2018高考一轮复习函数知识点及最新题型归纳 23页

‎ 2018高考 一轮复习函数知识点及题型归纳 一、函数的及其表示 题型一：函数的概念 映射的概念：设，是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个元素在集合中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做从集合到集合的映射，记作：→．‎ 函数的概念：如果、都是非空的数集，那么到的映射：→就叫做到的函数，记作 ,其中x,y，原象的集合叫做定义域，象的集合叫做函数的值域．‎ 映射的基本条件：‎ 1. 可以多个x对应一个y，但不可一个x对应多个y。‎ 2. 每个x必定有y与之对应，但反过来，有的y没有x与之对应。‎ 函数是一种特殊的映射，必须是数集和数集之间的对应。 ‎ 例1：已知集合P={}，Q={}，下列不表示从P到Q的映射是（ ）‎ ‎ A. f∶x→y=x B. f∶x→y= C. f∶x→y= D. f∶x→y=‎ 例2：设M＝｛x｜－2≤x≤2｝，N＝｛y｜0≤y≤2｝，函数f（x）的定义域为M，值域为N，‎ 则f（x）的图象可以是（　　）‎ 例3：下列各组函数中，函数与表示同一函数的是 ‎ ‎（1）＝，＝； （2）＝3－1，＝3－1；‎ ‎（3）＝，＝1； （4）＝，＝；‎ 题型二：函数的表达式 ‎1. 解析式法 例4：已知函数 .‎ 真题：【2017年山东卷第9题】设,若,则 ‎（A）2 （B） 4 （C） 6 （D） 8‎ ‎[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(a∈R)．若f[f(－1)]＝1，则a＝(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ ‎【2015高考新课标1文10】已知函数 ，且，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2. 图象法 例5：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是_______________‎ s t O A．‎ s t O s t O s t O B．‎ C．‎ D．‎ 例6：向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图2—4所示，那么水瓶的形状是（ ）‎ 例7：如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线，之间，//，与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧FG的长为x(0＜x＜π),y=EB+BC+CD，若从平行移动到，则函数y=f(x)的图像大致是( )‎ 真题：【2015高考北京】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 ‎【2015年新课标2文科】如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记 ,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数 ,则的图像大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.表格法 例8：已知函数，分别由下表给出 则的值为 ；满足的的值是 ．‎ 题型三：求函数的解析式.‎ ‎1. 换元法 例9：已知，则函数= ‎ 变式1：已知，则= ‎ 变式2：已知f（x6）＝log2x，那么f（8）等于 ‎ ‎2.待定系数法 例10：已知二次函数(x)满足条件(0)=1及(x+1)-(x)=2x。则(x)的解析式____________‎ ‎3.构造方程法 例11：已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)= ,则f(x)= ‎ 变式：已知，则f(x)= ‎ ‎4.凑配法 例12：若，则函数=_____________.‎ ‎5.对称问题求解析式 例13：已知奇函数，则当时，f(x)= ‎ 真题：【2013安徽卷文14】定义在上的函数满足.若当时。，则当时，= .‎ 变式：已知f(x)是奇函数，且，当时，，则当时，‎ ‎= ‎ ‎【2017年新课标II第14题】已知函数是定义在R上的奇函数，当x时，,‎ 则 ‎ 二．函数的定义域 题型一：求函数定义域问题 ‎1.求有函数解析式的定义域问题 例14：求函数＝＋的定义域.‎ 真题：【2015高考湖北文6】函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（2016年江苏省高考）函数y=的定义域是 ▲ .‎ ‎2.求抽象函数的定义域问题 例15：若函数＝的定义域是[1，4]，则＝的定义域是 ．‎ 例16：若函数＝的定义域是[1，2]，则＝的定义域是 ．