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- 2021-05-14 发布
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函数专题之解析式问题
求函数解析式的方法
把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫函数的解析式,简称解析式。
求函数解析式的题型有:
(1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;
(2)已知求或已知求:换元法、配凑法;
(3)已知函数图像,求函数解析式;
(4)满足某个等式,这个等式除外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法;
(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
一 【待定系数法】(已知函数类型如:一次、二次函数、反比例函数等)
若已知的结构时,可设出含参数的表达式,再根据已知条件,列方程或方程组,从而求出待定的参数,求得的表达式。
【例1】已知函数f(x)是一次函数,且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式。
分析:所求的函数类型已定,是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?,f(x-1)=?
解:设f(x)=ax+b(a≠0),由条件得:3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17,∴f(x)=2x+7
【例2】求一个一次函数f(x),使得f{f[f(x)]}=8x+7
分析:所求的函数类型已定,是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=?
解:设f(x)=ax+b(a≠0),依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7
∴+b(+a+1)=8x+7,∴f(x)=2x+1
【评注:】
待定系数法是一种重要的数学方法,它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。
二 【换元法】(注意新元的取值范围)
已知的表达式,欲求,我们常设,从而求得,然后代入的表达式,从而得到的表达式,即为的表达式。
三【配凑法(整体代换法)】
若已知的表达式,欲求的表达式,用换元法有困难时,(如不存在反函数)可把看成一个整体,把右边变为由组成的式子,再换元求出的式子。
【例题】已知f(x-1)= -4x,解方程f(x+1)=0
分析:如何由f(x-1),求出f(x+1)是解答此题的关键
解1:f(x-1)==-2(x-1)-3,∴f(x)=-2x-3
f(x+1)=-2(x+1)-3=-4,∴-4=0,x=±2
解2:f(x-1)=-4x,∴f(x+1)=f[(x+2)-1]=-4(x+2)=-4,∴-4=0,x=±2
解3:令x-1=t+1,则x=t+2,∴f(t+1)=-4(t+2)=-4
∴f(x+1)=-4,∴-4=0,∴x=±2
评注:只要抓住关键,采用不同方法都可以达到目的。
解法1,采用配凑法;
解法2,根据对应法则采用整体思想实现目的;
解法3,采用换元法,
这些不同的解法共同目的是将f(x-1)的表达式转化为f(x+1)的表达式。
【小结:】待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法,其中,待定系数法只适用于已知所求函数类型求其解析式,而换元法与配凑法所依据的数字思想完全相同--整体思想。
四 【消元法】
【构造方程组】(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等)
若已知以函数为元的方程形式,若能设法构造另一个方程,组成方程组,再解这个方程组,求出函数元,称这个方法为消元法。
五【赋值法】(特殊值代入法)
在求某些函数的表达式或求某些函数值时,有时把已知条件中的某些变量赋值,使问题简单明了,从而易于求出函数的表达式。
题5.若,且,
求值.
练习5.设是定义在上的函数,且,,求的解析式.
六.利用给定的特性求解析式.
题6.设是偶函数,当x>0时, ,求当x<0时,的表达式.
练习6.对x∈R, 满足,且当x∈[-1,0]时, 求当x∈[9,10]时的表达式.
七.归纳递推法
题7.设,记,求.
八.相关点法
题8.已知函数,当点P(x,y)在y=的图象上运动时,点Q()在y=g(x)的图象上,求函数g(x).
九.构造函数法
题9.若表示x的n次多项式,且当k=0,1,2,…,n时, ,求.
训练例题
(1)已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式。
(2)已知f(x+)=x3+,求f(x)的解析式。
(3)已知函数f(x)是一次函数,且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式。
分析:此题目中的“f”这种对应法则,需要从题给条件中找出来,这就要有整体思想的应用。即:求出f及其定义域.
(1)解法一:【换元法】
设t=+1≥1,则=t-1,∴x=(t-1)2
∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1)
∴f(x)=x2-1(x≥1)
解法二:【凑配法】由f(+1)=x+2=-1,∴f(x)=-1(x≥1)
【评注:】
①f(t)与f(x)只是自变量所用字母不同,本质是一样的。
②求出函数解析式时,一定要注明定义域,函数定义中包括定义域这一要素。
(2)∵x3+=(x+)(x2+-1)=(x+)[(x+)2-3]
∴f(x+)=(x+)[(x+)2-3]
∴f(x)=x(x2-3)=x3-3x
∴当x≠0时,x+≥2或x+≤-2
∴f(x)=x3-3x(x≤-2或x≥2)
(3)设f(x)=ax+b
则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+2b+2a-2b=ax+b+5a=2x+17
∴a=2,b=7
∴f(x)=2x+7
评述:“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法,以上3个题目分别采用了这三种方法。值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域。
(4)已知,求;
(5)已知,求;
(6)已知是一次函数,且满足,求;
(7)已知满足,求.
解:(4)∵,
∴(或).
(5)令(),则,∴,∴.
(6)设,
则,
∴,,∴.
(7)①, 把①中的换成,得 ②,
①②得,∴.
注:第(4)题用配凑法;第(5)题用换元法;第(6)题已知一次函数,可用待定系数法;第(7)题用方程组法.
(11)已知函数是定义在上的周期函数,周期,函数是奇函数.又知在上是一次函数,在上是二次函数,且在时函数取得最小值。①证明:;②求的解析式;③求在上的解析式。
①证明:∵是以为周期的周期函数,∴,
又∵是奇函数,∴,
∴.
②解:当时,由题意可设,
由得,∴,
∴.
③解:∵是奇函数,∴,
又知在上是一次函数,∴可设,而,
∴,∴当时,,
从而当时,,故时,
∴当时,有,∴.
当时,,∴
∴