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  • 2021-05-14 发布

不等式选讲历年高考真题专项突破

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‎《不等式选讲》历年高考真题专项突破 ‎ 整理人:毛锦涛 命题角度1.含有绝对值不等式的解法 ‎1.已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.‎ ‎(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;‎ ‎(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.‎ ‎2.已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎(1)当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;‎ ‎(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.‎ ‎3.设函数f(x)=|x﹣a|+3x,其中a>0.‎ ‎(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集 ‎(Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤﹣1},求a的值.‎ ‎4.已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.‎ ‎(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;‎ ‎(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.‎ ‎5. 已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|.‎ ‎(1)证明:﹣3≤f(x)≤3;‎ ‎(2)求不等式f(x)≥x2﹣8x+15的解集.‎ 命题角度2.含有绝对值的函数的图像与应用 ‎6.已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.‎ ‎(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.‎ ‎7.设函数f(x)=|2x﹣4|+1.‎ ‎(Ⅰ)画出函数y=f(x)的图象:‎ ‎(Ⅱ)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.‎ ‎8. 已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.‎ ‎(Ⅰ)在图中画出y=f(x)的图象;‎ ‎(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.‎ 命题角度3.不等式的证明与最值 ‎9.设函数f(x)=|x+|+|x﹣a|(a>0).‎ ‎(Ⅰ)证明:f(x)≥2;‎ ‎(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.‎ ‎10.若a>0,b>0,且+=.‎ ‎(Ⅰ)求a3+b3的最小值;‎ ‎(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.‎ ‎11.设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:‎ ‎(1)若ab>cd,则+>+;‎ ‎(2)+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.‎ ‎12.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:‎ ‎(Ⅰ)‎ ‎(Ⅱ).‎ ‎13.已知函数f(x)=|x﹣|+|x+|,M为不等式f(x)<2的解集.‎ ‎(Ⅰ)求M;‎ ‎(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.‎ ‎14.设a>0,|x-1|< ,|y-2|< ,求证:|2x+y-4|<a.‎ ‎15. 若函数的最小值为5,则实数a=_______.‎ ‎16.已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4.‎ ‎(1)求a+b+c的值;‎ ‎(2)求a2+b2+c2的最小值.(柯西不等式)‎ ‎ ‎ ‎17.已知关于的不等式的解集为.‎ ‎(I)求实数,的值;‎ ‎(II)求的最大值.(柯西不等式)‎ ‎2017年03月30日小毛的高中数学组卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.解答题(共13小题)‎ ‎1.(2013•新课标Ⅰ)(选修4﹣5:不等式选讲)‎ 已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.‎ ‎(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;‎ ‎(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.‎ 设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则 y=,它的图象如图所示:‎ 结合图象可得,y<0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2).‎ ‎(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)=1+a,不等式化为 1+a≤x+3,故 x≥a﹣2对都成立.‎ 故﹣≥a﹣2,解得 a≤,故a的取值范围为(﹣1,].‎ ‎ ‎ ‎2.