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  • 2021-05-14 发布

北大附中高考数学专题复习数列极限数学归纳法练习

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学科:数学 教学内容:数列、极限、数学归纳法综合能力训练 ‎【综合能力训练】‎ 一、选择题 ‎1.数列{an}是等比数列,下列结论中正确的是( )‎ A. an·an+1 >0 B. an·an+1·an+2>0 ‎ C. an·an+2>0 D. an·an+2·an+4>0‎ ‎2.在等比数列{an}中,a1=secθ (θ为锐角),且前n项和Sn满足Sn=,那么θ的取值范围是( )‎ A.(0,) B.(0,) C.(0,) D.(0,)‎ ‎3.已知数列{an}中,an=(n∈N),则数列{an}的最大项是( )‎ A.第12项 B.第13项 C.第12项或13项 D.不存在 ‎4.三个数成等差数列,如果将最小数乘2,最大数加上7,所得三数之积为1000,且成等比数列,则原等差数列的公差一定是( )‎ A.8 B.8或-15 C.± 8 D.±15‎ ‎5.已知数列{an}:,+,++,…, ++…+,…,那么数列{}的所有项的和为( )‎ A.2 B.4 C.3 D.5‎ ‎6.已知a、b∈R,|a|>|b|,又>,则a的取值范围是( )‎ A. a>1 B.-11 D.a>1或-10,且|a10|<|a11|,Sn为其前n项之和,则( )‎ A. S1,S2,…,S10都小于零,S11,S12,…都大于零 B. S1,S2,…,S5都小于零,S6,S7,…都大于零 C. S1,S2,…,S19都小于零,S20,S21,…都大于零 D. S1,S2,…,S20都小于零,S21,S22,…都大于零 ‎9.将自然数1,2,3,…,n,…按第k组含k 个数的规则分组:(1),(2,3),(4,5,6),…,那么1996所在的组是( )‎ A.第62组 B.第63组 C.第64组 D.第65组 ‎10.在等差数列中,前n项的和为Sn,若Sm=2n,Sn=2m,(m、n∈N且m≠n),则公差d的值为( )‎ A.- B.- C.- D. - ‎11.设数列{an}、{bn}都是公差不为0的等差数列,且=2,则等于( )‎ A.1 B. C. D. ‎12.a、b∈R,且|a|<1,|b|<1,则无穷数列:1,(1+b)a,(1+b+b2)a2,…,(1+b+b2+…+bn-1)an-1…的和为( )‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎13.设zn=()n(n∈ N),记Sn=|z2-z1|+|z3-z2|+…+|zn+1-zn|,则Sn= 。‎ ‎14.在等比数列{an}中,a1=1,|q|≠1,若am=a1·a2·a3·…·a10,则m= 。‎ ‎15.数列{an}是公差为d≠0的等差数列,若a1,a2是方程x2-a3x+a4=0的二根,则通项公式an= 。‎ ‎16.f(x-1)=x+x2+x3+…+xn(x≠0,1),设f(x)中x的系数为Sn,x3的系数为Tn, = 。‎ 三、解答题 ‎17.一个含有7项的数列,它的奇数位置的项顺次成等差数列,偶数位置的项顺次成等比数列,所有奇数位置的项之和减去第2项与第6项之积所得的差是42,又首项、末项、中间项之和为27,求第4项。‎ ‎18.设fn(x)=f{[f…f(x)]…}(n个f), ‎(1)求f2(x),f3(x);‎ ‎(2)猜想fn(x),并证明你的结论。‎ ‎19.已知a>0且a≠1,数列{an}是首项、公比都为a的等比数列,令bn=anlgan(n∈N)。‎ ‎(1)当a=2时,求数列{bn}的前n项之和;‎ ‎(2)当a=时,数列{bn}中从第几项开始每一项总小于它后面的项。‎ ‎20.已知函数f(x)=(n∈N)的最小值为an,最大值为bn,且cn=(1+3anbn)。