全国高考数学文科试卷江苏卷解析版 10页

2013 年普通高等学校统一考试试题（江苏卷） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 1．函数 的最小正周期为 ． 【答案】π 【解析】T＝| 2π ω |＝| 2π 2 |＝π． 2．设 （ 为虚数单位），则复数 的模为 ． 【答案】5 【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝ ＝5． 3．双曲线 的两条渐近线的方程为 ． 【答案】 【解析】令： ，得 ． 4．集合 共有 个子集． 【答案】8 【解析】23＝8． 5．右图是一个算法的流程图，则输出的 的值是 ． 【答案】3 【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4． 6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环），结果如下： 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ． 【答案】2 【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为： ． 方差为： ． 7．现在某类病毒记作 ，其中正整数 ， （ ， ）可以任意选取，则 都取到奇数的概率为 ． 【答案】 )42sin(3 π+= xy 2)2( iz −= i z 1916 22 =− yx xy 4 3±= 0916 22 =− yx xxy 4 3 16 9 2 ±=±= }1,0,1{− n 905 9288919089 =++++=x 25 )9092()9088()9091()9090()9089( 22222 2 =−+−+−+−+−=S nmYX m n 7≤m 9≤n nm， 63 20 【解析】m 取到奇数的有 1，3，5，7 共 4 种情况；n 取到奇数的有 1，3，5，7，9 共 5 种情况， 则 都取到奇数的概率为 ． 8．如图，在三棱柱 中， 分别是 的中点，设三棱锥 的体积为 ，三棱柱 的体积为 ，则 ． 【答案】1：24 【解析】三棱锥 与三棱锥 的相似比 为 1：2， 故体积之比为 1：8． 又因三棱锥 与三棱柱 的体积之 比为 1： 3．所以，三棱锥 与三棱柱 的体 积 之 比 为 1：24． 9．抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形 区 域 为 (包含三角形内部和边界) ．若点 是区域 内 的 任 意 一点，则 的取值范围是 ． 【答案】[—2， 1 2] 【解析】抛物线 在 处的切线易得为 y＝2x—1，令 z＝ ，y＝— 1 2x＋ z 2． 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点( 1 2，0)时，zmax＝ 1 2． 10．设 分别是 的边 上的点， ， ， 若 （ 为实数），则 的值为 ． 【答案】 1 2 【解析】 所以， ， ， 1 2． 11．已知 是定义在 上的奇函数。当 时， ，则不等式 的解 nm， 63 20 97 54 =× × ABCCBA −111 FED ，， 1AAACAB ，， ADEF − 1V ABCCBA −111 2V =21 :VV ADEF − ABCA −1 ABCA −1 ABCCBA −111 ADEF − ABCCBA −111 2xy = 1=x D ),( yxP D yx 2+ 2xy = 1=x yx 2+ y xO y＝2x—1 y＝— 1 2x ED， ABC∆ BCAB， ABAD 2 1= BCBE 3 2= ACABDE 21 λλ += 21 λλ， 21 λλ + )(3 2 2 1 3 2 2 1 ACBAABBCABBEDBDE ++=+=+= ACABACAB 213 2 6 1 λλ +=+−= 6 1 1 −=λ 3 2 2 =λ =+ 21 λλ )(xf R 0>x xxxf 4)( 2 −= xxf >)( A B C 1A D E F 1B 1C y x l B FO c b a 集用区间表示为 ． 【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞) 【解析】做出 ( )的图像，如下图所示。由于 是定义在 上的奇函数， 利用奇函数图像关于原点对称做出 x＜0 的图像。不等式 ，表示函数 y＝ 的图像在 y ＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。 12．在平面直角坐标系 中，椭圆 的标准方程为 ，右焦点为 ，右准线为 ，短轴的一个端点为 ，设原点到直线 的距离为 ， 到 的距离为 ，若 ，则椭圆 的离心率为 ． 【答案】 【解析】如图，l：x＝ ， ＝ －c＝ ， 由 等 面 积得： ＝ 。若 ，则 ＝ ，整 理得： ，两边同除以： ，得： ， 解 之 得 ： ＝ ， 所以，离心率为： ． 13．在平面直角坐标系 中，设定点 ， 是函数 （ ）图象上一动点， 若点 之间的最短距离为 ，则满足条件的实数 的所有值为 ． 【答案】1 或 xxxf 4)( 2 −= 0>x )(xf R xxf >)( )(xf x y y＝x y＝x2—4 x P(5,5) Q(﹣5, ﹣5) xOy C )0,0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x F l B BF 1d F l 2d 12 6dd = C 3 3 c a 2 2d c a 2 c b2 1d a bc 12 6dd = c b2 6 a bc 066 22 =−− baba 2a 066 2 =+    −     a b a b a b 3 6 3 31e 2 =    −= a b xOy ),( aaA P xy 1= 0>x AP， 22 a 10 【解析】 14．在正项等比数列 中， ， ，则满足 的 最大正整数 的值为 ． 【答案】12 【解析】设正项等比数列 首项为 a1，公比为 q，则： ，得：a1＝ 1 32，q＝ 2，a n ＝2 6 － n ．记 ， ． ，则 ， 化 简 得 ： ， 当 时 ， ．当 n＝12 时， ，当 n＝13 时， ，故 nmax＝12． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分） 已知 ， ． （1）若 ，求证： ； （2）设 ，若 ，求 的值． 解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)， |a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2， 所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0， 所以， ． （2） ，①2＋②2 得：cos(α－β)＝－ 1 2． 所以，α－β＝ ，α＝ ＋β， 带入②得：sin( ＋β)＋sinβ＝ cosβ＋ 1 2sinβ＝sin( ＋β)＝1， 所以， ＋β＝ ． 所以，α＝ ，β＝ ． }{ na 2 1 5 =a 376 =+ aa nn aaaaaa  2121 >+++ n }{ na    =+ = 3)1( 2 1 51 41 qqa qa 521 2 12 −=+++= n nn aaaT  2 )1( 21 2 nn nn aaa − ==∏  nnT ∏> 2 )1( 5 22 12 nnn − >− 5 2 11 2 1 2 212 +−>− nnn 52 11 2 1 2 +−> nnn 122 12113 ≈+=n 1212 ∏>T 1313 ∏−=−=′ xx axaxxf a )(xf ′ )(xf ′ a a a 01)( >−=′ axxf )0( ∞+， axxxf −= ln)( )0( ∞+， a a