高考数学理专题目一第二讲函数与方程及函数的应用二轮复习 6页

第二讲　函数与方程及函数的应用 ‎1．如图为4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(　　)‎ A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1‎ B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1‎ C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1‎ D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1‎ ‎2．(2013·宁夏质检)设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－1，0)∪(0，1)‎ B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ C．(－1，0)∪(1，＋∞)‎ D．(－∞，－1)∪(0，1)‎ ‎3．设函数y＝f(x)在R上有意义，对于给定的正数M，定义函数fM(x)＝，则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”．若给定函数f(x)＝2－x2，M＝1，则fM(0)的值为(　　)‎ A．2　　　　　　　　 B．1‎ C. D．－ ‎4．(2013·哈尔滨第一次联合模拟考试)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0)　　　　　　　　 B．(－∞，0)∪(0，1)‎ C．(0，1) D．(0，1)∪(1，＋∞)‎ ‎5．(2012·高考江西卷)‎ 如图所示，|OA|＝2(单位：m)，|OB|＝1(单位：m)，OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧BDC与线段OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB行至点B，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧BDC行至点C后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA行至点A后停止．设t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)＝0)，则函数y＝S(t)的图象大致是(　　)‎ ‎6．函数f(x)＝的零点个数为________．‎ ‎7．(2013·福建省普通高中毕业班质量检测)若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．‎ ‎8．设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M(M⊆D)，有x＋l∈D，且f(x＋l)≥f(x)，则称函数f(x)为M上的l高调函数．现给出下列命题：‎ ‎①函数f(x)＝()x是R上的1高调函数；‎ ‎②函数f(x)＝sin 2x为R上的π高调函数；‎ ‎③如果定义域为[－1，＋∞)的函数f(x)＝x2为[－1，＋∞)上的m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，＋∞)．‎ 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)．‎ ‎9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．‎ ‎(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；‎ ‎(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．‎ ‎10．(2013·昆明质检)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．‎ ‎(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系；‎ ‎(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：‎ 月用水量x(吨)‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ 请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；‎ ‎(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：‎ 月用水量x(吨)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ 据此估计该地“节约用水家庭”的比例．‎ ‎11．(2013·湖南省五市十校高三第一次联合检测)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b，求证：‎ ‎(1)a>0，且－3<<－；‎ ‎(2)函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点；‎ ‎(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则≤|x1－x2|<.‎ 答案：‎ ‎1．【解析】选B.可以根据图象对应寻求函数，故选B.‎ ‎2．【解析】选C.由题意可得或 解得a>1或－10时，f(x)＝1有唯一根，故a·2x＝1在(－∞，0]上无根，当a·2x＝1在(－∞，0]上有根可得a＝≥1，故由a·2x＝1在(－∞，0]上无根可知a<0或00时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2，所以已知函数有两个零点．‎ ‎【答案】2‎ ‎7．【解析】当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以00恒成立，‎ 即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，‎ 所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0，所以02c>2b，∴a>0，b<0.‎ 又2c＝－3a－2b，∴3a>－3a－2b>2b，‎ ‎∵a>0，∴－3<<－.‎ ‎(2)由已知得f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c，‎ ‎①当c>0时，f(0)＝c>0，f(1)＝－<0.‎ ‎∴函数f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点；‎ ‎②当c≤0时，f(1)＝－<0，f(2)＝a－c>0，‎ ‎∴函数f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点．‎ 综上所述，函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．‎ ‎(3)∵x1，x2是函数f(x)的两个零点，‎ ‎∴x1＋x2＝－，x1x2＝＝－－，‎ ‎∴|x1－x2|＝ ‎＝ ＝ ，‎ ‎∵－3<<－，∴≤|x1－x2|<.‎