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- 2021-05-14 发布
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高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题
考点预测和题型解析
在高考中,离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上,有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景,涉及主要问题有:产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课,做题,考试问题、试验,游戏,竞赛,研究性问题、旅游,交通问题、摸球球问题、取卡片,数字和入座问题、信息,投资,路线等问题。属于基础题或中档题的层面。高考中一定要尽量拿满分。
l 考题预测
离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有:产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课,做题,考试问题、试验,游戏,竞赛,研究性问题、旅游,交通问题、摸球球问题、取卡片,数字和入座问题、信息,投资,路线等问题。
从近几年高考试题看,离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。
l 知识点回顾
1.离散型随机变量的期望:
(1)若离散型随机变量的概率分布为
---
---
---
---
则称为的数学期望(平均值、均值)
简称为期望。
① 期望反映了离散型随机变量的平均水平。
② 是一个实数,由的分布列唯一确定。
③ 随机变量是可变的,可取不同值。
④ 是不变的,它描述取值的平均状态。
(2)期望的性质:
①
②
③ 若,则
2.离散型随机变量的方差
(1)离散型随机变量的方差:设离散型随机变量可能取的值为 且这些值的概率分别为
则称 ……;为 的方差。
① 反映随机变量取值的稳定与波动。
② 反映随机变量取值的集中与离散的程度。
③ 是一个实数,由的分布列唯一确定。
④ 越小,取值越集中,越大,取值越分散。
⑤ 的算术平均数叫做随机变量的标准差,
记作。
注:在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平,当水平相近时,再用方差比较两个类似事件的稳定程度。
(2)方差的性质:
①
②
③ 若,则
⑤
l 考点预测
根据离散型随机变量的试题背景进行考题类型预测:
考点1:产品检验问题
【例1】已知:甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件,乙盒子内有5个正品元件和4个次品元件,现从两个盒子内各取出2个元件,试求
(Ⅰ)取得的4个元件均为正品的概率;
(Ⅱ)取得正品元件个数的数学期望.
【例2】
某车间在三天内,每天生产10件某产品,其中第一天,第二天分别生产出了1件、2件次品,而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过.
(I)求第一天通过检查的概率;
(II)求前两天全部通过检查的概率;
(III)若厂内对车间生产的产品采用记分制:两天全不通过检查得0分,通过1天、2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.
考点2:比赛问题
【例3】A、B两队进行篮球决赛,共五局比赛,先胜三局者夺冠,且比赛结束。根据以往成绩,每场中A队胜的概率为,设各场比赛的胜负相互独立.
(1)求A队夺冠的概率;
(2)设随机变量ξ表示比赛结束时的场数,求Eξ.
【例4】两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则,即先胜三局的队获胜,比赛到此也就结束,假设按原定队员组合,较强队每局取胜的概率为0.6,若前四局出现2比2的平局情况,较强队就换人重新组合队员,则其在决赛局中获胜的概率为0.7,设比赛结束时的局数为.
(Ⅰ)求的概率分布;
(Ⅱ)求E.
考点3:射击,投篮问题
【例5】甲、乙两人各射击1次,击中目标的概率分别是和,假设两人射击是否击中标,
相互之间没有影响. 每人各次射击是否击中目标,相互之间没有影响.
(1)甲射击4次,至少有一次未击中目标的概率;
(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
(3)假设某人连续2次未击中目标,则中止其射击,问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?
【例6】甲、乙两人玩投篮游戏,规则如下:两人轮流投篮,每人至多投2次,甲先投,若有人投中即停止投篮,结束游戏,已知甲每次投中的概率为,乙每次投中的概率为求:
(1)乙投篮次数不超过1次的概率;
1.3.5
(2)记甲、乙两人投篮次数和为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
考点4:选题,选课,做题,考试问题
【例7】甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或乙解出的概率为0.92。求:
(1)求该题被乙独立解出的概率。
(2)求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。
【例8】某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为0.08,只选修甲和乙的概率是0.12,至少选修一门的概率是0.88,用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
(Ⅰ)记“函数为R上的偶函数”为事件A,求事件A的概率;
(Ⅱ)求的分布列和数学期望.
考点5:试验,游戏,竞赛,研究性问题
【例9】
某家具城进行促销活动,促销方案是:顾客每消费满1000元,便可以获得奖券一张,每张奖券中奖的概率为,若中奖,则家具城返还顾客现金1000元,某顾客购买一张价格为3400元的餐桌,得到3张奖券,设该顾客购买餐桌的实际支出为ξ元.
(I)求ξ的所有可能取值;
(II)求ξ的分布列;
(III)求ξ的期望Eξ.
考点5:试验,游戏,竞赛,研究性问题
【例9】某家具城进行促销活动,促销方案是:顾客每消费满1000元,便可以获得奖券一张,每张奖券中奖的概率为,若中奖,则家具城返还顾客现金1000元,某顾客购买一张价格为3400元的餐桌,得到3张奖券,设该顾客购买餐桌的实际支出为ξ元.
(I)求ξ的所有可能取值;
(II)求ξ的分布列;
(III)求ξ的期望Eξ.
【例10】某小组有7个同学,其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动,3个同学曾经参加过天文研究性学习活动.
(1)现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动,求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率;
(2)若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动,则活动结束后,该小组没有参加过天文研究性学习活动的同学个数是一个随机变量,求随机变量的分布列及数学期望E.
点6:旅游,交通问题
【例11】春节期间,小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩,每位朋友在每一个景点下车的概率均为,用表示4位朋友在第三个景点下车的人数,求:
(Ⅰ)随机变量的分布列;
(Ⅱ)随机变量的期望.
【例12】 旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路,每个旅游团任选其中一条.
(1)求3个旅游团选择3条不同的线路的概率
(2)求恰有2条线路没有被选择的概率.
(3)求选择甲线路旅游团数的期望.
考点7:摸球问题
1,3,5
【例13】甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球;乙盒有标号分别为1、2…、n(n≥2)的n个黑球,从甲、乙两盒中各抽取一个小球,抽取的标号恰好分别为1和n的概率为
(1)求n的值;
(2)现从甲、乙两盒各随机抽取1个小球,抽得红球的得分为其标号数;抽得黑球,若标号数为奇数,则得分为1,若标号数为偶数,则得分为零,设被抽取的2个小球得分之和为,求的数学期望E.
【例14】一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球。
(1)采取放回抽样方式,从中摸出两个球,求两球恰好颜色不同的概率;
(2)采取不放回抽样方式,从中摸出两个球,求摸得白球的个数的期望和方差.
考点8:摸卡片,数字问题
【例15】在一个盒子里放有6张卡片,上面标有数字1,2,3,4,5,6,现在从盒子里每次任意取出一张卡片,取两片.
(I)若每次取出后不再放回,求取到的两张卡片上数字之积大于12的概率;
(II)在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中,得到的两张卡片上的最大数字的期望值是否相等?请说明理由
例16】袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等,用表示取出的3个小球上的最大数字,求:
(Ⅰ)取出的3个小球上的数字互不相同的概率;
(Ⅱ)随机变量的概率分布和数学期望;