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  • 2021-05-14 发布

2018高考一轮复习函数知识点及最新题型归纳

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‎ 2018高考 一轮复习函数知识点及题型归纳 一、函数的及其表示 题型一:函数的概念 映射的概念:设,是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中的每一个元素在集合中都有唯一确定的元素和它对应,那么这样的对应叫做从集合到集合的映射,记作:→.‎ 函数的概念:如果、都是非空的数集,那么到的映射:→就叫做到的函数,记作 ,其中x,y,原象的集合叫做定义域,象的集合叫做函数的值域.‎ 映射的基本条件:‎ 1. 可以多个x对应一个y,但不可一个x对应多个y。‎ 2. 每个x必定有y与之对应,但反过来,有的y没有x与之对应。‎ 函数是一种特殊的映射,必须是数集和数集之间的对应。 ‎ 例1:已知集合P={},Q={},下列不表示从P到Q的映射是( )‎ ‎ A. f∶x→y=x B. f∶x→y= C. f∶x→y= D. f∶x→y=‎ 例2:设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数f(x)的定义域为M,值域为N,‎ 则f(x)的图象可以是(  )‎ 例3:下列各组函数中,函数与表示同一函数的是 ‎ ‎(1)=,=; (2)=3-1,=3-1;‎ ‎(3)=,=1; (4)=,=;‎ 题型二:函数的表达式 ‎1. 解析式法 例4:已知函数 .‎ 真题:【2017年山东卷第9题】设,若,则 ‎(A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 8‎ ‎[2014·江西卷] 已知函数f(x)=(a∈R).若f[f(-1)]=1,则a=(  )‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎【2015高考新课标1文10】已知函数 ,且,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2. 图象法 例5:汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数,其图像可能是_______________‎ s t O A.‎ s t O s t O s t O B.‎ C.‎ D.‎ 例6:向高为H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图2—4所示,那么水瓶的形状是( )‎ 例7:如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线,之间,//,与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧FG的长为x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若从平行移动到,则函数y=f(x)的图像大致是( )‎ 真题:【2015高考北京】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 ‎【2015年新课标2文科】如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记 ,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数 ,则的图像大致为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.表格法 例8:已知函数,分别由下表给出 则的值为 ;满足的的值是 .‎ 题型三:求函数的解析式.‎ ‎1. 换元法 例9:已知,则函数= ‎ 变式1:已知,则= ‎ 变式2:已知f(x6)=log2x,那么f(8)等于 ‎ ‎2.待定系数法 例10:已知二次函数(x)满足条件(0)=1及(x+1)-(x)=2x。则(x)的解析式____________‎ ‎3.构造方程法 例11:已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)= ,则f(x)= ‎ 变式:已知,则f(x)= ‎ ‎4.凑配法 例12:若,则函数=_____________.‎ ‎5.对称问题求解析式 例13:已知奇函数,则当时,f(x)= ‎ 真题:【2013安徽卷文14】定义在上的函数满足.若当时。,则当时,= .‎ 变式:已知f(x)是奇函数,且,当时,,则当时,‎ ‎= ‎ ‎【2017年新课标II第14题】已知函数是定义在R上的奇函数,当x时,,‎ 则 ‎ 二.函数的定义域 题型一:求函数定义域问题 ‎1.求有函数解析式的定义域问题 例14:求函数=+的定义域.