(2012•新课标)已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎(1)当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;‎ ‎(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)当a=﹣3时,f(x)≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3,即①,或②,‎ 或③.‎ 解①可得x≤1,解②可得x∈∅,解③可得x≥4.‎ 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}.‎ ‎(2)原命题即f(x)≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1,2]上恒成立,‎ 等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1,2]上恒成立.‎ 故当 1≤x≤2时,﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x的最小值为0,‎ 故a的取值范围为[﹣3,0].‎ ‎ ‎ ‎3.(2011•新课标)设函数f(x)=|x﹣a|+3x,其中a>0.‎ ‎(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集 ‎(Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤﹣1},求a的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为 ‎|x﹣1|≥2.‎ 由此可得x≥3或x≤﹣1.‎ 故不等式f(x)≥3x+2的解集为 ‎{x|x≥3或x≤﹣1}.‎ ‎(Ⅱ)由f(x)≤0得 ‎|x﹣a|+3x≤0‎ 此不等式化为不等式组 或 即或 因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x}‎ 由题设可得﹣=﹣1,故a=2‎ ‎ ‎ ‎4.(2016•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.‎ ‎(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;‎ ‎(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)当a=2时,f(x)=|2x﹣2|+2,‎ ‎∵f(x)≤6,∴|2x﹣2|+2≤6,‎ ‎|2x﹣2|≤4,|x﹣1|≤2,‎ ‎∴﹣2≤x﹣1≤2,‎ 解得﹣1≤x≤3,‎ ‎∴不等式f(x)≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}.‎ ‎(2)∵g(x)=|2x﹣1|,‎ ‎∴f(x)+g(x)=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3,‎ ‎2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3,‎ ‎|x﹣|+|x﹣|≥,‎ 当a≥3时,成立,‎ 当a<3时,|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥>0,‎ ‎∴(a﹣1)2≥(3﹣a)2,‎ 解得2≤a<3,‎ ‎∴a的取值范围是[2,+∞).‎ ‎ ‎ ‎5.(2011•辽宁)选修4﹣5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|.‎ ‎(1)证明:﹣3≤f(x)≤3;‎ ‎(2)求不等式f(x)≥x2﹣8x+15的解集.‎ ‎【解答】解:(1)f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|=.‎ 当2<x<5时,﹣3<2x﹣7<3.‎ 所以﹣3≤f(x)≤3.‎ ‎(2)由(1)可知,‎ 当x≤2时,f(x)≥x2﹣8x+15的解集为空集;‎ 当2<x<5时,f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x<5};‎ 当x≥5时,f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.‎ 综上,不等式f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x≤6}.‎ ‎ ‎ ‎6.(2015•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.‎ ‎(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1,即|x+1|﹣2|x﹣1|>1,‎ 即①,或②,‎ 或③.‎ 解①求得x∈∅,解②求得<x<1,解③求得1≤x<2.‎ 综上可得,原不等式的解集为(,2).‎ ‎(Ⅱ)函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|=,‎ 由此求得f(x)的图象与x轴的交点A (,0),‎ B(2a+1,0),‎ 故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a,a+1),‎ 由△ABC的面积大于6,‎ 可得[2a+1﹣]•(a+1)>6,求得a>2.‎ 故要求的a的范围为(2,+∞).‎ ‎ ‎ ‎7.(2010•新课标)设函数f(x)=|2x﹣4|+1.‎ ‎(Ⅰ)画出函数y=f(x)的图象:‎ ‎(Ⅱ)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由于f(x)=,‎ 函数y=f(x)的图象如图所示.‎ ‎(Ⅱ)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,极小值在点(2,1)‎ 当且仅当a<﹣2或a≥时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点.‎ 故不等式f(x)≤ax的解集非空时,‎ a的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪[,+∞).‎ ‎ ‎ ‎8.(2014•新课标Ⅱ)设函数f(x)=|x+|+|x﹣a|(a>0).