高考模拟——三角函数 21页

‎2012年最新高考+最新模拟——三角函数 ‎1. 【2010•上海文数】若△的三个内角满足，则△（ ）‎ A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】由及正弦定理得a:b:c=‎‎5:11:13‎ ‎ 由余弦定理得，所以角C为钝角 ‎2. 【2010•湖南文数】在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=‎ ‎120°，c=a，则（ ）‎ A.a＞b B.a＜b C. a＝b D.a与b的大小关系不能确定 ‎3. 【2010•浙江理数】设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】将的零点转化为函数的交点，数形结合可知答案选A，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题 ‎4. 【2010•浙江理数】设，则“”是“”的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】因为0＜x＜，所以sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，结合xsin2x与xsinx的取值范围相同，可知答案选B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题 ‎5. 【2010•全国卷2理数】为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）‎ ‎（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位 ‎（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位 ‎【答案】B ‎ ‎【解析】=，=，所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选B.‎ ‎6. 【2010•陕西文数】函数f (x)=2sinxcosx是 （ ） ‎ A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为2π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为π的偶函数 ‎【答案】C ‎【解析】本题考查三角函数的性质 f (x)=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数 ‎7. 【2010•辽宁文数】设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】选C.由已知，周期 ‎8. 【2010•辽宁理数】设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（ ）‎ ‎（A） (B) (C) (D)3 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】将y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后为，所以有=2k,即，又因为，所以k≥1,故≥，所以选C ‎9. 【2010•全国卷2文数】已知，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ sina=2/3， ‎ ‎∴‎ ‎10. 【2010•江西理数】E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。‎ 解法1：约定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，‎ 解得 解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得 ‎，解得。‎ ‎11. 【2010•重庆文数】下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】C、D中函数周期为2，所以错误 ‎ 当时，，函数为减函数 而函数为增函数，所以选A ‎12. 【2010•重庆理数】已知函数的部分图象如题（6）图所示，则（ ）‎ A. =1 = B. =1 =- ‎ ‎ C. =2 = D. =2 = -‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由五点作图法知，= -‎ ‎13【2010•山东文数】观察，，，由归纳推理可得：若定义在 上的函数满足，记为的导函数，则=（ ）‎ A. B. C . D.‎ ‎【答案】D ‎14. 【2010•北京文数】某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，‎ 顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，‎ 该八边形的面积为（ ）‎ A.； B.‎ C.； D.‎ ‎【答案】A ‎15. 【2010•四川理数】将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－) ‎ ‎ 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.‎ ‎16. 【2010•天津文数】‎ 为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点 A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到 原来的倍，纵坐标不变 B.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D .向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。‎ 由图像可知函数的周期为，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin(2x+).代入（-，0）可得的一个值为，故图像中函数的一个表达式是y=sin(2x+)，即y=sin2(x+ )，所以只需将y=sinx（x∈R）的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。‎ ‎【温馨提示】根据图像求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求。三角函数图像进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的 ‎17.【2010•天津理数】在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。‎ 由由正弦定理得 ‎，‎ 所以cosA==，所以A=300‎ ‎18.