(2 =− ）πθρ 72 2, 4A π     x yΟ ( )cos sin 2ρ θ θ+ = − 2 2 2 x t y t  = = xoy 1 3cos (t )2 3sin x t y t ì = +ïí = - +ïî 为参数 xoy 2 sin( ) m,(m R).4 pr q - = Î 5.（15年新课标2理科）在直角坐标系xOy中，曲线C1： （t为参数，t≠0），其中0≤α<π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： ，C3： 。 （1）求C2与C3交点的直角坐标； （2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求 的最大值。 6.（15年新课标2文科）在直角坐标系 中,曲线 （t为参数,且 ）,其中 ,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 （I）求与交点的直角坐标； （II）若与相交于点A,与相交于点B,求 最大值. 7．（15年陕西理科）在直角坐标系 中，直线的参数方程为 （为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴 建立极坐标系， 的极坐标方程为 ． （I）写出 的直角坐标方程； （II）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标． 8.（15年陕西文科）在直角坐标版权法 吕，直线的参数方程为 为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 的极坐标方程为 . (I)写出 的直角坐标方程； (II)为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求点的坐标. 9.（15年江苏）已知圆C的极坐标方程为 ，求圆C的半径. cos sin x t y t α α =  = 2sinρ θ= 2 3cosρ θ= | |AB xOy 1 cos ,: sin , x tC y t α α =  = 0t ≠ 0 α π≤ < 2 3: 2sin , : 2 3 cos .C Cρ θ ρ θ= = AB x yΟ 13 2 3 2 x t y t  = +  = C 2 3sinρ θ= C xOy 13 2 ( 3 2 x t t y t  = +  = C 2 3sinρ θ= C 2 2 2 sin( ) 4 04 πρ ρ θ+ − − =