‎ 真题:【2015高考湖北文6】函数的定义域为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎(2016年江苏省高考)函数y=的定义域是 ▲ .‎ ‎2.求抽象函数的定义域问题 例15:若函数=的定义域是[1,4],则=的定义域是 .‎ 例16:若函数=的定义域是[1,2],则=的定义域是 .‎ 真题:已知的定义域为,则的定义域为( )‎ A. B. C. D.‎ 题型二:已知函数定义域的求解问题 例17:如果函数的定义域为R,则实数k的取值范围是 .‎ 变式:已知函数的值域是,则实数的取值范围是_____________‎ 三.函数的值域 ‎1.二次函数类型(图象法):‎ 例18:函数 ,的值域为 ‎ 换元后可化为二次函数型:‎ 例19:求函数的值域为 ‎ 真题:【2017年浙江卷第5题】若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m A. 与a有关,且与b有关 B. 与a有关,但与b无关 ‎ C. 与a无关,且与b无关 D. 与a无关,但与b有关 ‎2.单调性法 例20:求函数 的最大值和最小值。‎ ‎3.复合函数法 例21:求函数 的最大值和最小值。‎ 真题:求函数的范围。‎ ‎4.函数有界性法 例22:函数的值域为 ‎ ‎5.判别式法 例23:函数的值域为 ‎ ‎6.不等式法求最值(不等式部分讲解)‎ 例24:函数=的最大值是 ‎ ‎7.导数法求函数的极值及最值(详见导数专题)‎ 真题:‎ ‎【2014上海文,7】设是定义在上、以1为周期的函数,若在上的值域为,则在区间上的值域为 .‎ ‎【2012高三一模虹口区13】已知函数,对于任意的都能找到,则实数的取值范围是 .‎ ‎(2016年全国II卷高考)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是( )‎ ‎(A)y=x (B)y=lgx (C)y=2x (D)‎ 四.函数的奇偶性 定义:若,或者,则称为奇函数。‎ ‎ 若,则称为偶函数。‎ 有奇偶性的前提条件:定义域必须关于原点对称。‎ 结论:‎ 常见的偶函数:,,,等等。‎ 常见的奇函数: ,,,,,‎ ‎,,,等等。‎ 结论:‎ 奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇+偶=非奇非偶 奇*奇=偶 偶*偶=偶 奇*偶=奇 偶+常数=偶 奇+常数=非奇非偶 因为为奇函数,为偶函数,所以可以把奇函数看作是“负号”,把偶函数看作是“正号”,则有助于记忆。‎ 题型一:判断函数的奇偶性:‎ ‎1.图像法.‎ 例25:画出函数 的图象并判断函数的奇偶性 ‎ ‎2.定义法:‎ 例26:判断函数的奇偶性 ‎ ‎3.结论法 例27:判断函数的奇偶性 ‎ 题型二:已知函数奇偶性的求解问题 例28:已知函数为定义在上的奇函数,且当时,求 的解析式 ‎ 例29:已知是定义域为的偶函数,当≥时,,那么,不等式的解集是_______‎ 例30:已知定义域为R的函数是奇函数.则 .b ‎ 真题:【2013辽宁文,6】6.若函数为奇函数,则 .‎ ‎【2015,新课标】若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a= ‎ ‎【2015高考山东文8】若函数是奇函数,则使成立的的取值范围为 ‎ ‎(2016年天津高考)已知是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增,若实数满足 ‎,则的取值范围是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【2017年山东卷第14题】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当时,,则f(919)= .‎ ‎【2017年天津卷第6题】已知奇函数在上是增函数.若,则的大小关系为 ‎(A)(B)(C)(D)‎ ‎【2017年北京卷第5题】已知函数,则 ‎(A)是偶函数,且在R上是增函数 (B)是奇函数,且在R上是增函数 ‎(C)是偶函数,且在R上是减函数 (D)是奇函数,且在R上是增函数 题型三:,其中为奇函数,为常数,则:‎ 例31:已知都是奇函数,且在的最大值是8,则在的最 值是 ‎ 真题:【2012高考新课标文16】设函数的最大值为M,最小值为m,则M+m=____ ‎ ‎【2011广东文12】设函数.若,则 .‎ ‎【2013重庆高考文科 9】已知函数,,则 A. B. C. D.‎ ‎【2013高考文 7】已知函数,则( )‎ ‎ ‎ 题型四:利用奇偶性和周期性求函数值的问题 例32:设是定义在上的奇函数,当时,,则( ).‎ 例33:设是周期为的奇函数,当时,,则 ‎ 真题:(2016年四川高考)若函数f(x)是定义R上的周期为2的奇函数,当00时,- f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )‎ ‎(A)(,-1)∪(0,1) (B)(,0)∪(1,+) ‎ ‎(C)(,-1)∪(-1,0) (D)(,1)∪(1,+) ‎ ‎【2017年江苏卷第14题】设f(x)是定义在R 且周期为1的函数,在区间上,其中集合D=,则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 .