高考数学一轮复习学案集合与常用逻辑用语 6页

第一章　集合与常用逻辑用语 §1.1　集合的概念与运算 导学目标： 1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问 题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与 交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含 义，会求给定子集的补集.5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 自主梳理 1．集合与元素 集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或 表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图． (4)常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋ Z Q R 2.集合间的基本关系 (1)子集：对任意的 x∈A，都有 x∈B，则 A⊆B(或 B⊇A)． (2)相等：若 A⊆B 且 B⊆A，则 A＝B. (3)真子集：若 A⊆B 且 A≠B，则 AB. (4)空集：∅⊆A，∅B(B≠∅)． 3．集合的运算及性质 (1)交、并、补集 设集合 A，B，则 A∩B＝{x|x∈A 且 x∈B}，A∪B＝{x|x∈A 或 x∈B}． 设全集为 U，则∁UA＝{x|x∈U 且 x A}． (2)性质： A∩∅＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B， A∩B＝A⇔A⊆B. A∪∅＝A，A∪B⊇A，A∪B⊇B， A∪B＝B⇔A⊆B. A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U. 自我检测 1．下列集合表示同一集合的是(　　) A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)} B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} C．M＝{4,5}，N＝{5,4} D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)} 答案　C 2．(2011·蚌埠联考)集合 M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，集合 N＝{x|y＝9－x2，x∈R}，则 M∩N 等于(　　) A．{t|0≤t≤3} B．{t|－1≤t≤3} C．{(－ 2，1)，( 2，1)} D．∅ 答案　B 解析　∵y＝x2－1≥－1，∴M＝[－1，＋∞)． 又∵y＝ 9－x2，∴9－x2≥0. ∉ ∉ ∴N＝[－3,3]．∴M∩N＝[－1,3]． 3．已知集合 A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且 B⊆A，则 a＝________. 答案　－1 或 2 解析　由 a2－a＋1＝3，∴a＝－1 或 a＝2，经检验符合． 由 a2－a＋1＝a，得 a＝1，但集合中有相同元素，舍去，故 a＝－1 或 2. 4．若集合 A 含有 10 个元素，B 含有 8 个元素，集合 A∪B 中含有 15 个元素，则集合 A∩B 中含有________个元素，B 中含有________个不属于 A∩B 的元素． 答案　3　5 解析　借用 Venn 图． 5．满足 M⊆{a 1，a2，a3，a4}，且 M∩{a1，a2，a3}＝{a 1，a2}的集合 M 的个数是 ________． 答案　2 解析　∵M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}， ∴a1∈M，a2∈M，a3 M. 又∵M⊆{a1，a2，a3，a4}， ∴M 为{a1，a2}或{a1，a2，a4}． 探究点一　集合的基本概念 例 1 　若 a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，b a，b}，求 b－a 的值． 解题导引　解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但 解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性． 解　由{1，a＋b，a}＝{0，b a，b}可知 a≠0，则只能 a＋b＝0，则有以下对应关系： Error!①　 或 Error!② 由①得Error!符合题意；②无解． ∴b－a＝2. 变式迁移 1　设集合 A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且 A＝B，求实数 a，b. 解　由元素的互异性知， a≠1，b≠1，a≠0，又由 A＝B， 得Error!或Error!解得 a＝－1，b＝0. 探究点二　集合间的关系 例 2 　设集合 M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关 系中正确的是(　　) A．M＝N B．MN C．MN D．M∈N 解题导引　一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系， 应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理， 弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系． 答案　A 解析　集合 M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}， N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．∴M＝N. 变式迁移 2　设集合 P＝{m|－13}． 当(∁RA)∩B＝B 时，B⊆∁RA， 即 A∩B＝∅. ①当 B＝∅，即 a≥0 时，满足 B⊆∁RA； ②当 B≠∅，即 a<0 时，B＝{x|－ －a5}． (1)若 a＝1，求 A∩B； (2)若 A∪B＝R，求实数 a 的取值范围． 解　(1)当 a＝1 时， A＝{x|－35}，且 A∪B＝R， ∴Error!⇒12m－1，即 m<2 时，B＝∅，满足 B⊆A；[8 分] 若 B≠∅，且满足 B⊆A，如图所示， 则Error!即Error!∴2≤m≤3.[10 分] 故 m<2 或 2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}．[12 分] 【突破思维障碍】 在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析 与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循 “不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答． 【易错点剖析】 (1)容易忽略 a＝0 时，S＝∅这种情况． (2)想当然认为 m＋1<2m－1 忽略“>”或“＝”两种情况． 解答集合问题时应注意五点： 1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验． 2．注意描述法给出的集合的元素．如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的 集合． 3．注意∅的特殊性．在利用 A⊆B 解题时，应对 A 是否为∅进行讨论． 4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助 Venn 图和数轴使抽象 问题直观化，一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示，元素连续时用数轴表示，同时 注意端点的取舍． 5．注意补集思想的应用．在解决 A∩B≠∅时，可以利用补集思想，先研究 A∩B＝∅的 情况，然后取补集． (满分：76 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合 A 的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 答案　B 解析　A＝{1}∪B，其中 B 为{2,3}的子集，且 B 非空，显然这样的集合 A 有 3 个，即 A ＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}． 2．设 P、Q 为两个非空集合，定义集合 P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若 P＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则 P＋Q 中元素的个数是(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 答案　B 解析　P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故 P＋Q 中元素的个数是 8. 3．(2010·北京)集合 P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则 P∩M 等于(　　) A．{1,2} B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{0,1,2,3} 答案　B 解析　由题意知：P＝{0,1,2}， M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P∩M＝{0,1,2}． 4．(2010·天津)设集合 A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|14}，N＝{x| 2 x－1≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是(　　) A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2} C．{x|12 或 x<－2}，集合 N 为 {x|10}，求 A∪B 和 A∩B. 解　∵A＝{x|x2＋5x－6≤0}＝{x|－6≤x≤1}．(3 分) B＝{x|x2＋3x>0}＝{x|x<－3 或 x>0}．(6 分) 如图所示， ∴A∪B＝{x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3 或 x>0}＝R.(9 分) A∩B＝{x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3 或 x>0} ＝{x|－6≤x<－3，或 00 时，如图，若 B⊆A， 则Error!(9 分) ∴Error!∴0