【2010•福建文数】计算的结果等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】原式=,故选B．‎ ‎19. 【2010•全国卷1文数】（ ）‎ A. B.- C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎20. 【2010•全国卷1理数】记,那么（ ）‎ A. B. - C. D. -‎ ‎【答案】B ‎21. 【2010•四川文数】将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解 析式为y＝sin(x－) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是.‎ ‎22.【2010•湖北文数】函数f(x)= 的最小正周期为（ ）‎ A. B.x C.2 D.4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由T=||=4π，故D正确.‎ ‎23.【2010•湖南理数】在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若∠C=120°，,则（ ）‎ A、a>b B、a1，选择C；‎ ‎42.【2010·崇文区二模】把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为( )‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到，选择B ‎43.【2010·甘肃省部分普通高中高三第二次联合考试】已知函数，，且此函数的图象如图所示，则点P的坐标为 （ ）‎ A．（2，） B．（2，） ‎ C．（4，） D．（4，）‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意，T=π，所以ω=2，排除C，D，又由，，选择B；‎ ‎44.【2010·石家庄市教学质量检测（二）】函数y= sin2x cos2x的最小正周期是（ ）‎ ‎ A． B．‎2‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意，y= sin4x,T=‎ ‎45.【2010·北京西城区一摸】函数的最小值和最小正周期分别是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意，．函数的最小值和最小正周期分别是，选择A; ‎ ‎46.【2010·湖南师大附中第二次月考试卷】函数的单调递减区间是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎.由，得，故选D.‎ ‎47.【2010黄冈中学5月第一模拟考试】已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则b-a的值不可能是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】值域[-2,1]含最小值不含最大值,故定义域小于一个周期,故选D ‎48.【2010·北京海淀区二模】函数图象的对称轴方程可以为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】逐个带入检验，知即为所求；‎ ‎49.【2010·蚌埠市三检】下列命题正确的是 （ ）‎ ‎ A．函数内单调递增 ‎ B．函数的最小正周期为2‎ ‎ C．函数的图像是关于点成中心对称的图形 ‎ D．函数的图像是关于直线成轴对称的图形 ‎【答案】C ‎【解析】依题意，是函数的图像的一个对称中心，选择C ‎50.【2010·河北隆尧一中四月模拟】曲线在区间上截直线y=4，与y=－2所得的弦长相等且不为0，则下列描述中正确的是( )‎ A． B．　 　C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】曲线的周期为，被直线y=4和y= -2所截的弦长相等且不为0，结合图形可得，。‎ ‎51．【2010·济南三模】函数的最小正周期和最大值分别（ ）‎ ‎ A．2 3 B．2 ‎1 ‎C． 3 D． 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，所以最小正周期和最大值分别 3，选择C ‎52．【2010·河北隆尧一中五月模拟】同时具有性质“①最小正周期是，②图像关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是 w.w.^w.k.&s.5*u.c.#om（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】 由最小正周期是，排除A；，不是最值，排除D；将代入B，C选项中，可验证C正确”‎ ‎53．【2010·济南三模】函数的一条对称轴方程为，则（ ）‎ ‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意，，所以a=，选择B ‎54．【2010·青岛市二摸】设函数的导函数的最大值为，则函数图象的对称轴方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】Ｃ ‎【解析】依题意，函数的导函数为，所以，函数图象的对称轴方程为 ‎55．【2010·河南省鹤壁高中一模】 已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意，A+m=4,A-m=0，解得A=2，m=2,又T=,所以ω=4，排除A,D再把带入检验知D正确；‎ ‎56. 【2010浙江理数】函数的最小正周期是__________________ .‎ ‎【答案】π ‎【解析】故最小正周期为π，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属中档题 ‎57. 【2010•全国卷2理数】已知是第二象限的角，，则 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由得，又，解得，又是第二象限的角，所以.‎ ‎58. 【2010•全国卷2文数】已知α是第二象限的角,tanα=1/2，则cosα=__________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】本题考查了同角三角函数的基础知识 ‎ ∵，∴‎ ‎59. 【2010•重庆文数】如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点不在上）且半径相等. 设第段弧所对的圆心角为，则____________ .‎ ‎【答案】﹣½‎ ‎【解析】‎ 又，所以 ‎60. 【2010•浙江文数】函数的最小正周期是 。‎ ‎【答案】‎ ‎61. 【2010•山东文数】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，,,则角A的大小为 .‎ 答案：‎ ‎62. 【2010＂北京文数】在中。若，，，则a= 。