‎ 真题：已知的定义域为，则的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 题型二：已知函数定义域的求解问题 例17：如果函数的定义域为R，则实数k的取值范围是 .‎ 变式：已知函数的值域是，则实数的取值范围是_____________‎ 三．函数的值域 ‎1.二次函数类型（图象法）:‎ 例18：函数 ，的值域为 ‎ 换元后可化为二次函数型：‎ 例19：求函数的值域为 ‎ 真题：【2017年浙江卷第5题】若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m A. 与a有关，且与b有关 B. 与a有关，但与b无关 ‎ C. 与a无关，且与b无关 D. 与a无关，但与b有关 ‎2.单调性法 例20：求函数 的最大值和最小值。‎ ‎3.复合函数法 例21：求函数 的最大值和最小值。‎ 真题：求函数的范围。‎ ‎4.函数有界性法 例22：函数的值域为 ‎ ‎5.判别式法 例23：函数的值域为 ‎ ‎6.不等式法求最值（不等式部分讲解）‎ 例24：函数=的最大值是 ‎ ‎7.导数法求函数的极值及最值（详见导数专题）‎ 真题：‎ ‎【2014上海文，7】设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 ．‎ ‎【2012高三一模虹口区13】已知函数，对于任意的都能找到，则实数的取值范围是 ．‎ ‎（2016年全国II卷高考）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（ ）‎ ‎（A）y=x （B）y=lgx （C）y=2x （D）‎ 四．函数的奇偶性 定义：若，或者，则称为奇函数。‎ ‎ 若，则称为偶函数。‎ 有奇偶性的前提条件：定义域必须关于原点对称。‎ 结论：‎ 常见的偶函数：，，，等等。‎ 常见的奇函数： ，，，，，‎ ‎，，，等等。‎ 结论：‎ 奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇+偶=非奇非偶 奇*奇=偶 偶*偶=偶 奇*偶=奇 偶+常数=偶 奇+常数=非奇非偶 因为为奇函数，为偶函数，所以可以把奇函数看作是“负号”，把偶函数看作是“正号”，则有助于记忆。‎ 题型一：判断函数的奇偶性：‎ ‎1.图像法.‎ 例25：画出函数 的图象并判断函数的奇偶性 ‎ ‎2．定义法：‎ 例26：判断函数的奇偶性 ‎ ‎3．结论法 例27：判断函数的奇偶性 ‎ 题型二：已知函数奇偶性的求解问题 例28：已知函数为定义在上的奇函数，且当时，求 的解析式 ‎ 例29：已知是定义域为的偶函数，当≥时，，那么，不等式的解集是_______‎ 例30：已知定义域为R的函数是奇函数.则 .b ‎ 真题：【2013辽宁文，6】6．若函数为奇函数，则 ．‎ ‎【2015，新课标】若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝ ‎ ‎【2015高考山东文8】若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为 ‎ ‎（2016年天津高考）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足 ‎，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【2017年山东卷第14题】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当时,,则f(919)= .‎ ‎【2017年天津卷第6题】已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【2017年北京卷第5题】已知函数，则 ‎（A）是偶函数，且在R上是增函数 （B）是奇函数，且在R上是增函数 ‎（C）是偶函数，且在R上是减函数 （D）是奇函数，且在R上是增函数 题型三：，其中为奇函数，为常数，则：‎ 例31：已知都是奇函数，且在的最大值是8，则在的最 值是 ‎ 真题：【2012高考新课标文16】设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=____ ‎ ‎【2011广东文12】设函数．若，则 ．‎ ‎【2013重庆高考文科 9】已知函数，，则 A. B. C. D.‎ ‎【2013高考文 7】已知函数，则（ ）‎ ‎ ‎ 题型四：利用奇偶性和周期性求函数值的问题 例32：设是定义在上的奇函数，当时，，则( )．‎ 例33：设是周期为的奇函数，当时，，则 ‎ 真题：（2016年四川高考）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当00时，- f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（ ）‎ ‎（A）（，-1）∪（0,1） （B）（，0）∪（1,+） ‎ ‎（C）（，-1）∪（-1,0） （D）（，1）∪（1,+） ‎ ‎【2017年江苏卷第14题】设f(x)是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合D=，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 .