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- 2021-05-14 发布
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放缩技巧
(高考数学备考资料)
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:
一、裂项放缩
例1.(1)求的值; (2)求证:.
解析:(1)因为,所以
(2)因为,所以
奇巧积累
: (1) (2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10) (11)
(11)
(12)
(13)
(14) (15)
(15)
例2.(1)求证:
(2)求证:
(3)求证:
(4) 求证:
解析:(1)因为,所以
(2)
(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案
(4)首先,所以容易经过裂项得到
再证而由均值不等式知道这是显然成立的,
所以
例3.求证:
解析: 一方面: 因为,所以
另一方面:
当时,,当时,,
当时,,
所以综上有
例4.(2008年全国一卷)设函数.数列满足..设,整数.证明:.
解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列, 故 若存在正整数, 使, 则,
若,则由知,,
因为,于是
例5.已知,求证: .
解析:首先可以证明:
所以要证
只要证:
故只要证,
即等价于,
即等价于 而正是成立的,所以原命题成立.
例6.已知,,求证:.
解析:
所以
从而
例7.已知,,求证:
证明: ,
因为 ,所以
所以
二、函数放缩
例8.求证:.
解析:先构造函数有,从而
cause
所以
例9.求证:(1)
解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案
函数构造形式: ,
例10.求证:
解析:提示:
函数构造形式:
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数,
首先:,从而,
取有,,
所以有,,…,,,相加后可以得到:
另一方面,从而有
取有,,
所以有,所以综上有
例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明
例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案
函数构造形式:(加强命题)
例13.证明:
解析:构造函数,求导,可以得到:
,令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以
例14. 已知证明.
解析: ,
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用和裂项可以得到答案)
放缩思路:
。于是,
即
注:题目所给条件()为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论来放缩:
,
即
例16.(2008年福州市质检)已知函数若
解析:设函数
∴函数)上单调递增,在上单调递减.∴的最小值为,即总有
而
即
令则
例15.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.
(I)求证:函数上是增函数; (II)当;
(III)已知不等式时恒成立,
求证:
解析:(I),所以函数上是增函数
(II)因为上是增函数,所以
两式相加后可以得到
(3)
……
相加后可以得到:
所以
令,有
所以
(方法二)
所以
又,所以
三、分式放缩
姐妹不等式:和
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.
例19. 姐妹不等式:和
也可以表示成为
和
解析: 利用假分数的一个性质可得
即
例20.证明:
解析: 运用两次次分式放缩:
(加1)
(加2)
相乘,可以得到:
所以有
四、分类放缩
例21.求证:
解析:
例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线(≥0)上的点列满足,直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.
(1)证明>>4,; (2)证明有,使得对都有<.
解析:(1) 依题设有:,由得:
,又直线在轴上的截距为满足
显然,对于,有
(2)证明:设,则
设,则当时,
。
所以,取,对都有:
故有<成立。
例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数,若的定义域为[-1,0],值域也为[-1,0].若数列满足,记数列的前项和为,问是否存在正常数A
,使得对于任意正整数都有?并证明你的结论。
解析:首先求出,∵
∴,∵,,…
,故当时,,
因此,对任何常数A,设是不小于A的最小正整数,
则当时,必有.
故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.
例24.(2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,
设内整数坐标点的个数为.设, 当时,求证:.
解析:容易得到,所以,要证只要证,因为,所以原命题得证
五、迭代放缩
例25. 已知,求证:当时,
解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论
例26. 设,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k-Sn|<
解析:
又 所以
六、借助数列递推关系
例27.求证:
解析: 设则
,从而
,相加后就可以得到
所以
例28. 求证:
解析: 设则
,从而
,相加后就可以得到
例29. 若,求证:
解析:
所以就有
七、分类讨论
例30.已知数列的前项和满足证明:对任意的整数,有
解析:容易得到,
由于通项中含有,很难直接放缩,考虑分项讨论:
当且为奇数时
(减项放缩),于是
①当且为偶数时
②当且为奇数时(添项放缩)由①知由①②得证。
八、线性规划型放缩
例31. 设函数.若对一切,,求的最大值。
解析:由知 即
由此再由的单调性可以知道的最小值为,最大值为
因此对一切,的充要条件是, 即,满足约束条件,
由线性规划得,的最大值为5.
九、均值不等式放缩
例32.设求证
解析: 此数列的通项为
,,
即
注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式,若放成则得,就放过“度”了!
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
其中,等的各式及其变式公式均可供选用。
例33.已知函数,若,且在[0,1]上的最小值为,求证:
解析:
例34.已知为正数,且,试证:对每一个,.