‎ ‎【答案】1 ‎ ‎63. 【2010•北京理数】在△ABC中，若b = 1，c =，，则a = 。‎ ‎【答案】 1‎ ‎64.【2010•广东理数】已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知，，即．由知，，则，‎ ‎，‎ ‎65.【2010•福建文数】观察下列等式：‎ ‎ ① cos‎2a=2-1;‎ ‎② cos‎4a=8- 8+ 1;‎ ‎③ cos‎6a=32- 48+ 18- 1;‎ ‎④ cos‎8a=128- 256+ 160- 32+ 1;‎ ‎⑤ cos‎10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1．‎ 可以推测，m – n + p = ．‎ ‎【答案】962‎ ‎【解析】因为所以；观察可得，‎ ‎，所以m – n + p =962。‎ ‎【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。‎ ‎66.【2010•全国卷1文数】已知为第二象限的角，,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为为第二象限的角,又, 所以，,所 ‎67.【2010•福建理数】已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知，，因为，所以，由三角函数图象知：‎ 的最小值为，最大值为，所以的取值范围是。‎ ‎68. 【2010•江苏卷】定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为____________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析 】考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，‎ 且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。线段P1P2的长为 ‎69. 【2010•江苏卷】在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=________。‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。‎ 当A=B或a=b时满足题意，此时有：，，，‎ ‎，= 4。‎ ‎70.【2010·上海市徐汇区二模】已知△ABC中，，则_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，由知，tanA=-且A角为钝角，所以;‎ ‎71.【2010·北京崇文区二模】已知角的终边经过点，且，则的值为 ; ______.‎ ‎【答案】8 ‎ ‎【解析】依题意，,解得x=8，所以。‎ ‎72.【 2010·青岛市二摸】已知点落在角的终边上，且，则的值为 ;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意tan=-1，==‎ ‎73．【2010·邯郸市二模】在中，，则 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，由得sin‎2C=sin‎2A+ sin2B，即a2+b2=c2,所以 ‎74.【2010·河北隆尧一中五月模拟】已知A、B、C是△ABC的三个内角，若，，则角C的大小为 。‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题得 ，或，则或（舍去），得 。w.w.^w.k.&s.5*u.c.#om ‎75.【2010·北京崇文区一模】若，则= ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，，，．‎ ‎76.【2010·上海市黄浦、嘉定区四月模拟】如右图所示，角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第二象限的点，则 ．‎ ‎【答案】 ‎【解析】依题意，由及图可知，sin=,所以；‎ ‎77.【2010·上海市卢湾区二模文理科】若，则的值等于 ．‎ ‎【答案】 ‎【解析】依题意，‎ ‎78.【2010重庆八中第一次月考】已知,则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，‎ ‎79.【2010·浙江六校四月联考】已知,，则 .‎ ‎【答案】 ‎【解析】依题意，，，，cos=，‎ ‎= ‎80.【2010·北京海淀区二模】已知函数，若，则= .‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】依题意，，，=1-tana=-1‎ ‎81.【2010·上海市浦东新区4月预测】若，则 ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】依题意， cos2α=2cos2α-1== ‎82.【2010·上海市普陀区年二模】已知，，则 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意， ,,sinx= ,tanx=, t an2x= ‎83．【2010·北京宣武区二模】函数的最小正周期是 ‎ ‎【答案】π ‎【解析】依题意，，T=π;‎ ‎84．【２０１０·长沙市第一中学第九次月考】已知是方程的两根，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，是方程，所以，又，所以，易求得，所以 ‎85．【2010·北京宣武区二模】函数的值域是 .‎ ‎【答案】[-1,1]‎ ‎【解析】依题意，，所以其值域是[-1,1]‎ ‎86．【2010绵阳南山中学热身考试】函数的最大值是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，=sinx+cosx+1=,所以最大值为 ‎87．【2010·上海市虹口区二模】函数的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，y=1-cos2x-3sin2x=1-,所以函数最大值是1+；‎ ‎88.【2010•上海文数】已知，化简：.‎ 解：原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0．‎ ‎89.【2010•浙江理数】在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 ‎ (I)求sinC的值；‎ ‎(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．‎ ‎【解析】本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。‎ 解：（Ⅰ）因为cos‎2C=1-2sin‎2C=，及0＜C＜π 所以sinC=.