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- 2021-05-14 发布
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第4讲 等差数列、等比数列
学习目标
【目标分解一】等差、等比数列的基本运算
【目标分解二】等差、等比数列的基本性质
【目标分解三】等差、等比数列的判定与证明
【课前自主复习区】
■核心知识储备一
1.等差数列的通项公式及前n项和公式
an= ; ; Sn= = .
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
an= ; ; Sn=
.
■核心知识储备二:
1.若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q,则在等差数列中 ,在等比数列中 .
2.(1)等比数列(q≠-1)中连续k项的和成等比数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等比数列,其公比为 .
(2)等差数列中连续k项的和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列,公差为 .
3.若A2n-1,B2n-1分别为等差数列{an},{bn}的前2n-1项的和,则= .
■核心知识储备三:
(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法
①利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为同一常数;②利用中项性质,即证明2an=an-1+an+1(n≥2).
(2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法
①利用定义,证明(n∈N*)为同一常数; ②利用等比中项,即证明a=an-1an+1(n≥2).
[高考真题回访]
1.(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=( )
A. B. C.10 D.12
2.(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( )
A.5 B.7 C.9 D.11
3.(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( )
A.n(n+1) B.n(n-1) C. D.
4.(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=( )
4
A.2 B.1 C. D.
5.(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=________.
【课堂互动探究区】
【目标分解一】等差、等比数列的基本运算
【例1】(1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3=30,S4=120,设bn=1+log3an,那么数列{bn}的前15项和为( )
A.152 B.135
C.80 D.16
(2)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1=( )
A.2 B.-2
C. D.-
【我会做】(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+3,Sn为{an}的前n项和,若Sn=51,则n=__________.
(2)(2017·东北三省四市联考)等比数列{an}中各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=________.
【我能做对】
1设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=5,Sm=-11,Sm+1=21,则m=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2. 《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?”该问题中第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为( )
A.升 B.升 C.升 D.升
3.★(2016·全国Ⅰ卷)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.
(1)求{an}的通项公式; (2)求{bn}的前n项和.
4
【目标分解二】等差、等比数列的基本性质
【例2】(2017·福州五校二模联考)在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2-7x+12=0的两根,则的值为( )
A.2 B.4
C.±2 D.±4
(2017·湘中名校联考)若{an}是等差数列,首项a1>0,a2 016+a2 017>0,a2 016·a2 017<0,则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是( )
A.2 016 B.2 017
C.4 032 D.4 033
【我会做】
(1)已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2-a+2a12=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b3b11等于( )
A.16 B.8
C.4 D.2
★(2)(2017·武汉二模)等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=( )
A.12 B.10
C.8 D.2+log35
【目标分解三】等差、等比数列的判定与证明
【例3】(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.
(1)求{an}的通项公式; (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
【我能做对】
★★(2014·全国Ⅰ卷)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.
(1)证明:an+2-an=λ; (2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
4
【课后巩固区】三年真题| 验收复习效果
1.(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )
A.1 B.2
C.4 D.8
2.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为( )
A.-24 B.-3
C.3 D.8
3.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A.1盏 B.3盏
C.5盏 D.9盏
4.(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )
A.21 B.42
C.63 D.84
★5.(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为________.
★★6.(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式; (2)若S5=,求λ.
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