‎ ‎(Ⅰ)证明:f(x)≥2;‎ ‎(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:∵a>0,f(x)=|x+|+|x﹣a|≥|(x+)﹣(x﹣a)|=|a+|=a+≥2=2,‎ 故不等式f(x)≥2成立.‎ ‎(Ⅱ)∵f(3)=|3+|+|3﹣a|<5,‎ ‎∴当a>3时,不等式即a+<5,即a2﹣5a+1<0,解得3<a<.‎ 当0<a≤3时,不等式即 6﹣a+<5,即 a2﹣a﹣1>0,求得<a≤3.‎ 综上可得,a的取值范围(,).‎ ‎ ‎ ‎9.(2014•新课标Ⅰ)若a>0,b>0,且+=.‎ ‎(Ⅰ)求a3+b3的最小值;‎ ‎(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且+=,‎ ‎∴=+≥2,∴ab≥2,‎ 当且仅当a=b=时取等号.‎ ‎∵a3+b3 ≥2≥2=4,当且仅当a=b=时取等号,‎ ‎∴a3+b3的最小值为4.‎ ‎(Ⅱ)∵2a+3b≥2=2,当且仅当2a=3b时,取等号.‎ 而由(1)可知,2≥2=4>6,‎ 故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.‎ ‎ ‎ ‎10.(2015•新课标Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:‎ ‎(1)若ab>cd,则+>+;‎ ‎(2)+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.‎ ‎【解答】证明:(1)由于(+)2=a+b+2,‎ ‎(+)2=c+d+2,‎ 由a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,ab>cd,‎ 则>,‎ 即有(+)2>(+)2,‎ 则+>+;‎ ‎(2)①若+>+,则(+)2>(+)2,‎ 即为a+b+2>c+d+2,‎ 由a+b=c+d,则ab>cd,‎ 于是(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab,‎ ‎(c﹣d)2=(c+d)2﹣4cd,‎ 即有(a﹣b)2<(c﹣d)2,即为|a﹣b|<|c﹣d|;‎ ‎②若|a﹣b|<|c﹣d|,则(a﹣b)2<(c﹣d)2,‎ 即有(a+b)2﹣4ab<(c+d)2﹣4cd,‎ 由a+b=c+d,则ab>cd,‎ 则有(+)2>(+)2.‎ 综上可得,+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.‎ ‎ ‎ ‎11.(2013•新课标Ⅱ)【选修4﹣﹣5;不等式选讲】‎ 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:‎ ‎(Ⅰ)‎ ‎(Ⅱ).‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得:‎ a2+b2+c2≥ab+bc+ca,‎ 由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,‎ 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.‎ ‎(Ⅱ)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,‎ 故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.‎ 所以++≥1.‎ ‎ ‎ ‎12.(2016•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=|x﹣|+|x+|,M为不等式f(x)<2的解集.‎ ‎(Ⅰ)求M;‎ ‎(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.‎ ‎【解答】解:(I)当x<时,不等式f(x)<2可化为:﹣x﹣x﹣<2,‎ 解得:x>﹣1,‎ ‎∴﹣1<x<,‎ 当≤x≤时,不等式f(x)<2可化为:﹣x+x+=1<2,‎ 此时不等式恒成立,‎ ‎∴≤x≤,‎ 当x>时,不等式f(x)<2可化为:﹣+x+x+<2,‎ 解得:x<1,‎ ‎∴<x<1,‎ 综上可得:M=(﹣1,1);‎ 证明:(Ⅱ)当a,b∈M时,‎ ‎(a2﹣1)(b2﹣1)>0,‎ 即a2b2+1>a2+b2,‎ 即a2b2+1+2ab>a2+b2+2ab,‎ 即(ab+1)2>(a+b)2,‎ 即|a+b|<|1+ab|.‎ ‎ ‎ ‎13.(2015•福建)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4.‎ ‎(1)求a+b+c的值;‎ ‎(2)求a2+b2+c2的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)因为f(x)=|x+a|+|x﹣b|+c≥|(x+a)﹣(x﹣b)|+c=|a+b|+c,‎ 当且仅当﹣a≤x≤b时,等号成立,‎ 又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,‎ 所以f(x)的最小值为a+b+c,‎ 所以a+b+c=4;‎ ‎(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得,‎ ‎(a2+b2+c2)(4+9+1)≥(•2+•3+c•1)2=(a+b+c)2=16,‎ 即a2+b2+c2≥‎ 当且仅当==,即a=,b=,c=时,等号成立.‎ 所以a2+b2+c2的最小值为.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)f(x)=,‎ 由分段函数的图象画法,可得f(x)的图象,如右:‎ ‎(Ⅱ)由|f(x)|>1,可得 当x≤﹣1时,|x﹣4|>1,解得x>5或x<3,即有x≤﹣1;‎ 当﹣1<x<时,|3x﹣2|>1,解得x>1或x<,‎ 即有﹣1<x<或1<x<;‎ 当x≥时,|4﹣x|>1,解得x>5或x<3,即有x>5或≤x<3.‎ 综上可得,x<或1<x<3或x>5.‎ 则|f(x)|>1的解集为(﹣∞,)∪(1,3)∪(5,+∞).‎ ‎ ‎