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- 2021-05-14 发布
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2018年四川省德阳市高考数学一诊试卷(文科)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(5分)已知集合A={x|3x2﹣4x+1≤0},B=,则A∩B=( )
A. B. C. D.
2.(5分)若复数z满足z(1﹣i)=|1﹣i|+i(其中i为虚数单位),则z的虚部为( )
A. B. C.i D.i
3.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)满足:∀x1,x2∈R,当|f(x1)﹣f(x2)|=2时,|x1﹣x2|min=,那么f(x)的最小正周期是( )
A. B. C.π D.2π
4.(5分)已知函数f(x)在R上存在导数f′(x),下列关于f(x),f′(x)的描述正确的是( )
A.若f(x)为奇函数,则f′(x)必为奇函数
B.若f(x)为周期函数,则f′(x)必为周期函数
C.若f(x)不为周期函数,则f′(x)必不为周期函数
D.若f(x)为偶函数,则f′(x)必为偶函数
5.(5分)如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成,那么图形中的向量,满足•=( )
A.1 B.2 C.4 D.6
6.(5分)榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式,凸出部分叫榫,凹进部分叫卯,榫和卯咬合,起到连接作用,代表建筑有:北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等,如图所示是一种榫卯的三视图,其表面积为( )
A.192 B.186 C.180 D.198
7.(5分)执行如图所示的程序框图,若m=4,则输出的结果为( )
A.1 B. C.2 D.
8.(5分)已知函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=1,那么+++…+=( )
A.2018 B.1009 C.4036 D.3027
9.(5分)在如图所示的边长为1的正方形ABCD中,C,C,C,C是分别以A,B,C,D为圆心,1为半径的圆位于正方形内的部分,现从正方形内任取一点P,那么点P取自阴影部分的概率等于( )
A. B.﹣ C.﹣ D.﹣
10.(5分)设点P为椭圆C:+=1上一点,F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点,且△PF1F2的重心为点G,若|PF1|:|PF2|=3:4,那么△GPF1的面积为( )
A.24 B.12 C.8 D.6
11.(5分)用min{a,b}表示实数a,b中的较小者,已知向量,,满足||=1,||=2,•=0,=λ+μ(λ+μ=1),则当min{•,•}取得最大值时,||=( )
A. B. C.1 D.
12.(5分)已知函数f(x)=,x∈(﹣1,+∞),若关于x的方程f2(x)+m|f(x)|+2m+3=0有三个不同的实数解,则m的取值范围是( )
A.(﹣,0) B.(﹣,﹣) C.(﹣,﹣] D.(﹣,0)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(5分)已知函数f(x)=2x﹣e+1的图象经过点(1,3),那么f(log23)= .
14.(5分)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(10分制)的频数分布统计图如图所示,如果得分值的中位数为a,众数为b,平均数为c,则a、b、c中的最大者是 .
15.(5分)若平面区域夹在两条平行直线之间,且这两条平行直线间的最短距离为,那么这两条平行直线的斜率是 .
16.(5分)若函数f(x)﹣sin(x+φ)是偶函数,f(x)﹣cos(x+φ)是奇函数,已知存在点P(x1,f(x1)),Q(x1+,f(x1+)),使函数f(x)在P、Q点处的切线斜率互为倒数,那么cosφ= .
三、解答题(本大题共5小题,共70分)
17.(12分)已知{an}是等差数列,且a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Sn.
18.(12分)已知△ABC中,∠B=60°,点D在BC边上,且AC=2.
(1)若CD=,AD=2,求AB;
(2)求△ABC的周长的取值范围.
19.(12分)为使政府部门与群众的沟通日常化,某城市社区组织“网络在线问政”活动.2015年,该社区每月通过问卷形式进行一次网上问政;2016年初,社区随机抽取了60名居民,对居民上网参政议政意愿进行调查.已知上网参与问政次数与参与人数的频数分布如表:
参与调查问卷次数
[0,2)
[2,4)
[4,6)
[6,8)
[8,10)
[10,12]
参与调查问卷人数
8
14
8
14
10
6
附:
P(k2>k0)
0.100
0.050
0.010
k0
2.706
3.841
6.635
K2=
(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“积极上网参政居民”,请你根据频数分布表,完成2×2列联表,据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“上网参政议政与性别有关”?
男
女
合计
积极上网参政议政
8
不积极上网参政议政
合计
40
(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人,再从选取的6人中选出3人参加政府听证会,求选出的3人为2男1女的概率.
