2018高考第一轮复习等比数列1 14页

‎ 等比数列 知识梳理：‎ ‎1、等比数列的定义：，称为公比 ‎2、通项公式：，首项：；公比：‎ 推广：‎ ‎3、等比中项：‎ ‎（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）‎ 但是：例题：若实数数列是等比数列，则 .‎ ‎[名师点拨]本题容易错认为，由等比数列的等比中项公式，得 解：是等比数列，，得 又是等比数列，，.‎ ‎（2）数列是等比数列 ‎4、等比数列的前项和公式： ‎ ‎（1）当时， （2）当时， （为常数）‎ ‎5、等比数列的判定方法：‎ ‎（1）用定义：对任意的，都有 为等比数列 ‎（2）等比中项：为等比数列 ‎（3）通项公式：为等比数列 ‎6、等比数列的证明方法：‎ 依据定义：若或为等比数列 ‎7、等比数列的性质：‎ ‎（1）当时 ①等比数列通项公式是关于的带有系数的类指数函数，底数为公比；‎ ‎②前项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比。‎ ‎（2）对任何，在等比数列中，有，特别的，当时，便得到等比数列的通项公式。因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。‎ ‎（3）若，则。特别的，当时，得 注：‎ ‎（4）数列，为等比数列，则数列，，，，（为非零常数）均为等比数列。‎ ‎（5）数列为等比数列，每隔项取出一项仍为等比数列 ‎（6）如果是各项均为正数的等比数列，则数列是等差数列 ‎（7）若为等比数列，则数列，，，成等比数列 ‎（8）若为等比数列，则数列，，成等比数列 ‎（9）①当时， ‎ ‎ ②当时，‎ ‎③当时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；‎ ‎④当时,该数列为摆动数列.‎ ‎（10）在等比数列中，当项数为时，‎ 二 例题解析 ‎【例1】 已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．（ ）‎ A． 是等比数列 B．当p≠0时是等比数列 C．当p≠0，p≠1时是等比数列 D．不是等比数列 ‎【例2】 已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．‎ 式；‎ ‎ (2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．‎ ‎【例4】 设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．（可做可不做）‎ ‎【例5】 求数列的通项公式：‎ (1) ‎{an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2 ‎ ‎(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0‎ 三 考点分析 考点一：等比数列定义的应用 ‎1、数列满足，，则_________．‎ ‎2、在数列中，若，，则该数列的通项______________．‎ 考点二：等比中项的应用 ‎1、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、若、、成等比数列，则函数的图象与轴交点的个数为（ ）‎ A． B． C． D．不确定 ‎3、已知数列为等比数列，，，求的通项公式．‎ 考点三：等比数列及其前n项和的基本运算 ‎1、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、已知等比数列中，，，则该数列的通项_________________．‎ ‎3、若为等比数列，且，则公比________．‎ ‎4、设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5、等比数列{an}中，公比q=且a2+a4+…+a100=30，则a1+a2+…+a100=______________.‎ 考点四：等比数列及其前n项和性质的应用 ‎1、在等比数列中，如果，，那么为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2、如果，，，，成等比数列，那么（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎3、在等比数列中，，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4、在等比数列中，，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5、在等比数列中，和是二次方程的两个根，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6、若是等比数列，且，若，那么的值等于 ‎ 考点五：公式的应用 ‎1、若数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an，满足条件log2Sn=n，那么{an}是( )‎ A.公比为2的等比数列 B.公比为的等比数列 C.公差为2的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 2、 等比数列前n项和Sn=2n-1，则前n项的平方和为( )‎ A. ‎(2n-1)2 B.(2n-1)2 C.4n-1 D.(4n-1)‎ 3、 设等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+r，那么r的值为______________.‎ ‎4、设数列{an}的前n项和为Sn且S1=3，若对任意的n∈N*都有Sn=2an-3n.