北京高考试卷数学理科 13页

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  • 2021-05-14 发布

北京高考试卷数学理科

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‎2006年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工类)(北京卷)‎ ‎ ‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷1至2页,第II卷3至9页,共150分。考试时间120分钟。考试结束。将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷(选择题共40分)‎ 注意事项:‎ ‎ 1.答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上。‎ ‎ 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。‎ 一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1)在复平面内,复数对应的点位于 ‎ (A)第一象限 (B)第二象限 ‎ (C)第三象限 (D)第四象限 ‎(2)若a与b-c都是非零向量,则“a·b=a·c”是“a⊥(b-c)”的 ‎ (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎ (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(3)在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有 ‎ (A)36个 (B)24个 ‎ (C)18个 (D)6个 ‎(4)平面的斜线AB交于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交于点C,则动点C的轨迹是 ‎ (A)一条直线 (B)一个圆 ‎ (C)一个椭圆 (D)双曲线的一支 ‎(5)已知上的增函数,那么a的取值范 ‎ 围是 ‎ (A)(0,1) (B)(0,) (C)[· (D),1)‎ ‎(6)在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意 ‎ 恒成立”的只有 ‎ (A) (B)‎ ‎ (C) (D)‎ ‎(7)设等于 ‎ (A) (B)‎ ‎ (C) (D)‎ ‎(8)下图为某三岔路口交通环岛的简化模型,在某高峰时段,单位时间进出路口A、B、‎ ‎(‎ ‎(‎ ‎(‎ C的机动车辆数如图所示,图中、、分别表示该时段单位时间通过路段AB,‎ BC,CA的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出 的车辆数相等),则 ‎ (A)‎ ‎ (B)‎ ‎ (C)‎ ‎ (D)‎ 绝密★启用前 ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(文史类)(北京卷)‎ 第II卷(共110分)‎ 注意事项:‎ ‎ 1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。‎ ‎ 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ 题 号 二 三 总 分 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 得分 评卷人 ‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小 题5分,共30分。把答 案填在题中横线上。‎ ‎(9)的值等于 .‎ ‎(10)在的展开式中,的系数是 .(用数字作答)‎ ‎(11)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)()共线,则的值等于 ‎ .‎ ‎(12)在△ABC中,若=5:7:8. 则∠B的大小是 .‎ ‎(13)已知点P(x,y)的坐标满足条件点O为坐标原点,那么| PO |的最小值 ‎ 等于 ,最大值等于 .‎ ‎(14)已知A、B、C三点在球心为O,半径为R的球面上,AC⊥BC,且AB=R,那么A、B两点间的球面距离为 球心到平面ABC的距离为 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ 得分 评卷人 ‎ (15)(本小题共12分)‎ ‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求的定义域;‎ ‎(Ⅱ)设的第四象限的角,且,求的值.‎ 得分 评卷人 ‎ (16)(本小题共13分)‎ ‎ 已知函数在点x0处取得极大值5,其导函数的图象经 过点(1,0),(2,0),如图所示,求:‎ ‎(Ⅰ)x0的值;‎ ‎(Ⅱ)a,b,c的值.‎ 得分 评卷人 ‎ (17)(本小题共14分)‎ ‎ 如图,在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且 PA=PB,点E是PD的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:AC⊥PB;‎ ‎(Ⅱ)求证:PB//平面AEC;‎ ‎(Ⅲ)求二面角E—AC—B的大小.‎ 得分 评卷人 ‎ (18)(本小题共13分)‎ ‎ 某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.‎ ‎ 方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;‎ ‎ 方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.‎ ‎ 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a,b,c,且三门课程考 试是否及格相互之间没有影响. 