‎ ‎（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得 c=4‎ 由cos‎2C=2cos‎2C-1=，J及0＜C＜π得 cosC=±‎ 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得 b2±b-12=0‎ 解得 b=或2‎ 所以 b= b=‎ ‎ c=4 或 c=4‎ ‎90. 【2010 •辽宁文数】在中，分别为内角的对边，‎ 且 ‎（Ⅰ）求的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，试判断的形状.‎ 解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得 ‎ 即 ‎ 由余弦定理得 ‎ 故 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎ 又，得 ‎ 因为，‎ ‎ 故 ‎ 所以是等腰的钝角三角形。‎ ‎91. 【2010辽宁理数】 在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 ‎ （Ⅰ）求A的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值.‎ 解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得 即 ‎ ‎ 由余弦定理得 ‎ 故 ，A=120° ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ‎ ‎92. 【2010 •江西理数】‎ 已知函数。‎ ‎(1) 当m=0时，求在区间上的取值范围；‎ ‎(2) 当时，，求m的值。‎ ‎【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.‎ 解：（1）当m=0时， ‎ ‎，由已知，得 从而得：的值域为 ‎（2）‎ 化简得：‎ 当，得：，，‎ 代入上式，m=-2.‎ ‎93. 【2010 •北京文数】已知函数 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值和最小值 解：（Ⅰ）=‎ ‎ （Ⅱ）‎ ‎ ‎ 因为,所以，当时取最大值2；当时，去最小值-1。‎ ‎94. 【2010 •北京理数】 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值和最小值。‎ 解：（I）‎ ‎ （II）‎ ‎ =‎ ‎ =,‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以，当时，取最大值6；当时，取最小值 ‎95. 【2010 •天津文数】在ABC中，。‎ ‎（Ⅰ）证明B=C：‎ ‎（Ⅱ）若=-，求sin的值。‎ ‎【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.‎ ‎ 解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为，从而B-C=0.‎ ‎ 所以B=C.‎ ‎ （Ⅱ）由A+B+C=和（Ⅰ）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.‎ 又0<2B<,于是sin2B==.‎ ‎ 从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=.‎ ‎ 所以 ‎96.【2010 •天津理数】已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值。‎ ‎【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。‎ 解：（1）由，得 所以函数的最小正周期为 因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又 ‎，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1‎ ‎（Ⅱ）由（1）可知 又因为，所以 由，得 从而 所以 ‎97.【2010 •福建理数】‎ ‎。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。‎ ‎（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎（2）假设小艇的最高航行速度只能达到‎30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。‎ 解：如图，由（1）得 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，‎ 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，‎ 所以，解得，‎ 从而值，且最小值为，于是 当取得最小值，且最小值为。‎ 此时，在中，，故可设计航行方案如下：‎ 航行方向为北偏东，航行速度为‎30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。‎ ‎98.【2010 •江苏卷】某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=‎4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。‎ (1) 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；‎ (2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为‎125m，试问d为多少时，-最大？‎ 解：本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。‎ ‎（1），同理：，。‎ ‎ AD—AB=DB，故得，解得：。‎ 因此，算出的电视塔的高度H是‎124m。‎ ‎（2）由题设知，得，‎ ‎，（当且仅当时，取等号）‎ 故当时，最大。‎ 因为，则，所以当时，-最大。‎ 故所求的是m。‎ ‎99.【2010 •江苏卷】已知△ABC的三边长都是有理数。‎ （1） 求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。‎ ‎【解析】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。‎ 解法一：（1）设三边长分别为，，∵是有理数，‎ 是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，‎ ‎∴必为有理数，∴cosA是有理数。‎ ‎（2）①当时，显然cosA是有理数；‎ 当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数；‎ ‎②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。