20.(12分)已知函数f(x)=﹣x3+ax2﹣bx(a,b∈R).
(1)当a=1时,若∀x>0,都有f(x)≤bx2+x成立,求实数b的最小值;
(2)若b=﹣3a2(a>0).若函数f(x)的极小值点和极大值点分别为x1,x2.
①求f(x1),f(x2);
②当λ∈(0,1)时,求f()的值域.
21.(12分)已知函数f(x)=﹣ax2+lnx(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若∃x∈(1,+∞),f(x)>﹣a,求a的取值范围.
请考生在22、23二题中任选一题作答.
22.(10分)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为原点,极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:(t为参数).
(1)将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程,将直线l的参数方程化成普通方程;
(2)当m=0时,直线l与曲线C异于原点O的交点为A,直线ρ=﹣与曲线C异于原点O的交点为B,求三角形AOB的面积.
23.已知函数f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[﹣1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈(0,+∞),且++=m,证明:a+2b+3c≥9.
2018年四川省德阳市高考数学一诊试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(5分)已知集合A={x|3x2﹣4x+1≤0},B=,则A∩B=( )
A. B. C. D.
【解答】解:∵集合A={x|3x2﹣4x+1≤0}={x|},
B=={x|x},
∴A∩B={x|}=[,1].
故选:B.
2.(5分)若复数z满足z(1﹣i)=|1﹣i|+i(其中i为虚数单位),则z的虚部为( )
A. B. C.i D.i
【解答】解:∵复数z满足z(1﹣i)=|1﹣i|+i(其中i为虚数单位),
∴z===+i.
则z的虚部为.
故选:A.
3.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)满足:∀x1,x2∈R,当|f(x1)﹣f(x2)|=2时,|x1﹣x2|min=,那么f(x)的最小正周期是( )
A. B. C.π D.2π
【解答】解:根据正弦型函数f(x)=sin(ωx+)的图象与性质知,
对∀x1,x2∈R,当|f(x1)﹣f(x2)|=2时,|x1﹣x2|min=,
∴f(x)的最小正周期是T=2×=π.
故选:C.
4.(5分)已知函数f(x)在R上存在导数f′(x),下列关于f(x),f′(x)的描述正确的是( )
A.若f(x)为奇函数,则f′(x)必为奇函数
B.若f(x)为周期函数,则f′(x)必为周期函数
C.若f(x)不为周期函数,则f′(x)必不为周期函数
D.若f(x)为偶函数,则f′(x)必为偶函数
【解答】解:对于A:例如:f(x)=x3为奇函数,则f′(x)=3x2,为偶函数,故A错误,
对于B:f(x)是可导函数,则f(x+T)=f(x),两边对x求导得(x+T)′f'(x+T)=f'(x),
f'(x+T)=f'(x),周期为T.故若f(x)为周期函数,则f′(x)必为周期函数.故B正确,
对于C:例如:f(x)=sinx+x不是周期函数,当f′(x)=cosx+1为周期函数,故C错误,
对于D:例如:f(x)=x2为偶函数,则f′(x)=2x为奇函数,故D错误,
故选:B.
5.(5分)如图的平面图形由16个全部是边长为1且有一个内角为60°的菱形组成,那么图形中的向量,满足•=( )
A.1 B.2 C.4 D.6
【解答】解:如图,
由题意可知,,且与的夹角为60°,
∴=.
则,,
∴•==
=.
故选:D.
6.(5分)榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式,凸出部分叫榫,凹进部分叫卯,榫和卯咬合,起到连接作用,代表建筑有:北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等,如图所示是一种榫卯的三视图,其表面积为( )
A.192 B.186 C.180 D.198
【解答】解:由三视图还原原几何体,可知该几何体为组合体,上部分为长方体,棱长分别为2、6、3,下部分为长方体.棱长分别为6、6、3,
其表面积公式S=4×6×3+2×6×6+(2+6)×2×2=192
故选:A.
7.(5分)执行如图所示的程序框图,若m=4,则输出的结果为( )
A.1 B. C.2 D.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
p=4,k=0
不满足条件k2≥3k+4,p=4,k=1
不满足条件k2≥3k+4,p=8,k=2
不满足条件k2≥3k+4,p=32,k=3
不满足条件k2≥3k+4,p=256,k=4
满足条件k2≥3k+4,退出循环,可得z=
故选:D.
