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- 2021-05-14 发布
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《不等式选讲》历年高考真题专项突破
整理人:毛锦涛
命题角度1.含有绝对值不等式的解法
1.已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
2.已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2|
(1)当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
3.设函数f(x)=|x﹣a|+3x,其中a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集
(Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤﹣1},求a的值.
4.已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
5. 已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|.
(1)证明:﹣3≤f(x)≤3;
(2)求不等式f(x)≥x2﹣8x+15的解集.
命题角度2.含有绝对值的函数的图像与应用
6.已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
7.设函数f(x)=|2x﹣4|+1.
(Ⅰ)画出函数y=f(x)的图象:
(Ⅱ)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.
8. 已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|.
(Ⅰ)在图中画出y=f(x)的图象;
(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.
命题角度3.不等式的证明与最值
9.设函数f(x)=|x+|+|x﹣a|(a>0).
(Ⅰ)证明:f(x)≥2;
(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.
10.若a>0,b>0,且+=.
(Ⅰ)求a3+b3的最小值;
(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
11.设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(1)若ab>cd,则+>+;
(2)+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
12.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(Ⅰ)
(Ⅱ).
13.已知函数f(x)=|x﹣|+|x+|,M为不等式f(x)<2的解集.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
14.设a>0,|x-1|< ,|y-2|< ,求证:|2x+y-4|<a.
15. 若函数的最小值为5,则实数a=_______.
16.已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4.
(1)求a+b+c的值;
(2)求a2+b2+c2的最小值.(柯西不等式)
17.已知关于的不等式的解集为.
(I)求实数,的值;
(II)求的最大值.(柯西不等式)
2017年03月30日小毛的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共13小题)
1.(2013•新课标Ⅰ)(选修4﹣5:不等式选讲)
已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.
设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则 y=,它的图象如图所示:
结合图象可得,y<0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2).
(Ⅱ)设a>﹣1,且当时,f(x)=1+a,不等式化为 1+a≤x+3,故 x≥a﹣2对都成立.
故﹣≥a﹣2,解得 a≤,故a的取值范围为(﹣1,].
2.(2012•新课标)已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2|
(1)当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
【解答】解:(1)当a=﹣3时,f(x)≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3,即①,或②,
或③.
解①可得x≤1,解②可得x∈∅,解③可得x≥4.
把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}.
(2)原命题即f(x)≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1,2]上恒成立,
等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1,2]上恒成立.
故当 1≤x≤2时,﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x的最小值为0,
故a的取值范围为[﹣3,0].
3.(2011•新课标)设函数f(x)=|x﹣a|+3x,其中a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集
(Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤﹣1},求a的值.
【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为
|x﹣1|≥2.
由此可得x≥3或x≤﹣1.
故不等式f(x)≥3x+2的解集为
{x|x≥3或x≤﹣1}.
(Ⅱ)由f(x)≤0得
|x﹣a|+3x≤0
此不等式化为不等式组
或
即或
因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x}
由题设可得﹣=﹣1,故a=2
4.(2016•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
【解答】解:(1)当a=2时,f(x)=|2x﹣2|+2,
∵f(x)≤6,∴|2x﹣2|+2≤6,
|2x﹣2|≤4,|x﹣1|≤2,
∴﹣2≤x﹣1≤2,
解得﹣1≤x≤3,
∴不等式f(x)≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}.
(2)∵g(x)=|2x﹣1|,
∴f(x)+g(x)=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3,
2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3,
|x﹣|+|x﹣|≥,
当a≥3时,成立,
当a<3时,|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥>0,
∴(a﹣1)2≥(3﹣a)2,
解得2≤a<3,
∴a的取值范围是[2,+∞).
5.(2011•辽宁)选修4﹣5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|.
(1)证明:﹣3≤f(x)≤3;
(2)求不等式f(x)≥x2﹣8x+15的解集.
【解答】解:(1)f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|=.
当2<x<5时,﹣3<2x﹣7<3.
所以﹣3≤f(x)≤3.
(2)由(1)可知,
当x≤2时,f(x)≥x2﹣8x+15的解集为空集;
当2<x<5时,f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x<5};
当x≥5时,f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.
综上,不等式f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x≤6}.
6.(2015•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1,即|x+1|﹣2|x﹣1|>1,
即①,或②,
或③.
解①求得x∈∅,解②求得<x<1,解③求得1≤x<2.
综上可得,原不等式的解集为(,2).
(Ⅱ)函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|=,
由此求得f(x)的图象与x轴的交点A (,0),
B(2a+1,0),
故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a,a+1),
由△ABC的面积大于6,
可得[2a+1﹣]•(a+1)>6,求得a>2.
故要求的a的范围为(2,+∞).
7.(2010•新课标)设函数f(x)=|2x﹣4|+1.