‎ 当时，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得：‎ ‎∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，‎ ‎∴是有理数。‎ 即当时，结论成立。‎ 综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。‎ 解法二：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知 是有理数。‎ ‎（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。‎ ‎①当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。‎ ‎②假设当时，和都是有理数。‎ 当时，由，‎ ‎，‎ 及①和归纳假设，知和都是有理数。‎ 即当时，结论成立。‎ 综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。‎ ‎100．【2010·崇文区二模】 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点．已知的横坐标分别为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ 解：（Ⅰ）由已知得：．∵为锐角，∴．∴ ． ‎ ‎ ∴．‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴． ‎ 为锐角，∴，∴． ‎ ‎101．【2010·北京朝阳一模】在中，角所对的边分别为，且．⑴求的值；⑵若，求的面积．‎ 解：⑴因为，所以，由已知得．所以 ‎⑵由⑴知． 所以且．由正弦定理得．又因为，所以．所以 ‎102．【2010·石家庄市教学质量检测（二）】在三角形ABC中，, （I）求sinC的值； （II）若AB边的长为11，求边BC的长．‎ 解：Ⅰ）由已知 , 同理， 则 ．‎ ‎ （Ⅱ）因为中， , 所以． 所以BC=20． ‎ ‎103.【2010·北京西城一模】已知为锐角，且．⑴求的值；‎ ‎⑵求的值．‎ 解：⑴，所以，所以．‎ ‎⑵．因为，所以，又，所以，又为锐角，所以，所以．‎ ‎104．【2010·湖南师大附中第二次月考试卷】在中，已知.‎ ‎(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 若，求的面积.‎ 解：（Ⅰ）因为sin（，由已知，. ，因为角A是△ABC内角，且cosA＞0，则角A是锐角.所以.故. ‎ ‎(Ⅱ)因为，B为三角形的内角，所以.于是.，因为c＝10，由正弦定理，得. 故. ‎ ‎105．【2010·重庆八中第一次月考】已知是第二象限角 ，（1）求的值；（2）求的值．‎ 解：因为是第二象限角所以 ，从而 ‎ ‎⑵‎ ‎106．【2010·天津十二区县联考二】已知（I）求的值；‎ ‎（II）求 解：（I），由 解得 ‎（II）解：由 ，‎ ‎107．【2010·绵阳南山中学热身考试】已知．‎ ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）求的值．‎ 解：（Ⅰ）由得，‎ ‎ 即，又，‎ ‎ 所以为所求．‎ ‎ （Ⅱ）=‎ ‎ ===．‎ ‎108．【2010·兰州五月模拟】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（I）求的值；（II）若的大小。‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ ；‎ ‎ （Ⅱ）∵在中 ∴ ，∴由得，而，且＜，解得：‎ ‎∵ ∴ ，∴‎ ‎109.【2010·宁波市二模】已知函数的图像与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．‎ ‎（1）求的解析式及的值； ‎ ‎（2）若锐角满足，求的值．‎ 解：（1）由题意可得：，即 ， ，，由，. ，，所以， ，又是最小的正数，； ‎ ‎（2）， ，，，。‎ ‎110.【2010·茂名市二模】已知函数的最大值为2。 （1）求的值及的最小正周期； （2）求在区间上的单调递增区间。‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当=1时， 取得最大值，又的最大值为2，‎ ‎ ，即 的最小正周期为 ‎ ‎ （2）由（1）得 得，的单调增区间为和。‎ ‎111．【2010·山东省泰安市一模】已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的最大值和最小值。‎ 解：f ‎ （I）‎ ‎（II），由 ‎，，即的最小值是1，最大值是 ‎ ‎112．【2010·北京宣武一模】已知函数⑴求函数的最小正周期及图象的对称轴方程；⑵设函数，求的值域．‎ 解：⑴，‎ ‎∴最小正周期．由，得 函数图象的对称轴方程为 ‎ ‎⑵‎ 当时，取得最小值；当时，取得最大值2，所以的值域为． ‎ ‎113．【2010·石家庄市二模】已知中，内角的对边的边长为，且 ‎ （I）求角的大小；‎ ‎ （II）若求的最小值．‎ 解：（Ⅰ）由正弦定理可得：，即，因为 ,所以, ， ． ‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ，‎ ‎,（6分）‎ ‎,，则当 ,即时，y的最小值为．（10分）‎ ‎114．【2010·甘肃省部分普通高中二模】在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且 成等差数列. （1）求B的值； （2）求的范围．‎ 解：（1），‎ ‎∴，∴，∴；‎ ‎ （2）‎ ‎，‎ ‎，∴，‎ ‎∴。‎ y x A O Q P ‎115．【2010·天门中学五月模拟】如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，是坐标原点，且，.‎ ‎ （Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；‎ ‎ （Ⅱ）设函数，求的值域．‎ 解：（Ⅰ）由已知可得. ‎ 所以. ‎ ‎ （Ⅱ）.‎ 因为，则，所以.，故的值域是. ‎ ‎116．【2010·佛山市第二次二质检】已知函数的一系列对应值如下表：‎ ‎ （Ⅰ）求的解析式；‎ ‎ （Ⅱ）若在中，，，，求的面积．‎ 解：（Ⅰ）由题中表格给出的信息可知，函数的周期为，‎ ‎ 所以． 注意到，也即，由，所以所以函数的解析式为（或者）‎ ‎ （Ⅱ）∵，∴或 ，当时,在中，由正弦定理得，，∴， ∵，∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎ 时, ‎ ‎ （注：本题中第一问由于取点的不同而导致求周期和方法众多，只要言之有理并能正确求出即给分）．‎ 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