8.(5分)已知函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=1,那么+++…+=( )
A.2018 B.1009 C.4036 D.3027
【解答】解:由意题f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=1,
可得令x=n,y=1,可得f(n+1)=f(n),
可得f(1)=f(2)=f(3)=…=f(n)=1,
那么:+++…+=f2(1)+f2(2)+…+f2(1009)=1009.
故选:B
9.(5分)在如图所示的边长为1的正方形ABCD中,C,C,C,C是分别以A,B,C,D为圆心,1为半径的圆位于正方形内的部分,现从正方形内任取一点P,那么点P取自阴影部分的概率等于( )
A. B.﹣ C.﹣ D.﹣
【解答】解:如图,
由对称性可知,阴影部分所占面积为弓形BC1D面积的一半,
∵正方形ABCD的边长为1,
则扇形ABD的面积为,直角三角形ABD的面积为,
∴阴影部分的面积为.
又正方形ABCD的面积为1,
∴从正方形内任取一点P,那么点P取自阴影部分的概率等于.
故选:D.
10.(5分)设点P为椭圆C:+=1上一点,F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点,且△PF1F2的重心为点G,若|PF1|:|PF2|=3:4,那么△GPF1的面积为( )
A.24 B.12 C.8 D.6
【解答】解:∵点P为椭圆C:+=1上一点,|PF1|:|PF2|=3:4,|PF1|+|PF2|=2a=14
∴|PF1|=6,|PF2|=8,又∵F1F2=2c=10,
∴△PF1F2是直角三角形,S=,
∵△PF1F2的重心为点G.∴S=,
∴△GPF1的面积为8,
故选:C
11.(5分)用min{a,b}表示实数a,b中的较小者,已知向量,,满足||=1,||=2,•=0,=λ+μ(λ+μ=1),则当min{•,•}取得最大值时,||=( )
A. B. C.1 D.
【解答】解:∵•=(λ+μ)•=λ+μ=λ,
=(λ+μ)•=μ+λ=4μ=4﹣4λ,
令λ≥4﹣4λ,解得λ≥
∴min{•,•}=,
设f(x)=,
则f(x)在[0,]上递增,在[,1]上递减,
∴当x=,f(x)取得最小值,
此时=+,
∴||2=(16+8•+)=,
∴||=,
故选:A.
12.(5分)已知函数f(x)=,x∈(﹣1,+∞),若关于x的方程f2(x)+m|f(x)|+2m+3=0有三个不同的实数解,则m的取值范围是( )
A.(﹣,0) B.(﹣,﹣) C.(﹣,﹣] D.(﹣,0)
【解答】解:,y=|f(x)|,x∈(﹣1,+∞)的图象如下:
设|f(x)|=t,则|f(x)|2+m|f(x)|+2m+3=0有三个不同的实数解,即为t2+mt+2m+3=0有两个根,
①t=0时,代入t2+mt+2m+3=0得m=﹣,即,另一根为只有一个交点,舍去
②一个在(0,1)上,一个在[1,+∞)上时,
设h(t)=t2+mt+2m+3
,解得﹣<m≤﹣.
故选:C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(5分)已知函数f(x)=2x﹣e+1的图象经过点(1,3),那么f(log23)= 4 .
【解答】解:∵函数f(x)=2x﹣e+1的图象经过点(1,3),
∴f(1)=21﹣e+1=3,解得e=0,
∴f(x)=2x+1,
∴f(log23)=+1=3+1=4.
故答案为:4.
14.(5分)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(10分制)的频数分布统计图如图所示,如果得分值的中位数为a,众数为b,平均数为c,则a、b、c中的最大者是 c .
【解答】解:由频率分布直方图知,众数为b=5;
由中位数的定义知是第15个数与第16个数的平均值,
将数据从小到大排第15 个数是5,第16个数是6,
∴中位数为a==5.5;
平均数是c=×(2×3+3×4+5×10+6×6+3×7+2×9+2×10)≈6.0,
∴b<a<c,即a、b、c中最大者是c.
故答案为:c.
15.(5分)若平面区域夹在两条平行直线之间,且这两条平行直线间的最短距离为,那么这两条平行直线的斜率是 1 .
【解答】解:作出平面区域如图所示:
可行域是等腰三角形,平面区域
夹在两条平行直线之间的距离为:,
可得可行域的A(1,2),B(2,1),C(3,3),
|AB|==,
∴平行线间的距离的最小值为d=,
所求直线与x+y﹣3=0垂直,可得:k=1.