求:‎ ‎(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;‎ ‎(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)‎ 得分 评卷人 ‎ (19)(本小题共14分)‎ ‎ 已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件| PM |-| PN |=2,记动点P的轨 迹为W.‎ ‎(Ⅰ)求W的方程;‎ ‎(Ⅱ)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求、的最小值.‎ 得分 评卷人 ‎ (20)(本小题共14分)‎ ‎ 在数列中,若a1,a2是正整数,且3,4,5,…,则称 为“绝对差数列”.‎ ‎(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);‎ ‎(Ⅱ)若“绝对差数列” 中,,数列满足 ‎ n=1,2,3,…,分虽判断当时,的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;‎ ‎(Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.‎ 绝密★启用前 ‎2006年普通高等学校招生统一考试 数学(理工类)(北京卷)参考答案 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)‎ ‎ (1)D (2)C (3)B (4)A ‎ ‎ (5)C (6)A (7)D (8)C 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎ (9)- (10)-14‎ ‎ (11) (12)‎ ‎ (13) (14)‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分)‎ ‎ (15)(共12分)‎ ‎ 解:(Ⅰ)由,‎ 故在定义域为,‎ ‎(Ⅱ)因为,且是第四象限的角,‎ 所以,‎ 故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (16)(共13分)‎ ‎ 解法一:‎ ‎ (Ⅰ)由图象可知,在(-∞,1)上,在(1,2)上,‎ 在(2,+∞)上,‎ 故在(-∞,1),(2,+∞)上递增,在(1,2)上递减,‎ 因此在x=1处取得极大值,所以x0=1.‎ ‎ (Ⅱ),‎ 由 得 解得 解法二:‎ ‎ (Ⅰ)同解法一.‎ ‎ (Ⅱ)设 ‎ 又,‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 由,‎ ‎ 即 ‎ 得,‎ ‎ 所以 ‎(17)(共17分)‎ ‎ 解法一:‎ ‎ (Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,‎ ‎ ∴AB是PB在平面ABCD上的射影.‎ ‎ 又∵AB⊥AC,AC平面ABCD,‎ ‎ ∴AC⊥PB.‎ ‎(Ⅱ)连接BD,与AC相交于O,连接EO.‎ ‎ ∵ABCD是平行四边形,‎ ‎ ∴O是BD的中点 又E是PD的中点 ‎∴EO∥PB.‎ 又PB平面AEC,EO平面AEC,‎ ‎∴PB∥平面AEC.‎ ‎ (Ⅲ)取BC中点G,连接OG,则点G的坐标为(,,0),=(0,,0).‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ∴OE⊥AC,OG⊥AC,‎ ‎ ∴∠EOG是二面角E—AC—B的平面角 ‎ ∵‎ ‎ ∴∠EOG=135°.‎ ‎ ∴二面角E—AC—B的大小为135°.‎ ‎(18)(共13分)‎ ‎ 解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,‎ 则P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c.‎ ‎(Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率 ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =;‎ 应聘者用方案二考试通过的概率 ‎ ‎ ‎ =‎ ‎(Ⅱ)因为,所以 ‎ ‎ ‎ =,‎ ‎ 故,‎ ‎ 即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大.‎ ‎(19)(共14分)‎ ‎ 解法一:‎ ‎(Ⅰ)由|PM|-|PN|=知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实 ‎ 半轴长 ‎ 又半焦距c=2,故虚半轴长.‎ ‎ 所以W的方程为.‎ ‎ (Ⅱ)设A,B的坐标分别为(‎ ‎ 当AB⊥轴时,,从而 ‎ 当AB与轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消 ‎ 去y得 ‎ ‎ ‎ 故,‎ ‎ 所以 ‎ ‎ =‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎ 又因为,所以,从而 ‎ 综上,当AB⊥轴时,取得最小值2.‎ 解法二:‎ ‎ (Ⅰ)同解法一.‎ ‎ (Ⅱ)设A,B的坐标分别为(,则 ‎ ‎ ‎ 令,‎ ‎ 则且1,2)所以 ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ ,‎ ‎ 当且仅当,即时“=”成立.‎ ‎ 所以的最小值是2.‎ ‎(20)(共14分)‎ ‎(Ⅰ)解:‎ ‎ (答案不惟一)‎ ‎(Ⅱ)解:因为在绝对差数列所以自第20项开始,该数列是 即自第20项开始。每三个相邻的项周期地取值3,0,3. 所以当时,的极限 不存在.‎ ‎ 当 ‎(Ⅲ)证明:根据定义,数列必在有限项后出现零项.证明如下:‎ ‎ 假设中没有零项,由于,所以对于任意的n,都有,从而 当时,;‎ 当时,;‎ 即的值要么比至少小1,要么比至少小1.‎ 令n=1,2,3,…,‎ 则2,3,4,…).‎ 由于是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项,这与 ‎(n=1,2,3,…)矛盾. 从而必有零项.‎ 若第一次出现的零项为第n项,记),则自第n项开始,每三个相邻 的项周期地取值0,,,即 所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.‎