高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用 6页

高考：均值不等式专题 ‎◆知识梳理 ‎1．常见基本不等式 ‎， ‎ 若a>b>0,m>0,则 ；‎ 若a,b同号且a>b则。‎ ‎;‎ ‎2．均值不等式:‎ 两个正数的均值不等式： 变形，,等。‎ ‎3．最值定理:设 ‎（1）如果x,y是正数,且积,则 时,‎ ‎（2）如果x,y是正数和,则 时,‎ ‎4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。‎ 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；‎ ‎② 熟悉一个重要的不等式链：。‎ ‎ ◆课前热身 1. 已知，且，则的最大值为 .‎ 2. ‎2. 若,则的最小值为 ．‎ 3. 已知：，且，则的最小值是 . ‎ 4. ‎4. 已知下列四个结论 ‎①当；②；‎ ‎③的最小值为2；④当无最大值.‎ 则其中正确的个数为 ‎ ‎◆考点剖析 一、基础题型。‎ ‎1.直接利用均值不等式求解最值。‎ 例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知，且满足，则xy的最大值为 。‎ ‎2通过简单的配凑后，利用均值不等式求解最值。‎ 例2：（2010年高考四川文科卷第11题）设，则的最小值是（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ 例3：已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为________．‎ 例4： 已知，且，求的最大值 ．（类似例5）‎ 二、转化题型 ‎1.和积共存的等式，求解和或积的最值。‎ 例5：（2010年高考重庆卷第7题）已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（ ）‎ A. 3 B. 4 C. D. ‎ ‎2.分式型函数（）求解最值。‎ 例6：（2010年高考江苏卷第14题）将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,则S的最小值是_________。‎ 例7：（2010年高考全国Ⅰ卷第11题）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（ ）‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ 三、解决恒成立问题 例8：若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．‎ 变式训练：已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．‎ ‎◆课后强化 一、选择题。‎ ‎1．已知ab≠0，a，b∈R，则下列式子总能成立的是(　　)‎ A.＋≥2 B.＋≥－2‎ C.＋≤－2 D.≥2‎ ‎2．[2011·重庆卷] 若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　)‎ A．1＋ B．1＋ C．3 D．4‎ ‎3．对一切正数m，不等式n<＋2m恒成立，则常数n的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，0) B．(－∞，4)‎ C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)‎ ‎4．[2011·陕西卷] 设00，b>0，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是(　　)‎ A．ab＝AG B．ab≥AG C．ab≤AG D．不能确定 ‎6．设a、b、c都是正数，那么a＋、b＋、c＋三个数(　　)‎ A．都不大于2 B．都不小于2‎ C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2‎ ‎7．若x、y、z均为正实数，则的最大值是(　　)‎ A. B. C．2 D．2 ‎8．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　　)‎ A．最大值为0 B．最小值为0‎ C．最大值为－4 D．最小值为－4‎ ‎9．设x，y∈R，且x＋y＝4，则5x＋5y的最小值是(　　)‎ A．9 B．25 C．50 D．162‎ ‎10．若logx＋logy＝8，则3x＋2y的最小值为(　　)‎ A．4 B．8 C．4 D．8 二、 填空题。‎ ‎1．若a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则P，Q，R的大小关系为________．‎ ‎2.（2010年高考山东卷第14题）若对任意，恒成立，则的取值范围是 。‎ ‎3.（2010年高考重庆文科卷第12题）已知,则函数的最小值为 ‎ ‎4.（2010年高考浙江文科卷第15题）若正实数x，y 满足 ，则xy 的最小值是 。（变式：求2x+y的最小值为______）‎ ‎5．下列函数中，y的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号)．‎ ‎①y＝x＋(x>0)；②y＝；③y＝ex＋4e－x；④y＝sinx＋.‎ 6． 设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是________．‎ 7． 设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于________．‎ 三、 解答题。‎ ‎1．(13分)若x，y∈R，且满足(x2＋y2＋2)(x2＋y2－1)－18≤0.‎ ‎(1)求x2＋y2的取值范围；‎ ‎(2)求证：xy≤2.‎ ‎2．(12分)如图K37－1，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．‎ ‎(1)设AD＝x(x≥0)，ED＝y，求用x表示y的函数关系式；‎ ‎(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．‎ ‎5．在三角形ABC中，角A、B、C对边为a、b、c，且，‎ （1） 求C；‎ （2） 当三角形ABC面积最大时，求sin A 。‎ 答案 ‎◆课前热身（略）‎ ‎◆考点剖析 例1.解：因为x>0，y>0，所以(当且仅当，即x=6，y=8时取等号)，于是，‎ ‎，故xy的最大值位3.‎ 例2.解：w ‎＝‎ ‎＝≥2＋2＝4‎ 当且仅当ab＝1，a(a－b)＝1时等号成立，如取a＝,b＝满足条件。‎ 故选择答案D 例3. 1/5 例4.18 ‎ 例5.解： 因为x>0，y>0，所以，‎ 整理得 ‎ 即，又，‎ 等号当且仅当时成立，故选择答案B。‎ 例6.解：设剪成的小正三角形的边长为，则 令，则 令，则 因为，所以，等号当且仅当t=4，即时成立。‎ 所以最小值为8‎ 故的最小值为8，S的最小值是。‎ 例7. 例5图 解：如图所示：设PA=PB=,‎ ‎∠APO=，则∠APB=，PO=，‎ ‎，‎ ‎===，‎ 令，则，令，‎ 则 等号当且仅当，即时成立。‎ 故.此时.，选择答案D。‎ 例8. 变式：10‎ ‎◆课后强化 一、选择题。‎ ‎1.D 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.C 二、填空。‎ ‎1.P