故答案为:1.
16.(5分)若函数f(x)﹣sin(x+φ)是偶函数,f(x)﹣cos(x+φ)是奇函数,已知存在点P(x1,f(x1)),Q(x1+,f(x1+)),使函数f(x)在P、Q点处的切线斜率互为倒数,那么cosφ= ±1 .
【解答】解:函数f(x)﹣sin(x+φ)是偶函数,
可得f(﹣x)﹣sin(﹣x+φ)=f(x)﹣sin(x+φ),
即有f(﹣x)=f(x)﹣sinxcosφ﹣cosxsinφ﹣sinxcosφ+cosxsinφ=f(x)﹣2sinxcosφ,①
f(x)﹣cos(x+φ)是奇函数,
可得f(﹣x)﹣cos(﹣x+φ)+f(x)﹣cos(x+φ)=0,
f(﹣x)+f(x)﹣cosxcosφ﹣sinxsinφ﹣cosxcosφ+sinxsinφ=0,
即为f(﹣x)+f(x)﹣2cosxcosφ=0,②
由①②可得f(x)=(sinx+cosx)cosφ,
导数为f′(x)=(cosx﹣sinx)cosφ,
∃x1,使得函数f(x)
在点P(x1,f(x1)),Q(x1+,f(x1+))处的切线斜率互为倒数,
可得f′(x1)•f′(x1+)=1,
可得(cosx1﹣sinx1)cosφ•(cos(x1+)﹣sin(x1+))cosφ=1,
即为(cosx1﹣sinx1)(﹣sinx1﹣cosx1)cos2φ=1,
即为(sin2x1﹣cos2x1)cos2φ=1,
即有﹣cos2x1•cos2φ=1,
可得cos2φ=1,cos2x1=﹣1,
∴cosφ=±1.
故答案为:±1.
三、解答题(本大题共5小题,共70分)
17.(12分)已知{an}是等差数列,且a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Sn.
【解答】解:(1){an}是等差数列,设数列的公差为d,且a1=3,a4=12,
则:,
所以数列的通项公式为:an=3+3(n﹣1)=3n.
数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列,设公比为q,
则:,
解得:q=2.
所以数列的通项公式为:,
整理得:.
(2)由于:,
则:Sn=3(1+2+…+n)+(20+21+…+2n﹣1),
=,
=.
18.(12分)已知△ABC中,∠B=60°,点D在BC边上,且AC=2.
(1)若CD=,AD=2,求AB;
(2)求△ABC的周长的取值范围.
【解答】解:(1)△ABC中,∠B=60°,点D在BC边上,且AC=2.CD=,AD=2,
则:=,
所以:=.
在△ABC中,利用正弦定理:
,
解得:=,
(2)△ABC中,利用正弦定理得:=,
所以:,=,
由于:0<A<120°,
则:l△ABC==,
=2+,
=,
由于:0<A<120°,
则:30°<A+30°<150°,
得到:,
所以△ABC的周长的范围是:
19.(12分)为使政府部门与群众的沟通日常化,某城市社区组织“网络在线问政”活动.2015年,该社区每月通过问卷形式进行一次网上问政;2016年初,社区随机抽取了60名居民,对居民上网参政议政意愿进行调查.已知上网参与问政次数与参与人数的频数分布如表:
参与调查问卷次数
[0,2)
[2,4)
[4,6)
[6,8)
[8,10)
[10,12]
参与调查问卷人数
8
14
8
14
10
6
附:
P(k2>k0)
0.100
0.050
0.010
k0
2.706
3.841
6.635
K2=
(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“积极上网参政居民”,请你根据频数分布表,完成2×2列联表,据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“上网参政议政与性别有关”?
男
女
合计
积极上网参政议政
8
不积极上网参政议政
合计
40
(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人,再从选取的6人中选出3人参加政府听证会,求选出的3人为2男1女的概率.
【解答】解:(1)由题意知积极上网参政的有:8+14+10+6=38人,
不积极上网参政的有8+14=22人,
2×2列联表为:
男
女
合计
积极上网参政居民
30
8
38
不积极上网参政居民
10
12
22
合计
40
20
60
∴K2=≈7.03,∵7.03>6.635,
∴有99%的把握认为“上网参政与性别有关”.
