北京高考试卷数学理科 13页

‎2006年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工类）（北京卷）‎ ‎ ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页,第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束。将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷（选择题共40分）‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上。‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。‎ 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）在复平面内，复数对应的点位于 ‎ （A）第一象限 （B）第二象限 ‎ （C）第三象限 （D）第四象限 ‎（2）若a与b－c都是非零向量，则“a·b=a·c”是“a⊥（b－c）”的 ‎ （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎ （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（3）在1，2，3，4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有 ‎ （A）36个 （B）24个 ‎ （C）18个 （D）6个 ‎（4）平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是 ‎ （A）一条直线 （B）一个圆 ‎ （C）一个椭圆 （D）双曲线的一支 ‎（5）已知上的增函数，那么a的取值范 ‎ 围是 ‎ （A）（0，1） （B）（0，） （C）[· （D），1）‎ ‎（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意 ‎ 恒成立”的只有 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（7）设等于 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、‎ ‎（‎ ‎（‎ ‎（‎ C的机动车辆数如图所示，图中、、分别表示该时段单位时间通过路段AB，‎ BC，CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出 的车辆数相等），则 ‎ （A）‎ ‎ （B）‎ ‎ （C）‎ ‎ （D）‎ 绝密★启用前 ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（文史类）（北京卷）‎ 第II卷（共110分）‎ 注意事项：‎ ‎ 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。‎ ‎ 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ 题 号 二 三 总 分 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 得分 评卷人 ‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小 题5分，共30分。把答 案填在题中横线上。‎ ‎（9）的值等于 .‎ ‎（10）在的展开式中，的系数是 .（用数字作答）‎ ‎（11）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，b）（）共线，则的值等于 ‎ .‎ ‎（12）在△ABC中，若=5:7:8. 则∠B的大小是 .‎ ‎（13）已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么| PO |的最小值 ‎ 等于 ，最大值等于 .‎ ‎（14）已知A、B、C三点在球心为O，半径为R的球面上，AC⊥BC，且AB=R，那么A、B两点间的球面距离为 球心到平面ABC的距离为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ 得分 评卷人 ‎ （15）（本小题共12分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的定义域；‎ ‎（Ⅱ）设的第四象限的角，且，求的值.‎ 得分 评卷人 ‎ （16）（本小题共13分）‎ ‎ 已知函数在点x0处取得极大值5，其导函数的图象经 过点（1，0），（2，0），如图所示，求：‎ ‎（Ⅰ）x0的值；‎ ‎（Ⅱ）a，b，c的值.‎ 得分 评卷人 ‎ （17）（本小题共14分）‎ ‎ 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且 PA=PB，点E是PD的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥PB；‎ ‎（Ⅱ）求证：PB//平面AEC；‎ ‎（Ⅲ）求二面角E—AC—B的大小.‎ 得分 评卷人 ‎ （18）（本小题共13分）‎ ‎ 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.‎ ‎ 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；‎ ‎ 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.‎ ‎ 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考 试是否及格相互之间没有影响. 求：‎ ‎（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；‎ ‎（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）‎ 得分 评卷人 ‎ （19）（本小题共14分）‎ ‎ 已知点M（－2，0），N（2，0），动点P满足条件| PM |－| PN |=2，记动点P的轨 迹为W.‎ ‎（Ⅰ）求W的方程；‎ ‎（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求、的最小值.‎ 得分 评卷人 ‎ （20）（本小题共14分）‎ ‎ 在数列中，若a1，a2是正整数，且3，4，5，…，则称 为“绝对差数列”.‎ ‎（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；‎ ‎（Ⅱ）若“绝对差数列” 中，，数列满足 ‎ n=1，2，3，…，分虽判断当时，的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；‎ ‎（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.‎ 绝密★启用前 ‎2006年普通高等学校招生统一考试 数学（理工类）（北京卷）参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎ （1）D （2）C （3）B （4）A ‎ ‎ （5）C （6）A （7）D （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎ （9）－ （10）－14‎ ‎ （11） （12）‎ ‎ （13） （14）‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎ （15）（共12分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）由，‎ 故在定义域为，‎ ‎（Ⅱ）因为，且是第四象限的角，‎ 所以，‎ 故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （16）（共13分）‎ ‎ 解法一：‎ ‎ （Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上，在（1，2）上，‎ 在（2，+∞）上，‎ 故在（－∞，1），（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减，‎ 因此在x=1处取得极大值，所以x0=1.‎ ‎ （Ⅱ），‎ 由 得 解得 解法二：‎ ‎ （Ⅰ）同解法一.‎ ‎ （Ⅱ）设 ‎ 又，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 由，‎ ‎ 即 ‎ 得，‎ ‎ 所以 ‎（17）（共17分）‎ ‎ 解法一：‎ ‎ （Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，‎ ‎ ∴AB是PB在平面ABCD上的射影.‎ ‎ 又∵AB⊥AC，AC平面ABCD，‎ ‎ ∴AC⊥PB.‎ ‎（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO.‎ ‎ ∵ABCD是平行四边形，‎ ‎ ∴O是BD的中点 又E是PD的中点 ‎∴EO∥PB.‎ 又PB平面AEC，EO平面AEC，‎ ‎∴PB∥平面AEC.‎ ‎ （Ⅲ）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为（,,0），=（0，,0）.‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ∴OE⊥AC，OG⊥AC，‎ ‎ ∴∠EOG是二面角E—AC—B的平面角 ‎ ∵‎ ‎ ∴∠EOG=135°.‎ ‎ ∴二面角E—AC—B的大小为135°.‎ ‎（18）（共13分）‎ ‎ 解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，‎ 则P（A）=a，P（B）=b，P（C）=c.‎ ‎（Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率 ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =;‎ 应聘者用方案二考试通过的概率 ‎ ‎ ‎ =‎ ‎（Ⅱ）因为，所以 ‎ ‎ ‎ =，‎ ‎ 故，‎ ‎ 即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大.‎ ‎（19）（共14分）‎ ‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）由|PM|－|PN|=知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实 ‎ 半轴长 ‎ 又半焦距c=2，故虚半轴长.‎ ‎ 所以W的方程为.‎ ‎ （Ⅱ）设A，B的坐标分别为（‎ ‎ 当AB⊥轴时，，从而 ‎ 当AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，与W的方程联立，消 ‎ 去y得 ‎ ‎ ‎ 故，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ =‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎ 又因为，所以，从而 ‎ 综上，当AB⊥轴时，取得最小值2.‎ 解法二：‎ ‎ （Ⅰ）同解法一.‎ ‎ （Ⅱ）设A，B的坐标分别为（，则 ‎ ‎ ‎ 令，‎ ‎ 则且1，2）所以 ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ ，‎ ‎ 当且仅当，即时“=”成立.‎ ‎ 所以的最小值是2.‎ ‎（20）（共14分）‎ ‎（Ⅰ）解：‎ ‎ （答案不惟一）‎ ‎（Ⅱ）解：因为在绝对差数列所以自第20项开始，该数列是 即自第20项开始。每三个相邻的项周期地取值3，0，3. 所以当时，的极限 不存在.‎ ‎ 当 ‎（Ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下：‎ ‎ 假设中没有零项，由于，所以对于任意的n，都有，从而 当时，；‎ 当时，；‎ 即的值要么比至少小1，要么比至少小1.‎ 令n=1，2，3，…，‎ 则2，3，4，…）.‎ 由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项，这与 ‎（n=1，2，3，…）矛盾. 从而必有零项.‎ 若第一次出现的零项为第n项，记），则自第n项开始，每三个相邻 的项周期地取值0，，，即 所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.‎