全国高考新课标2卷理科数学试题解析版 6页

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．=( ) ‎ A．- - i B．- + i C．- - i D．- + i ‎ 解析：选D ‎2．已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z }，则A中元素的个数为 ( )‎ A．9 B．8 C．5 D．4‎ 解析：选A 问题为确定圆面内整点个数 ‎3．函数f(x)= 的图像大致为 ( )‎ 解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= >1,故选B ‎4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)= ( )‎ A．4 B．3 C．2 D．0‎ 解析：选B a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3‎ ‎5．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为( )‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 解析：选A e= c2=3a2 b=a ‎ ‎6．在ΔABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB= ( )‎ A．4 B． C． D．2 解析：选A cosC=2cos2 -1= - AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32 AB=4 ‎7．为计算S=1- + - +……+ - ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( )‎ A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4‎ 解析：选B ‎8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )‎ ‎ A． B． C． D． 解析：选C 不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个其和为30的为7+23，11+19，13+17，共3种情形，所求概率为P== ‎9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )‎ A． B． C． D． 解析：选C 建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。‎ ‎10．若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数，则a的最大值是( )‎ A． B． C． D．π 解析：选A f(x)= cos(x+),依据f(x)=cosx与f(x)= cos(x+)的图象关系知a的最大值为。‎ ‎11．已知f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数，满足f(1-x)= f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+‎ ‎…+f(50)= ( )‎ A．-50 B．0 C．2 D．50‎ 解析：选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2‎ ‎12．已知F1，F2是椭圆C: ＋＝1（a>b>0）的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，ΔP F1F2为等腰三角形，∠F1F2P=1200，则C的离心率为( )‎ A． B． C． D． 解析：选D AP的方程为y=(x+a),∵ΔP F1F2为等腰三角形 ∴|F2P|=| F1F2|=2c,‎ 过P作PH⊥x轴，则∠PF2H=600, ∴|F2H|=c,|PH|=c, ∴P(2c, c),代入AP方程得4c=a 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________．‎ 解析：y=2x ‎14．若x,y满足约束条件 ,则z=x+y的最大值为__________．‎ 解析：9‎ ‎15．已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0，则sin(α+β)=__________．‎ 解析：- 两式平方相加可得 ‎16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若ΔSAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为__________．‎ 解析：设圆锥底面圆半径为r,依题SA=r, 又SA，SB所成角的正弦值为,则×2r2×=5 ‎ ∴r2=40, S=π×r×r=40 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并求Sn的最小值．‎ 解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3 a1+3d=-15,由a1=-7得d=2. 所以{an}的通项公式为an=2n-9.‎ ‎（2）由（1）得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时, Sn取得最小值,最小值为−16.‎ ‎18．（12分）‎ 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．‎ 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,17）建立模型①：=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,7）建立模型②：=99+17.5t．‎ ‎（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；‎ ‎（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． ‎ 解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =-30.4+13.5×19=226.1 (亿元).‎ 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5 (亿元).‎ ‎（2）利用模型②得到的预测值更可靠.‎ 理由如下：‎ ‎（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠. ‎ ‎（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.‎ 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.‎ ‎19．（12分）‎ 设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．‎ ‎（1）求l的方程；‎ ‎（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．‎ 解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y=k(x-1)(k>0).‎ 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ Δ=16k2+16>0，故x1+x2=.‎ 所以|AB|= x1+x2+2=+2=8 ，解得k=-1（舍去），k=1.‎ 因此l的方程为y=x-1.‎ ‎（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则解得或 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.‎ ‎20．（12分）‎ 如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．‎ ‎（1）证明：PO⊥平面ABC；‎ ‎（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为300，求PC与平面PAM所成角的正弦值．‎ 解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=2.‎ 连结OB.因为AB=BC=AC，所以ΔABC为等腰直角三角形，‎ 且OB⊥AC，OB=AC=2.‎ 由OP2+OB2=PB2知OP⊥OB.‎ 由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.‎ ‎（2）如图，以O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系.‎ 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,2), =(0,0,2)‎ 取平面PAC的法向量=(2,0,0).‎ 设M(a,2-a,0)(0= .由已知得|cos<,n>|=. ‎ ‎∴== 解得a=-4（舍去），a=.‎ 所以n=(- ,,- ).又=(0,2,-2)，所以cos<,n>=.‎ 所以PC与平面PAN所成角的正弦值为.‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数f(x)=ex-ax2．‎ ‎（1）若a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；‎ ‎（2）若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a．‎ ‎【解析】（1）当a=1时，f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0．‎ 设函数g(x) (x2+1)e-x-1，则g′(x)=-(x-1)2e-x．‎ 当x≠1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减．‎ 而g(0)=0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1．‎ ‎（2）设函数h(x)=1-ax 2e-x．‎ f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点．‎ ‎（i）当a≤时，h(x)>0，h(x)没有零点；‎ ‎（ii）当a>0时，h′(x)=ax(x-2) e-x．‎ 当x∈(0,2)时，h′(x)<0；当x∈(2,+∞)时，h′(x)>0．‎ 所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增．‎ 故h(2)=1- 是h(x)在[0,+∞)的最小值． ‎ ‎①若h(2)>0，即a<，h(x)在(0,+∞)没有零点；‎ ‎②若h(2)=0，即a=，h(x)在(0,+∞)只有一个零点；‎ ‎③若h(2)<0，即a>，由于h(0)=1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，‎ 由（1）知，当x>0时，ex=x2，所以h(4a)=1->1-=1- >0‎ 故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,+∞)有两个零点．‎ 综上，f(x)在(0,+∞)只有一个零点时，a=．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）求C和l的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．‎ ‎【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为+=1．‎ 当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y=tanαx+2-tanα，‎ 当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1．‎ ‎（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0．①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0．‎ 又由①得2cosα+sinα=0，，于是直线l的斜率k=tanα=-2．‎ ‎23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数f(x)=5-|x-a|-|x-2|．‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集；‎ ‎（2）若f(x)≤1，求a的取值范围．‎ ‎【解析】（1）当a=1时， 可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}．‎ ‎（2）f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4．‎ 而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且当x=2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a+2|≥4．得a≤-6或aα2，‎ 所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞)．‎