全国二卷理科数学高考真题 8页

‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 ‎ 理科数学 本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在条形码区域内。‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 ‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．‎ A． B． C． D．‎ ‎2． 设集合，，若,则 A． B. ． C． D．‎ ‎3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ‎ A．1盏 B．3盏 ‎ C．5盏 D．9盏 ‎ ‎4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎5．设满足约束条件 则的最小值是 A． B． C． D．‎ ‎6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A．12种 B．18种 C． 24种 D．36种 ‎ 理科数学试题 第1页（共4页）‎ ‎7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则 ‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎ 8．执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的 A．2 ‎ B．3 ‎ C．4 ‎ D．5‎ ‎9．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知直三棱柱中，, , , 则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D．‎ ‎11．若是函数的极值点，则的极小值为 A． B． C． D．‎ ‎12．已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次，表示抽到二等品件数，则 .‎ ‎14．函数的最大值是 .‎ ‎15．等差数列的前项和为，，，则 .‎ ‎16．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则 .‎ 理科数学试题 第2页（共4页）‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第22/23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（12分）‎ 的内角的对边分别为，已知.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若，的面积为，求.‎ ‎18.（12分）‎ ‎ 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：‎ ‎(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计的概率；‎ ‎(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关；‎ 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 ‎(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确 到0.01）.‎ ‎ ‎ 附：‎ ‎ .‎ 理科数学试题 第3页（共4页）‎ ‎19.（12分）‎ ‎ 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于地面，，,是的中点.‎ ‎(1)证明：直线；‎ ‎ (2)点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值.‎ ‎20.（12分）‎ ‎ 设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.‎ ‎ (1)求点的轨迹方程；‎ ‎ (2)设点在直线上，且. 证明：过点且垂直于的直线过的左焦点.‎ ‎21.（12分）‎ ‎ 已知函数，且.‎ ‎(1)求；‎ ‎ (2)证明：存在唯一的极大值点，且.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为.‎ ‎(1) 为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点 的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎ (2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值. ‎ ‎23.[选修：不等式选讲]（10分）‎ ‎ 已知.证明：‎ ‎(1)；‎ ‎ (2).‎ 理科数学试题 第4页（共4页）‎ 参考答案 一、选择题 ‎1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D ‎7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题 ‎ 13. 1.96 14. 1 15. 16. 6‎ 三、解答题 ‎17.（1）由得，即，‎ ‎ ，得，则有.‎ ‎ （2）由（1）可知，则，得，‎ ‎ 又，则.‎ ‎18.（1）旧养殖法箱产量低于50kg的频率为 ‎，‎ ‎ 新养殖法箱产量不低于50kg的频率为 ‎，‎ 而两种箱产量相互独立，则.‎ ‎（2）由频率分布直方图可得列联表 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ ‎ ‎ 则，‎ 所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.‎ ‎（3）新养殖法箱产量低于50kg的面积为，‎ ‎ 产量低于55kg的面积为，‎ ‎ 所以新养殖法箱产量的中位数估计值为（kg）.‎ ‎19.（1）取中点，连结.因为为中点，则.而由题可知，则，即四边形为平行四边形，所以.又，故.‎ ‎（2）因为，则以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.‎ ‎ 取，设则得，，则，，可得点，所以.‎ 取底面的法向量为，则，解得,则.因为,设面的法向量为，由得，取得，‎ 则.故二面角的余弦值为.‎ ‎20.（1）设，则，将点代入中得，所以点的轨迹方程为.‎ ‎（2）由题可知，设，则，‎ ‎ .由得，由（1）有，则有，所以，即过点 ‎ 且垂直于的直线过的左焦点.‎ ‎21.（1）的定义域为，则等价于.‎ ‎ 设，则.由题可知，则由解得，所以为上的增函数，为上的减函数.则有 ‎ ，解得.‎ ‎（2）由（1）可知，则. ‎ 设，则.由解得，所以为 上的增函数，为上的减函数.又因为，则在上存在唯一零点使得，即,且为，上的增函数，为上的减函数，则极大值为.‎ ‎ 而，所以.‎ 综上，. ‎ ‎22.（1）设极坐标为，极坐标为.则，‎ ‎ .由得的极坐标方程为.所以 的直角坐标方程为.‎ ‎（2）设极标为，由题可知，则有 ‎ .‎ ‎ 即当时，面积的最大值为.‎ ‎23.（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 所以，解得.‎