(Ⅰ)画出函数y=f(x)的图象:
(Ⅱ)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)由于f(x)=,
函数y=f(x)的图象如图所示.
(Ⅱ)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,极小值在点(2,1)
当且仅当a<﹣2或a≥时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点.
故不等式f(x)≤ax的解集非空时,
a的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪[,+∞).
8.(2014•新课标Ⅱ)设函数f(x)=|x+|+|x﹣a|(a>0).
(Ⅰ)证明:f(x)≥2;
(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)证明:∵a>0,f(x)=|x+|+|x﹣a|≥|(x+)﹣(x﹣a)|=|a+|=a+≥2=2,
故不等式f(x)≥2成立.
(Ⅱ)∵f(3)=|3+|+|3﹣a|<5,
∴当a>3时,不等式即a+<5,即a2﹣5a+1<0,解得3<a<.
当0<a≤3时,不等式即 6﹣a+<5,即 a2﹣a﹣1>0,求得<a≤3.
综上可得,a的取值范围(,).
9.(2014•新课标Ⅰ)若a>0,b>0,且+=.
(Ⅰ)求a3+b3的最小值;
(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
【解答】解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且+=,
∴=+≥2,∴ab≥2,
当且仅当a=b=时取等号.
∵a3+b3 ≥2≥2=4,当且仅当a=b=时取等号,
∴a3+b3的最小值为4.
(Ⅱ)∵2a+3b≥2=2,当且仅当2a=3b时,取等号.
而由(1)可知,2≥2=4>6,
故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.
10.(2015•新课标Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(1)若ab>cd,则+>+;
(2)+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
【解答】证明:(1)由于(+)2=a+b+2,
(+)2=c+d+2,
由a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,ab>cd,
则>,
即有(+)2>(+)2,
则+>+;
(2)①若+>+,则(+)2>(+)2,
即为a+b+2>c+d+2,
由a+b=c+d,则ab>cd,
于是(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab,
(c﹣d)2=(c+d)2﹣4cd,
即有(a﹣b)2<(c﹣d)2,即为|a﹣b|<|c﹣d|;
②若|a﹣b|<|c﹣d|,则(a﹣b)2<(c﹣d)2,
即有(a+b)2﹣4ab<(c+d)2﹣4cd,
由a+b=c+d,则ab>cd,
则有(+)2>(+)2.
综上可得,+>+是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
11.(2013•新课标Ⅱ)【选修4﹣﹣5;不等式选讲】
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(Ⅰ)
(Ⅱ).
【解答】证明:(Ⅰ)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得:
a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(Ⅱ)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.
所以++≥1.
12.(2016•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=|x﹣|+|x+|,M为不等式f(x)<2的解集.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
【解答】解:(I)当x<时,不等式f(x)<2可化为:﹣x﹣x﹣<2,
解得:x>﹣1,
∴﹣1<x<,
当≤x≤时,不等式f(x)<2可化为:﹣x+x+=1<2,
此时不等式恒成立,
∴≤x≤,
当x>时,不等式f(x)<2可化为:﹣+x+x+<2,
解得:x<1,
∴<x<1,
综上可得:M=(﹣1,1);
证明:(Ⅱ)当a,b∈M时,
(a2﹣1)(b2﹣1)>0,
即a2b2+1>a2+b2,
即a2b2+1+2ab>a2+b2+2ab,
即(ab+1)2>(a+b)2,
即|a+b|<|1+ab|.
13.(2015•福建)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4.
(1)求a+b+c的值;
(2)求a2+b2+c2的最小值.
【解答】解:(1)因为f(x)=|x+a|+|x﹣b|+c≥|(x+a)﹣(x﹣b)|+c=|a+b|+c,
当且仅当﹣a≤x≤b时,等号成立,
又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,
所以f(x)的最小值为a+b+c,
所以a+b+c=4;
(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得,
(a2+b2+c2)(4+9+1)≥(•2+•3+c•1)2=(a+b+c)2=16,
即a2+b2+c2≥
当且仅当==,即a=,b=,c=时,等号成立.
所以a2+b2+c2的最小值为.
【解答】解:(Ⅰ)f(x)=,
由分段函数的图象画法,可得f(x)的图象,如右:
(Ⅱ)由|f(x)|>1,可得
当x≤﹣1时,|x﹣4|>1,解得x>5或x<3,即有x≤﹣1;
当﹣1<x<时,|3x﹣2|>1,解得x>1或x<,
即有﹣1<x<或1<x<;
当x≥时,|4﹣x|>1,解得x>5或x<3,即有x>5或≤x<3.
综上可得,x<或1<x<3或x>5.
则|f(x)|>1的解集为(﹣∞,)∪(1,3)∪(5,+∞).