‎ 七:函数图象的基本变换 结论:由函数可得到如下函数的图象 ‎1.平移:‎ ‎(1):把函数y =f (x)的图象向左平移m的单位(如m<0则向右平移-m个单位)。‎ ‎(2):把函数y =f (x)的图象向上平移m的单位(如m<0则向下平移-m个单位)。‎ ‎2.对称:关于直线对称 ‎(Ⅰ) (1)函数与的图象关于y轴对称。‎ ‎(2)函数与的图象关于x轴对称。‎ ‎(3)函数与的图象关于直线对称。‎ ‎(Ⅱ) (4)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y轴右侧的图象保留,并将y =f (x)右侧的图象沿y轴翻折至左侧。(实际上y = f (|x|)是偶函数)‎ ‎(5)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x轴上侧的图象保留,并将y = f (x)在x轴下侧的图象沿x轴翻折至上侧。‎ ‎ ‎ ‎3.伸缩 ‎(1)函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的倍得到。(如果00)的图象可将y = f (x)图象上各点的横坐标不变,纵坐标缩小到原来的倍得到。(如果00且a≠1)‎ 例52:设都是不等于的正数,在同一坐标系中的图像如图所示,则的大小顺序是 ( )‎ A B ‎ C D ‎ 例53:函数对于任意的x,y都有 ‎(A) (B) ‎ ‎ (C) (D)‎ 题型三:指数函数性质的综合应用 ‎(1)指数函数的概念:‎ 一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.‎ ‎(2)指数函数的图像和性质 a>1‎ ‎00时,y>1‎ 当x<0时,00时,01‎ 补充:恒过定点问题:‎ 例54:函数且的图像必经过点 ‎ 例55:函数的图像必经过点 ‎ 例56:函数的图像恒过定点 ‎ 例57:函数的图像必经过点 ‎ 真题:(2016年全国III卷高考)已知,则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 九.对数函数 题型一:对数运算 ‎(1)对数的定义:‎ 一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:(— 底数,— 真数,— 对数式)‎ ‎(2)对数的运算性质:‎ 如果,且,,,那么:‎ ‎①·______________②___________③_________________.‎ 注意:换底公式 ‎(,且;,且;).‎ ‎(3)几个小结论:‎ ‎①;②;③;④‎ ‎(4)对数的性质:负数没有对数;‎ 例58:求值 ‎ 例59:若,则 ‎ 例60:,则 例61:若,,则 ,= ‎ 真题:若点在图像上,,则下列点也在此图像上的是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【2015高考浙江,文9】计算: , .‎ ‎【2015高考四川,文12】lg0.01+log216=_____________.‎ ‎【2015高考上海,文8】方程的解为 .‎ ‎【2015高考北京】如图,函数的图像为折线,则不等式的解集是( )‎ A. B. C. D.‎ 题型二:对数函数及其性质 ‎(1)对数函数的概念:‎ 函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).‎ ‎(2)对数函数的图像和性质:‎ a>1‎ ‎01时,y>0‎ 当01时,y<0‎ 当00‎ 例64:函数的图像关于( )‎ ‎ A.轴对称 B.轴对称 C.原点对称 D.直线对称 例65:已知,则函数的单调增区间为 ,当时,函数的最小值为 ‎ 例66:的递增区间为 ‎ 例67:若存在正数使成立,则的取值范围是( )‎ A. ‎ B. C. D.‎ 例68:当00.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是_______.‎ 题型四:具有周期性的函数的零点个数问题 例88:已知是上最小正周期为的周期函数,且当时,,则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为 ( ).‎ ‎ A.6 B.7 C.8 D.9 ‎ 例89:已知函数的周期为2,当时函数,那么函数的图像与函数的图像的交点共有( ).‎ ‎ A.10个 B.9个 C.8个 D.1个 题型五:一元二次方程根的分布 例90:关于的方程的两根在之间,求的取值范围.‎ 例91:已知二次函数与轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数的取值范围 例92:求实数m的取值范围,使关于x的方程,‎ ‎(1)有两个实数根,且一个比2大,一个比2小;(2)有两个实数根,且都比1大;(3)有两个实数根,且满足两根都在(0,3之间);(4)至少有一个正根