(2)选取男居民人数为6×=4人,
选取女居民人数为6×,
记4个男居民为A,B,C,D,2个女居民为甲,乙,
从选取的6人中选出3人参加政府听证会,基本事件总数有20种,分别为:
(A,B,C),(A,B,D),(A,B,甲),(A,B,乙),(A,C,D),(A,C,甲),(A,C,乙),
(A,D,甲),(A,D,乙),(A,甲,乙),(B,C,D),(B,C,甲),(B,C,乙),(B,D,甲),
(B,D,乙),(B,甲,乙),(C,D,甲),(C,D,乙),(C,甲,乙),(D,甲,乙),
选出的3人恰为2男1女的有12种,
∴选出的3人恰为2男1女的概率为:p=.
20.(12分)已知函数f(x)=﹣x3+ax2﹣bx(a,b∈R).
(1)当a=1时,若∀x>0,都有f(x)≤bx2+x成立,求实数b的最小值;
(2)若b=﹣3a2(a>0).若函数f(x)的极小值点和极大值点分别为x1,x2.
①求f(x1),f(x2);
②当λ∈(0,1)时,求f()的值域.
【解答】解:(1)当a=1时,∀x>0,都有f(x)≤bx2+x成立,⇔+x2﹣bx≤bx2+x⇔b≥(x>0).
令t=x+1>1.∴b≥=﹣(t>1).
∵t>1,t+=2,当且仅当t=时取等号.∴﹣≤(t>1).
∴b的最小值为:(t>1).
(2)b=﹣3a2(a>0).f(x)=﹣x3+ax2+3a2x,
f′(x)=﹣x2+2ax+3a2=﹣(x﹣3a)(x+a),令f′(x)=0,解得x=3a,或﹣a.
∵a>0,可得函数f(x)在(﹣∞,﹣a)上单调递减;在(﹣a,3a)上单调递增;(3a,+∞)上单调递减.
∴f(x)的极小值=f(﹣a)=﹣,f(x)的极大值=f(3a)=9a3.
②由①可知:x1=﹣a,x2=3a.∴=x2+(x1﹣x2),λ∈(0,1),(x1﹣x2)∈(x1﹣x2,),
故∈⊆(x1,x2).
由①可得:f(x)在(x1,x2)上单调递增,∴f()的值域是=(f(﹣a),f(a))=.
21.(12分)已知函数f(x)=﹣ax2+lnx(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若∃x∈(1,+∞),f(x)>﹣a,求a的取值范围.
【解答】解:(1)由f(x)=﹣ax2+lnx,得f′(x)=﹣2ax+=(x>0),
当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上为增函数;
当a>0时,由f′(x)=0,得=﹣<0,=>0,
∴当x∈(0,)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当x∈()时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
(2)当a≤0时,若x∈(1,+∞),则f(x)+a=﹣ax2+lnx+a=a(1﹣x2)+lnx>0,满足题意;
当a>0时,由(1)知,当,即a时,f(x)在(1,+∞)上为减函数,此时f(x)max=f(1)=﹣a,﹣a>﹣a不成立;
当,即0<a<时,f(x)在(1,)上为增函数,在(,+∞)上为减函数,
此时=,
由,得1+ln2a<2a,
令g(a)=1+ln2a﹣2a,则g′(a)=,
则g(a)在(0,)上为增函数,∴g(a)<g()=0,即1+ln2a<2a恒成立,
∴0<a<.
综上,若∃x∈(1,+∞),使得f(x)>﹣a,a的取值范围为a.
请考生在22、23二题中任选一题作答.
22.(10分)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为原点,极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:(t为参数).
(1)将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程,将直线l的参数方程化成普通方程;
(2)当m=0时,直线l与曲线C异于原点O的交点为A,直线ρ=﹣与曲线C异于原点O的交点为B,求三角形AOB的面积.
【解答】解:(1)线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.
转化为直角坐标方程为:x2+y2=4x
直线的参数方程,
转化为直角坐标方程为:y=x﹣m.
(2)当m=0时,
求得:A(2,),B(2,﹣),
所以:=.
23.已知函数f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[﹣1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈(0,+∞),且++=m,证明:a+2b+3c≥9.
【解答】解:(1)函数f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[﹣1,1],
可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1,1],即有[﹣m,m}={﹣1,1],
可得m=1;
(2)证明:a,b,c∈(0,+∞),且++=1,
则a+2b+3c=(a+2b+3c)(++)
=3+(+)+(+)+(+)
≥3+2+2+2
=3+2+2+2=9,
当且仅当a=2b=3c=3,取得等号.