‎ 七：函数图象的基本变换 结论：由函数可得到如下函数的图象 ‎1.平移：‎ ‎（1）：把函数y =f (x)的图象向左平移m的单位（如m<0则向右平移-m个单位）。‎ ‎（2）：把函数y =f (x)的图象向上平移m的单位（如m<0则向下平移-m个单位）。‎ ‎2.对称：关于直线对称 ‎(Ⅰ) (1)函数与的图象关于y轴对称。‎ ‎(2)函数与的图象关于x轴对称。‎ ‎(3)函数与的图象关于直线对称。‎ ‎(Ⅱ) (4)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y轴翻折至左侧。（实际上y = f (|x|)是偶函数）‎ ‎(5)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x轴下侧的图象沿x轴翻折至上侧。‎ ‎ ‎ ‎3.伸缩 ‎（1）函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的倍得到。（如果00)的图象可将y = f (x)图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的倍得到。（如果00且a≠1)‎ 例52：设都是不等于的正数，在同一坐标系中的图像如图所示，则的大小顺序是 （ ）‎ A B ‎ C D ‎ 例53：函数对于任意的x,y都有 ‎（A） （B） ‎ ‎ （C） （D）‎ 题型三：指数函数性质的综合应用 ‎(1)指数函数的概念：‎ 一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．‎ ‎(2)指数函数的图像和性质 a>1‎ ‎00时，y>1‎ 当x<0时，00时，01‎ 补充：恒过定点问题：‎ 例54：函数且的图像必经过点 ‎ 例55：函数的图像必经过点 ‎ 例56：函数的图像恒过定点 ‎ 例57：函数的图像必经过点 ‎ 真题：（2016年全国III卷高考）已知，则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 九．对数函数 题型一：对数运算 ‎(1)对数的定义：‎ 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）‎ ‎(2)对数的运算性质：‎ 如果，且，，，那么：‎ ‎①·______________②___________③_________________．‎ 注意：换底公式 ‎（，且；，且；）．‎ ‎(3)几个小结论：‎ ‎①；②；③；④‎ ‎(4)对数的性质：负数没有对数；‎ 例58：求值 ‎ 例59：若，则 ‎ 例60：，则 例61：若，，则 ，= ‎ 真题：若点在图像上，,则下列点也在此图像上的是( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【2015高考浙江，文9】计算： ， ．‎ ‎【2015高考四川，文12】lg0.01＋log216＝_____________.‎ ‎【2015高考上海，文8】方程的解为 .‎ ‎【2015高考北京】如图，函数的图像为折线，则不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 题型二：对数函数及其性质 ‎(1)对数函数的概念：‎ 函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．‎ ‎(2)对数函数的图像和性质：‎ a>1‎ ‎01时，y>0‎ 当01时，y<0‎ 当00‎ 例64：函数的图像关于（ ）‎ ‎ A.轴对称 B.轴对称 C.原点对称 D.直线对称 例65：已知，则函数的单调增区间为 ,当时，函数的最小值为 ‎ 例66：的递增区间为 ‎ 例67：若存在正数使成立，则的取值范围是（ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ 例68：当00．若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是_______．‎ 题型四：具有周期性的函数的零点个数问题 例88：已知是上最小正周期为的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为 ( )．‎ ‎ A．6 B．7 C．8 D．9 ‎ 例89：已知函数的周期为2，当时函数，那么函数的图像与函数的图像的交点共有( )．‎ ‎ A．10个 B．9个 C．8个 D．1个 题型五：一元二次方程根的分布 例90：关于的方程的两根在之间，求的取值范围.‎ 例91：已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围 例92：求实数m的取值范围，使关于x的方程，‎ ‎（1）有两个实数根，且一个比2大，一个比2小；（2）有两个实数根，且都比1大；（3）有两个实数根，且满足两根都在（0,3之间）；（4）至少有一个正根