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  • 2021-05-14 发布

高考求函数解析式方法及例题

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函数专题之解析式问题 求函数解析式的方法 把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫函数的解析式,简称解析式。‎ 求函数解析式的题型有:‎ ‎(1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;‎ ‎(2)已知求或已知求:换元法、配凑法;‎ ‎(3)已知函数图像,求函数解析式;‎ ‎(4)满足某个等式,这个等式除外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法;‎ ‎(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。‎ 一 【待定系数法】(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等)‎ 若已知的结构时,可设出含参数的表达式,再根据已知条件,列方程或方程组,从而求出待定的参数,求得的表达式。‎ ‎【例1】已知函数f(x)是一次函数,且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式。‎ 分析:所求的函数类型已定,是一次函数。‎ 设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?,f(x-1)=?‎ 解:设f(x)=ax+b(a≠0),由条件得:3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17,∴f(x)=2x+7‎ ‎【例2】求一个一次函数f(x),使得f{f[f(x)]}=8x+7‎ 分析:所求的函数类型已定,是一次函数。‎ 设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=?‎ 解:设f(x)=ax+b(a≠0),依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7‎ ‎∴+b(+a+1)=8x+7,∴f(x)=2x+1‎ ‎【评注:】‎ 待定系数法是一种重要的数学方法,它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。‎ 二 【换元法】(注意新元的取值范围)‎ 已知的表达式,欲求,我们常设,从而求得,然后代入的表达式,从而得到的表达式,即为的表达式。‎ 三【配凑法(整体代换法)】‎ 若已知的表达式,欲求的表达式,用换元法有困难时,(如不存在反函数)可把看成一个整体,把右边变为由组成的式子,再换元求出的式子。‎ ‎【例题】已知f(x-1)= -4x,解方程f(x+1)=0‎ 分析:如何由f(x-1),求出f(x+1)是解答此题的关键 解1:f(x-1)==-2(x-1)-3,∴f(x)=-2x-3‎ f(x+1)=-2(x+1)-3=-4,∴-4=0,x=±2‎ 解2:f(x-1)=-4x,∴f(x+1)=f[(x+2)-1]=-4(x+2)=-4,∴-4=0,x=±2‎ 解3:令x-1=t+1,则x=t+2,∴f(t+1)=-4(t+2)=-4‎ ‎∴f(x+1)=-4,∴-4=0,∴x=±2‎ 评注:只要抓住关键,采用不同方法都可以达到目的。‎ 解法1,采用配凑法;‎ 解法2,根据对应法则采用整体思想实现目的;‎ 解法3,采用换元法,‎ 这些不同的解法共同目的是将f(x-1)的表达式转化为f(x+1)的表达式。‎ ‎【小结:】待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法,其中,待定系数法只适用于已知所求函数类型求其解析式,而换元法与配凑法所依据的数字思想完全相同--整体思想。‎ 四 【消元法】‎ ‎【构造方程组】(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等)‎ 若已知以函数为元的方程形式,若能设法构造另一个方程,组成方程组,再解这个方程组,求出函数元,称这个方法为消元法。‎ 五【赋值法】(特殊值代入法)‎ 在求某些函数的表达式或求某些函数值时,有时把已知条件中的某些变量赋值,使问题简单明了,从而易于求出函数的表达式。‎ 题5.若,且,‎ 求值.‎ 练习5.设是定义在上的函数,且,,求的解析式.‎ 六.利用给定的特性求解析式.‎ 题6.设是偶函数,当x>0时, ,求当x<0时,的表达式.‎ 练习6.对x∈R, 满足,且当x∈[-1,0]时, 求当x∈[9,10]时的表达式.‎ 七.归纳递推法 题7.设,记,求.‎ 八.相关点法 题8.已知函数,当点P(x,y)在y=的图象上运动时,点Q()在y=g(x)的图象上,求函数g(x).‎ 九.构造函数法 题9.若表示x的n次多项式,且当k=0,1,2,…,n时, ,求.‎ 训练例题 ‎(1)已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式。‎ ‎(2)已知f(x+)=x3+,求f(x)的解析式。‎ ‎(3)已知函数f(x)是一次函数,且满足关系式‎3f(x+1)-‎2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式。‎ 分析:此题目中的“f”这种对应法则,需要从题给条件中找出来,这就要有整体思想的应用。即:求出f及其定义域.‎ ‎(1)解法一:【换元法】‎ 设t=+1≥1,则=t-1,∴x=(t-1)2‎ ‎∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1)‎ ‎∴f(x)=x2-1(x≥1)‎ 解法二:【凑配法】由f(+1)=x+2=-1,∴f(x)=-1(x≥1)‎ ‎【评注:】‎ ‎①f(t)与f(x)只是自变量所用字母不同,本质是一样的。‎ ‎②求出函数解析式时,一定要注明定义域,函数定义中包括定义域这一要素。‎ ‎(2)∵x3+=(x+)(x2+-1)=(x+)[(x+)2-3]‎ ‎∴f(x+)=(x+)[(x+)2-3]‎ ‎∴f(x)=x(x2-3)=x3-3x ‎∴当x≠0时,x+≥2或x+≤-2‎ ‎∴f(x)=x3-3x(x≤-2或x≥2)‎ ‎(3)设f(x)=ax+b 则3f(x+1)-‎2f(x-1)=3ax+‎3a+2b+‎2a-2b=ax+b+‎5a=2x+17‎ ‎∴a=2,b=7‎ ‎∴f(x)=2x+7‎ 评述:“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法,以上3个题目分别采用了这三种方法。值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域。‎ ‎(4)已知,求;‎ ‎(5)已知,求;‎ ‎(6)已知是一次函数,且满足,求;‎ ‎(7)已知满足,求.‎ 解:(4)∵,‎ ‎∴(或).‎ ‎(5)令(),则,∴,∴.‎ ‎(6)设,‎ 则,‎ ‎∴,,∴.‎ ‎(7)①, 把①中的换成,得 ②,‎ ‎①②得,∴.‎ 注:第(4)题用配凑法;第(5)题用换元法;第(6)题已知一次函数,可用待定系数法;第(7)题用方程组法.‎ ‎(11)已知函数是定义在上的周期函数,周期,函数是奇函数.又知在上是一次函数,在上是二次函数,且在时函数取得最小值。①证明:;②求的解析式;③求在上的解析式。‎ ‎①证明:∵是以为周期的周期函数,∴,‎ 又∵是奇函数,∴,‎ ‎∴.‎ ‎②解:当时,由题意可设,‎ 由得,∴,‎ ‎∴.‎ ‎③解:∵是奇函数,∴,‎ 又知在上是一次函数,∴可设,而,‎ ‎∴,∴当时,,‎ 从而当时,,故时,‎ ‎∴当时,有,∴.‎ 当时,,∴‎ ‎∴‎