‎ ‎(1)求数列{cn}的通项公式;‎ ‎(2)求证:-<<2-(n≥2)。‎ ‎21.曲线C:xy=1(x>0)与直线l:y=x相交于A1,作A1B1⊥l交x轴于B1,作B1A2∥l交曲线C于A2…依此类推。‎ ‎(1)求点A1,A2,A3和B1,B2,B3的坐标;‎ ‎(2)猜想An的坐标,并加以证明;‎ ‎(3)。‎ ‎22.设Tn为数列{an}前n项的和,Tn=(an-1)(n∈N)。数列{bn}的通项公式为bn=4n+3(n∈N)。‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若c∈{a1,a2,a3,…,an,…}∩{b1,b2,b3,…,bn…},则c称为数列{an},{bn}的公共项,将数列{an}与{bn}的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{cn}。证明:数列{cn}的通项公式为cn=32n+1(n∈N);‎ ‎(3)设数列{cn}中的第n项是数列{bn}中的第m项,Bm为数列{bn}前m项的和;Dn为数列{cn}前n项的和,且An=Bm-Dn;求:。‎ 参考答案 ‎【综合能力训练】‎ ‎1.C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.C 8.C 9.B 10.A 11.C 12.D 13.1+ 14.46 15.an=2n 16.- ‎17.解 设这7个数为:a1,a2,a3,…,a7,则a1, a3,a5,a7,成等差数列,a2,a4,a6成等比数列,依题意有:‎ 解①、②得:或。‎ ‎18.解 (1)f2(x)= ,f3(x)= ‎(2)fn(x)= ‎19.解 (1)依题有an=an,∴bn=nanlga。‎ ‎∴Sn=(1+2a+3a2+…+nan-1)·alga,可求得Sn=[1-(1+n-na)·an]‎ 当a=2时,Sn=2[1+(n-1)·2n]lg2。‎ ‎(2)令bk+1>bk,(k∈N),则bk+1-bk=(k+1)·()k-1·lg-k·()k·lg=()k·(-k)·lg,∵()k>0,lg<0,而bk+1>bk,∴-k<0。∴k>6,故从第七项开始每一项总比它后面的项小。‎ ‎20.解 (1)整理已知得:(y-1)x2+(y+1)x+(y-n)=0。∴x∈R,∴Δ≥0,即Δ=(y+1)2-4(y-1)(y-n)≥0(y≠1),∴3y2-(4n+6)y+4n-1≤0.‎ 由此知:an,bn就是方程3y2-(4n+6)y+4n-1=0的两个根,由根与系数的关系得:an·bn=(4n-1),∴cn=n2。‎ 当y=1时,x=,∵,其中只是k的一个子集,即不是所有x∈R都满足y=1,∴舍去。‎ ‎(2)先证:>-(n≥2)‎ =>1+ ‎=1+(-)=1+- ‎=-(n≥2)‎ 再用同样方法证:<2-(n≥2)。‎ ‎21.解 (1)A1(1,1),A2(+1,-1),A3(+,-)‎ B1(2,0),B2(2,0),B3(2,0)。‎ ‎(2)An(+,-),证明略。‎ ‎(3)设An(,an),Bn(bn,0)‎ 由图:A1(1,1),B1(2,0) ∵a1=1,b1=2且 ‎∴==,分子分母同乘以(+)‎ ‎(+)及==1‎ ‎22.解 (1)a1=(a1-1),∴a1=3。当n≥2时,an=Tn-Tn-1可求得:=3。∴{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴an=3n。‎ ‎(2)设{an}中的第k项与{bn}中的第r项相同,则:3k=4r+3(k,r∈N),又3k+1=3·3k=3·(4r+3)=4(3r+2)+1,∴ak+1不是{bn}中的项,又∵∴是中的项,且又∵,故知:c1=a3,c2=a5,c3=a7,…,cn=a2n+1∴{cn}的通项公式为:cn=32n+1(n∈N)。‎ ‎(3)由(2)知:32n+1=4m+3, m=(32n-1)。‎ 而Bm==;Dn==;‎ ‎∴An=Bm-Dn= ‎∴==