2016年高考山东文科数学试题及答案(word解析版) 6页

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）‎ 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）【2016年山东，文1，5分】设集合，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，故选A．‎ ‎【点评】考查集合的并集及补集运算，难度较小．‎ ‎（2）【2016年山东，文2，5分】若复数，其中为虚数单位，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，故选B．‎ ‎【点评】复数的运算题目，考察复数的除法及共轭复数，难度较小．‎ ‎（3）【2016年山东，文3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是（ ）‎ ‎ （A）56 （B）60 （C）120 （D）140‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图可知组距为2．5，每周的自习时间少于22．5小时的频率为，‎ ‎ 所以，每周自习时间不少于22．5小时的人数是人，故选D．‎ ‎【点评】频率分布直方图题目，注意纵坐标为频率/组距，难度较小．‎ ‎（4）【2016年山东，文4，5分】若变量，满足，则的最大值是（ ）‎ ‎（A）4 （B）9 （C）10 （D）12‎ ‎【答案】C ‎【解析】由是点到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点，‎ 所以是最优解，的最大值是10，故选C．‎ ‎（5）【2016年山东，文5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该 几何体的体积为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图可知，此几何体是一个正三棱锥和半球构成的，体积为 ‎，故选C．‎ ‎【点评】考察三视图以及几何体的体积公式，题面已知是半球和四棱锥，由三视图可看出是正四棱锥，难度较小．‎ ‎（6）【2016年山东，文6，5分】已知直线分别在两个不同的平面，内，则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若直线相交，一定有一个交点，该点一定同时属于两个平面，即两平面相交，所以是充分条件；两平面相交，平面内两条直线关系任意（平行、相交、异面），即充分不必要条件，故选A．‎ ‎（7）【2016年山东，文7，5分】已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）‎ ‎（A）内切 （B）相交 （C）外切 （D）相离 ‎【答案】B ‎【解析】圆化成标准形式 解法1：圆心到直线的距离为，由勾股定理得， ‎ 解得，圆与圆的圆心距为，圆半 径，圆半径圆与圆相交，故选B．‎ 解法2：直线斜率为，倾斜角为，可知，点坐标为，‎ 即为圆的圆心．圆心在圆中，且半径为1，即两圆相交，故选B．‎ ‎（8）【2016年山东，文8，5分】中，角的对边分别是，已知，，则=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】又，，‎ ‎，在中，，故选C．‎ ‎（9）【2016年山东，文9，5分】已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C）0 （D）2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，知当时，的周期为1，所以．又当时，‎ ‎，所以．于是，故选D．‎ ‎（10）【2016年山东，文10，5分】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数具有性质的是（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为函数，的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有性质，故选A．‎ ‎ 第II卷（共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分．‎ ‎（11）【2016年山东，文11，5分】执行右边的程序框图，若输入的值为3，则输出的的值为 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】根据题目所给框图，当输入时，依次执行程序为：，， ‎ 不成立，，，不成立，，‎ ‎，成立，故输出的的值为1．‎ ‎（12）【2016年山东，文12，5分】观察下列等式：‎ ‎ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题干中各等式左端各项分母的特点及等式右端所表现出来的规律经过归纳推理即得．‎ ‎（13）【2016年山东，文13，5分】已知向量，．若，则实数的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知条件可得，又因可得，‎ 即，即得．‎ ‎（14）【2016年山东，文14，5分】已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，的中点为的两个焦点，且，则的离心率为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题意，所以，于是点在双曲线上，代入方程，得，‎ ‎ 在由得的离心率为．‎ ‎（15）【2016年山东，文15，5分】在已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为的对称轴为，所以时单调递增，只要大于的最小值时，关于的方程在时有一根；又在，时，存在实数，使方程在时有两个根，只需；故只需即可，解之，注意，得，故填．‎ 三、解答题：本大题共6题，共75分．‎ ‎（16）【2016年山东，文16，12分】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿 ‎ 童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设 两次记录的数分别为，．奖励规矩如下：①若，则奖励玩具一个；②若，则奖 励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参 加此活动．‎ ‎（1）求小亮获得玩具的概率；‎ ‎（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．‎ 解：（1）设获得玩具记为事件，获得水杯记为事件，获得一瓶饮料记为事件，转盘转动两次后 获得的数据记为，则基本事件空间为 共16种，事件为，共5种，‎ 故小亮获得玩具的概率．‎ ‎ （2）事件为共6种，故小亮获得水杯的概率，获得饮料的 概率．因为，所以小亮获得水杯比获得饮料的概率大．‎ ‎（17）【2016年山东，文17，12分】设．‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数的图象，求的值．‎ 解：（1）‎ ‎，，‎ 所以单调递增区间为．‎ ‎（2）经变换，．‎ ‎（18）【2016年山东，文18，12分】在如图所示的几何体中，是的中点，．‎ ‎（1）已知，．求证：；‎ ‎（2）已知，分别是和的中点．求证：．‎ 解：（1）连接，，．和为等腰三角形． ‎ 又是的中点，，；平面．又，‎ ‎ 平面与平面为相同平面；平面．平面； ‎ ‎．‎ ‎（2）取中点，连接和．在中和为中点；‎ ‎．；四边形为梯形．和分别 为和中点；．又和交与点，与 交与点；平面平面．又平面；‎ 平面． ‎ ‎（19）【2016年山东，文19，12分】已知数列的前项和，是等差数列，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令．求数列的前项和．‎ 解：（1）因为数列的前项和，所以，当时，‎ ‎，又对也成立，所以．‎ 又因为是等差数列，设公差为，则．当时，；当时，‎ ‎，解得，所以数列的通项公式为．‎ ‎（2）由，于是，‎ 两边同乘以２，得，两式相减，得 ‎．‎ ‎（20）【2016年山东，文20，13分】设，．‎ ‎（1）令，求的单调区间；‎ ‎（2）已知在处取得极大值，求实数取值范围．‎ 解：（1）定义域，，．‎ ①当时，恒成立，在上单调递增；‎ ②当时，令，得．在上单调递增，在上单调递减．‎ 综上所述，当时，单调递增区间为，当时，单调递增区间为， 单调递减区间 为．‎ ‎（2）∵在处取得极大值，∴，在a取任何值时恒成立．‎ ①当时，在上单调递增，即时，；时，，‎ 此时在处取得极小值，不符合题意；‎ ②当时，在上单调递增， 在上单调递减．只需令，即．‎ 综上所述，的取值范围为．‎ ‎（21）【2016年山东，文21，14分】已知椭圆的长轴长为4，焦距为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过动点的直线交轴于点，交于点，（在第一象限），且 是线段的中点，过点做轴的垂线交于另一点，延长交于点．‎ ‎（i）设直线，的斜率分别为，，证明为定值；‎ ‎（ii）求直线的斜率的最小值．‎ 解：（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）（i）设直线，因为点为直线与轴的交点，所以，‎ 因为点为线段的中点，所以，得，‎ 所以点，所以，故为定值．‎ ‎（ii）直线与椭圆方程联立，得：，‎ 所以 ，‎ 所以，直线与椭圆方程联立，‎ 得，所以，‎ 所以，，‎ 因为点在椭圆上，所以，得 将②代入①得恒成立，‎ 所以，所以，所以（当且仅当时取“=”），‎ 所以当时，的最小值为．‎