‎ ‎(1)求数列{an}的首项及递推关系式an+1=f(an);‎ ‎(2)求{an}的通项公式;‎ ‎(3)求数列{an}的前n项和Sn.‎ 一、选择题：‎ ‎1.在等比数列{an}中，如果a6=6，a9=9，那么a3等于 （ ）‎ A．4 B． C． D．2‎ ‎2．已知等比数列中，公比，且，那么 等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：‎ ‎3. 等比数列{an}中,a1=2, a9=32,则q= . ‎ ‎4. 已知一个等比数列的第5项是，公比是－，它的第1项是 .‎ ‎5．在等比数列{an}中，已知a1=，a4=12，则q=_____ ____，an=____ __． ‎ ‎6. 在81和３中间插入2个数 和 ，使这4个数成等比数列．‎ ‎7．在等比数列{an}中，an＞0，且an＋2=an＋an＋1，则该数列的公比q=___ _． ‎8．在等比数列中，，则= ．‎ ‎9.等比数列中，首项为，末项为，公比为，则项数等于 .‎ ‎10.在等比数列中，>，且，则该数列的公比等于 .‎ ‎11.等比数列中，已知，，则=‎ ‎12.数列{an}中，a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1…是首项为1、公比为的等比数列，则an等于 。‎ 三、解答题： ‎ ‎13.在等比数列{an}中，(1) 已知是递增的等比数列，则的公比，及通项公式（2）已知 14． 已知数列满足a1=1，an＋1=2an＋1(n∈N*)‎ ‎ (1)　求证数列{an＋1}是等比数列； (2)　求{an}的通项公式．‎ 15. 一个等比数列中，，求这个数列的通项公式。‎ ‎【例题】‎ ‎1.求等比数列的公比、、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质.‎ 例1.已知等比数列的前项和(是非零常数),则数列是( )‎ A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.非等差数列 ‎2.求实数等比数列的中项要注意符号，求和要注意分类讨论.‎ 例2.若实数数列是等比数列，则 .‎ 题型1：已知等比数列的某些项，求某项 例3.已知为等比数列，，则 ‎ 题型2：已知前项和及其某项，求项数.‎ 例4.⑴已知为等比数列前项和，，，公比，则项数 .‎ ‎⑵.已知四个数，前三个数成等比数列，和为，后三个数成等差数列，和为，求此四个数.‎ 题型3：求等比数列前项和 例5.等比数列中从第5项到第10项的和.‎ 例6.已知为等比数列前项和，，求 ‎ 例7.已知为等比数列前项和，，求. ‎ 变式1：已知为等比数列，，求 的值.‎ 例8.已知数列和满足：，，，其中为实数，.‎ ‎⑴ 对任意实数，证明数列不是等比数列；‎ ‎⑵ 试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.‎ 变式2：已知数列的首项，，…．证明：数列是等比数列；‎ ‎ ‎ 例9.已知为等比数列前项和，，，则 .‎ 变式3：已知等比数列中，，则 .‎ 考点四 等比数列与其它知识的综合 例10.设为数列的前项和，已知 ‎⑴证明：当时，是等比数列； ⑵求的通项公式。‎ ‎【基础巩固】‎ ‎1.设是公比为正数的等比数列，若，则数列前7项的和为（ ）‎ ‎ ‎ ‎2.设等比数列的公比， 前n项和为，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎3.已知等比数列满足，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎4.已知等比数列的前三项依次为，，，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知是等比数列，，则=（ ）‎ ‎ ‎ ‎6.(广雅中学)在等比数列中，已知，，则 . ‎ ‎7.已知数列的前项和为，；‎ ‎ ⑴求，的值； ⑵证明数列是等比数列，并求．‎ ‎ ‎ ‎【练习题】‎ 一.选择题：‎ ‎1．数列｛an｝为等比数列，a1=2,a5=8,则a3=（ ）‎ ‎ A、4 B、-4 C、±4 D、± ‎2.下列各组数能组成等比数列的是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.等比数列中，，，那么它的公比（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知是等比数列，>，又知a2 a4+2a3 a5+a4 a6=25，那么 （ ）A. B. C. D. ‎ ‎5.等比数列中，，，若am=a1a2a3a4a5，则为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（1个分裂为2个），经过3小时，这种细菌由一个可以分裂成（ ）‎ ‎ A、511个 B、512个 C、1023个 D、1024个 ‎7.若是等差数列，公差，成等比数列，则公比为 （ ）‎ A.1 B. 2 C. 3 D. 4 ‎ ‎8．设｛an｝是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，log3a1+ log3a2+…+ log3a10的值是 （ ）‎ ‎ A、5 B、10 C、20 D、2或4‎ 二.填空题：‎ ‎9.等比数列中，首项为，末项为，公比为，则项数等于 .‎ ‎10.在等比数列中，>，且，则该数列的公比等于 .‎ ‎11. 若公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列，则公比q= 。‎ ‎12.若是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为 .‎ ‎① ② ③ ④ ‎ 三.解答题 ‎13.等比数列中，已知，，求.‎