大连海事大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习数系的扩充与复数的引入 5页

大连海事大学附中2019三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：数系的扩充与复数的引入 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．复数与复数相等，则实数a的值为( )‎ A．1 B．1或-4 C． -4 D． 0或-4‎ ‎【答案】C ‎2．已知复数为实数，则实数m的值为( )‎ A． 2 B． －２ C． D．[来源:1][来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎【答案】D ‎3．设是虚数单位，则复数的虚部是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎4．复数-的虚部是( )‎ A．2i B．-2i C．2 D．-2‎ ‎【答案】C ‎5．若复数是纯虚数，则实数的值为( )‎ A． 1或2 B． 或2 C． D． 2‎ ‎【答案】C ‎6．复数的虚部是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎7．复数为纯虚数，则实数的值为( )‎ A．0 B．1 C．0或1 D．1或2‎ ‎【答案】B ‎8．复数（i为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数b的值为( )‎ A．一1 B．一2 C．一 3 D．1‎ ‎【答案】A ‎9．虚数的平方是( )‎ A． 正实数 B．虚数 C．负实数 D．虚数或负实数 ‎【答案】D ‎10．若复数（i为虚数单位）为非纯虚数，则实数m不可能为( )‎ A．0 B．1 C．—1 D．2‎ ‎【答案】A ‎11．已知是虚数单位，且，则实数,分别为( )‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎12．若复数满足，则复数在复平面上的对应点在( )‎ A．第四象限    B. 第三象限       C. 第二象限 D． 第一象限 ‎【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．计算= (其中i是虚数单位）‎ ‎【答案】‎ ‎14．若复数是纯虚数，则实数的值为____________。‎ ‎【答案】2‎ ‎15．若z1=a＋2i，z2=3－4i，且为纯虚数，则实数a的值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎16．已知复数满足，则= ；‎ ‎【答案】１‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．已知复数，且在复平面中对应的点分别为A,B,C,求的面积.‎ ‎【答案】得，‎ 所以A(1,1), B(0,2), C(1,-3), . ‎ ‎18．设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足 其中S为实数且|S|≤2．‎ 求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．‎ ‎【答案】设====q，则由下式得a1(1+q+q2+q3+q4)=(1+q+q2+q3+q4)．‎ ‎∴ (a12q4－4) (1+q+q2+q3+q4)=0，故a1q2=±2，或1+q+q2+q3+q4=0．‎ ‎⑴ 若a1q2=±2，则得±2(++1+q+q2)=S．ÞS=±2[(q+)2+(q+)－1]=±2[(q++)2－]．‎ ‎∴ 由已知，有(q++)2－∈R，且|(q++)2－|≤1．[来源:学|科|网]‎ 令q++=h(cosθ+isinθ)，(h>0)．则h2(cos2θ+isin2θ)－∈R．Þsin2θ=0．‎ ‎ －1≤h2(cos2θ+isin2θ)－≤1．Þ≤h2(cos2θ+isin2θ)≤，Þcos2θ>0．Þθ=kπ(k∈Z)‎ ‎ ∴ q+∈R．再令q=r(cosα+isinα)，(r>0)．则q+=(r+)cosα+i(r－)sinα∈R．Þsinα=0或r=1．‎ ‎ 若sinα=0，则q=±r为实数．此时q+≥2或q+≤－2．此时q++≥，或q++≤－．‎ 此时，由|(q++)2－|≤1，知q=－1．此时，|ai|=2． ‎ 若r=1，仍有|ai|=2，故此五点在同一圆周上．‎ ‎⑵ 若1+q+q2+q3+q4=0．则q5－1=0，∴ |q|=1．此时|a1|=|a2|=|a3|=|a4|=|a5|，即此五点在同一圆上．‎ 综上可知，表示复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．‎ ‎19．设复数，当取何实数时？‎ ‎ (1）是纯虚数；‎ ‎ (2）对应的点位于复平面的第二象限。‎ ‎【答案】（1）是纯虚数当且仅当，‎ ‎ 解得，‎ ‎ (2）由 ‎ 所以当3时，‎ ‎ 对应的点位于复平面的第二象限。‎ ‎20．已知，且以下命题都为真命题：‎ 命题 实系数一元二次方程的两根都是虚数；‎ 命题 存在复数同时满足且.‎ 求实数的取值范围.‎ ‎【答案】由命题为真，可得;‎ 由命题为真，可知复平面上的圆和圆有交点，‎ 于是由图形不难得到，‎ 故两个命题同时为真的实数的取值范围是.‎ ‎21．设 ‎(1）求 | z1| 的值以及z1的实部的取值范围；‎ ‎(2）若，求证：为纯虚数。‎ ‎【答案】 (1)设，则[来源:Z#xx#k.Com]‎ 因为 z2是实数，b≠0，于是有a2+b2=1，即|z1|=1，还可得 由-1≤z2≤1，得-1≤2a≤1，解得，即z1的实部的取值范围是.‎ ‎(2） ‎ 因为aÎ，b≠0，所以为纯虚数.‎ ‎22．已知复数（）满足：，且在复平面上的对应点的轨迹经过点 ‎(1） 求的轨迹；‎ ‎(2） 若过点，倾斜角为的直线交轨迹于两点，求的面积。‎ ‎【答案】（Ⅰ）根据题目条件，设轨迹的方程为：，将代入方程，得：‎ ‎ ，（舍去）[来源:1]‎ 所以的轨迹方程是： （）‎ ‎(Ⅱ）直线的方程为：‎ ‎ 联立方程：‎ ‎∴△OMN的面积 ‎