新课标备战高考数学文专题复习73直线平面简单几何体——直线和平面平行及平面与平面平行 4页

第73课时：第九章 直线、平面、简单几何体——直线和平面平行及平面与平面平行 课题：直线和平面平行及平面与平面平行 一．复习目标：‎ ‎1．了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．‎ ‎2．了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．‎ 二．课前预习：‎ ‎1．已知直线、和平面，那么的一个必要不充分的条件是（ ）‎ ‎， ， ‎ 且 、与成等角 ‎ ‎2．、表示平面，、表示直线，则的一个充分条件是 （ ）‎ ‎，且 ，且 ‎，且 ，且 ‎3.已知平面平面，是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，，，则的长为（ ）‎ ‎ 或 ‎ ‎4．空间四边形的两条对角线，，则平行于两对角线的截面四边形的周长的取值范围是 ．答案：（8，12）‎ 三．例题分析：‎ 例1．正方体ABCD—A1B‎1C1D1中．‎ ‎(1)求证：平面A1BD∥平面B1D‎1C；‎ ‎(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．‎ ‎ 证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，‎ A1‎ A B1‎ B C1‎ C D1‎ D G E F ‎∴B1D1∥BD， ‎ 又BD Ë平面B1D‎1C，B1D1平面B1D‎1C，‎ ‎∴BD∥平面B1D‎1C．‎ 同理A1D∥平面B1D‎1C．‎ 而A1D∩BD＝D，‎ ‎∴平面A1BD∥平面B1CD．‎ ‎(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．‎ 取BB1中点G，∴AE∥B‎1G．‎ 从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．‎ ‎∴AG∥DF．‎ ‎∴B1E∥DF．‎ ‎∴DF∥平面EB1D1．‎ ‎∴平面EB1D1∥平面FBD．‎ 说明 要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．‎ 例2．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．‎ 求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．‎ 证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC． ‎ ‎∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝CA．‎ ‎∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．‎ ‎∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．‎ ‎(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACËα．‎ B A D C P N Q M 否则，若ACÌα，‎ 由A∈α，M∈α，得B∈α；‎ 由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，‎ 与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．‎ 又∵MNÌα，∴AC∥α，‎ 又AC Ëα，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．‎ 同理可证BD∥平面MNP．‎ 小结：‎ 例3．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，点分别在和上，并且，平面，求线段的长．‎ 解：延长交延长线于点，连，可证得∥，由与相似及已知求得。在等腰中，求出，又在中，由余弦定理求得。‎ ‎∵，∴，∴．‎ 四．课后作业：‎ ‎1．设线段是夹在两平行平面间的两异面线段，点，，若分别为的中点，则有 （ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2．是两个不重合平面，是两条不重合直线，那么的一个充分条件是( C )‎ ‎，，且， ，，且 ‎，，且 ，，且 ‎3．在正四棱柱中，分别为棱的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足条件 ‎ 时，有平面．（点在线段上）‎ ‎4．在长方体中，经过其对角线的平面分别与棱、相交于两点，则四边形的形状为 ．（平行四边形）‎ ‎5．如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．‎ 证明：∵ A，B，C，D四点在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，‎ ‎∴A，B，C，D四点共面．‎ A B C D B1‎ ‎1‎ D1‎ C1‎ ‎1‎ α ‎1‎ A1‎ B2‎ A2‎ C2‎ D2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ β 又A，B，C，D四点在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，‎ ‎∴平面ABB‎1A1∥平面CDD‎1C1．‎ ‎∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB‎1A1，平面CDD‎1C1的交线．‎ ‎∴AB∥CD．‎ 同理AD∥BC．‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎6．若一直线与一个平面平行，则过平面内的一点且与这条直线平行的直线必在此平面内．‎ 解：如图，设，，．由，‎ ‎∴它们确定一个平面，设，可证，‎ 在平面内，过点存在，，‎ ‎∴与重合，即．‎ ‎7．点是所在平面外一点，分别是、、的重心，求证：（1）平面平面；（2）求．‎ 证明：（1）如图，分别取的中点，‎ 连结，‎ ‎∵分别是、、的重心，‎ ‎∴分别在上，‎ 且．‎ 在中，，故，‎ 又为的边的中点，，‎ ‎∴，∴平面，同理平面 ‎∴平面平面．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎∴．‎