高考理科数学全国2卷 8页

‎2004年高考试题全国卷2 ‎ 理科数学（必修＋选修Ⅱ）‎ ‎(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎（1）已知集合M＝{x|x2＜4，N＝{x|x2－2x－3＜0，则集合M∩N＝‎ ‎（A）{x|x＜－2　 （B）{x|x＞3}‎ ‎（C）{x|－1＜x＜2 （D）{x|2＜x＜3‎ ‎（2）＝‎ ‎（A）　　 （B）1　　　 （C）　　　 （D）‎ ‎（3）设复数ω＝－＋i，则1＋ω＝‎ ‎（A）–ω　　 （B）ω2　　 （C）　　　　 （D）‎ ‎（4）已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为 ‎（A）(x＋1)2＋y2＝1　　　 （B）x2＋y2＝1　　　‎ ‎（C）x2＋(y＋1)2＝1　　　 （D）x2＋(y－1)2＝1‎ ‎（5）已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点(,0)，则φ可以是 ‎（A）－　　 （B）　　　　　　（C）－　　　 （D）‎ ‎（6）函数y＝－ex的图象 ‎（A）与y＝ex的图象关于y轴对称　　　　 （B）与y＝ex的图象关于坐标原点对称 ‎（C）与y＝e－x的图象关于y轴对称　　　 （D）与y＝e－x的图象关于坐标原点对称 ‎（7）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为 ‎（A）　　　 （B）　　　 （C）　　　 （D）‎ ‎（8）在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有 ‎（A）1条　　　　 （B）2条 （C）3条　　　 （D）4条 ‎（9）已知平面上直线的方向向量，点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别是O1和A1，则＝，其中＝‎ ‎ （A）　　　　 （B）－　　 （C）2　　　　　　 （D）－2‎ ‎（10）函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数 ‎（A）(，)　 （B）(，2)　 （C）(，)　 （D）(2，3)‎ ‎（11）函数y＝sin4x＋cos2x的最小正周期为 ‎（A）　　　 （B）　　　 （C）　　　　　 （D）2‎ ‎（12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有 ‎（A）56个　　　　　（B）57个　　　　　（C）58个　　　　　 （D）60个 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．‎ ‎（13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎（14）设x，y满足约束条件 则z＝3x＋2y的最大值是 ．‎ ‎（15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ．‎ ‎（16）下面是关于四棱柱的四个命题：‎ ‎ ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ‎②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ‎③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 ‎④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是　　 　(写出所有真命题的编号)．‎ 三、 解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17） (本小题满分12分)‎ 已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝．‎ ‎(Ⅰ)求证：tanA＝2tanB；‎ ‎(Ⅱ)设AB＝3，求AB边上的高．‎ ‎（18）(本小题满分12分)‎ 已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A、B两组，每组4个．求 ‎ ‎(Ⅰ)A、B两组中有一组恰有两个弱队的概率；‎ ‎(Ⅱ)A组中至少有两个弱队的概率．‎ ‎（19）(本小题满分12分)‎ 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn（n＝1，2，3，…）．证明：‎ ‎(Ⅰ)数列{}是等比数列；‎ ‎(Ⅱ)Sn＋1＝4an．‎ ‎（20）(本小题满分12分) ．‎ 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90o，AC＝1，CB＝，侧棱AA1＝1‎ ‎，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M．‎ ‎(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；‎ ‎(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小．‎ ‎（21）(本小题满分12分)‎ ‎ 给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．‎ ‎(Ⅰ)设l的斜率为1，求与夹角的大小；‎ ‎(Ⅱ)设＝，若∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．‎ ‎(22)(本小题满分14分)‎ 已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx．‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值；‎ ‎(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g()＜(b－a)ln2．‎ ‎2004年高考试题全国卷2 ‎ 理科数学（必修＋选修Ⅱ）‎ ‎(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)‎ 答案：‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D ‎ ‎（7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．‎ ‎（13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）x2＋y2＝1 （16）②④‎ ‎17．(I)证明：∵sin(A+B)=,sin(A-B)=‎ ‎∴，∴.‎ ‎(II)解：∵=‎ 所以与夹角的大小为-arccos.‎ 解：(II)由题设知得：(x2-1,y2)=λ(1-x1,-y1)，即 由 (2)得y22=λ2y12, ∵y12=4x1,y22=4x2,∴x2=λ2x1……………………………………(3)‎ 联立(1)(3)解得x2=λ.依题意有λ>0.‎ ‎∴B(λ,2)或B(λ,-2)，又F(1,0),‎ 得直线l的方程为(λ-1)y=2(x-1)或(λ-1)y=-2(x-1)‎ 当λ∈[4,9]时，l在y轴上的截距为或-‎ 由=，可知在[4，9]上是递减的，‎ ‎∴，--‎ 直线l在y轴上截距的变化范围是 ‎22．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞),(x)=.令(x)=0，解得x=0，当-10,当x>0时,(x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0‎ ‎(II)证法一：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=a.‎ 由(I)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x≠0)，由题设0-.‎ 又 ‎ aa时因此F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,b>a,所以F(b)>0,即00时,,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.‎