解析: 由得,又,故,而,
令,则=,因为,倒序相加得=,
而,
则=,所以,即对每一个,.
例35.求证
解析: 不等式左=,
原结论成立.
例36.已知,求证:
解析:
经过倒序相乘,就可以得到
例37.已知,求证:
解析:
其中:,因为
所以
从而,所以.
例38.若,求证:.
解析:
因为当时,,所以,所以,当且仅当时取到等号.
所以
所以所以
例39.已知,求证:.
解析:.
例40.已知函数f(x)=x2-(-1)k·2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,
求证: [f’(x)]n-2n-1·f’(xn)≥2n(2n-2).
解析: 由已知得,
(1)当n=1时,左式=右式=0.∴不等式成立.
(2), 左式=
令
由倒序相加法得:
,
所以
所以综上,当k是奇数,时,命题成立
例41. (2007年东北三校)已知函数
(1)求函数的最小值,并求最小值小于0时的取值范围;
(2)令求证:
★例42. (2008年江西高考试题)已知函数,.对任意正数,证明:
.
解析:对任意给定的,,由,
若令 ,则 ① ,而 ②
(一)、先证;因为,,,
又由 ,得 .
所以
.
(二)、再证;由①、②式中关于的对称性,不妨设.则
(ⅰ)、当,则,所以,因为 ,
,此时.
(ⅱ)、当③,由①得 ,,,
因为 所以 ④
同理得⑤ ,于是 ⑥
今证明 ⑦, 因为 ,
只要证 ,即 ,也即 ,据③,此为显然.
因此⑦得证.故由⑥得 .
综上所述,对任何正数,皆有.
例43.求证:
解析:一方面:
(法二)
另一方面:
十、二项放缩
,,
例44. 已知证明
解析:
,
即
45.设,求证:数列单调递增且
解析: 引入一个结论:若则(证略)
整理上式得()
以代入()式得
即单调递增。
以代入()式得
此式对一切正整数都成立,即对一切偶数有,又因为数列单调递增,所以对一切正整数有。
注:①上述不等式可加强为简证如下:
利用二项展开式进行部分放缩:
只取前两项有对通项作如下放缩:
故有
②上述数列的极限存在,为无理数;同时是下述试题的背景:已知是正整数,且(1)证明;(2)证明(01年全国卷理科第20题)
简析 对第(2)问:用代替得数列是递减数列;借鉴此结论可有如下简捷证法:数列递减,且故即。
当然,本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文[1]。
例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证:
解析: 因为a+b=1,a>0,b>0,可认为成等差数列,设,
从而
例47.设,求证.
解析: 观察的结构,注意到,展开得
,即,得证.
例48.求证:. 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)
例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数,满足:
①对任意,都有;
②对任意都有.
(I)试证明:为上的单调增函数;
(II)求;
(III)令,试证明:.
解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.
(1)运用抽象函数的性质判断单调性:
因为,所以可以得到,
也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调增函数.
(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!
首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!
由(1)可知,令,则可以得到
,又,所以由不等式可以得到,又
,所以可以得到 ①
接下来要运用迭代的思想:
因为,所以,, ②
,,,
在此比较有技巧的方法就是:
,所以可以判断 ③
当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论.
所以,综合①②③有=
(3)在解决的通项公式时也会遇到困难.
,所以数列的方程为,从而,
一方面,另一方面
所以,所以,综上有
.
例49. 已知函数f(x)的定义域为[0,1],且满足下列条件:
① 对于任意[0,1],总有,且;② 若则有
(Ⅰ)求f(0)的值;(Ⅱ)求证:f(x)≤4;
(Ⅲ)当时,试证明:.
解析: (Ⅰ)解:令,由①对于任意[0,1],总有, ∴
又由②得即 ∴
(Ⅱ)解:任取且设 则
因为,所以,即 ∴.
∴当[0,1]时,.
(Ⅲ)证明:先用数学归纳法证明:
(1) 当n=1时,,不等式成立;
(2) 假设当n=k时,
由
得
即当n=k+1时,不等式成立
由(1)、(2)可知,不等式对一切正整数都成立.
于是,当时,,
而[0,1],单调递增 ∴ 所以,
例50. 已知: 求证:
解析:构造对偶式:令
则=
又 (
十一、积分放缩
利用定积分的保号性比大小
保号性是指,定义在上的可积函数,则.
例51.求证:.
解析: ,∵,
时,,, ∴,.
利用定积分估计和式的上下界
定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积,现在用它来估计小矩形的面积和.
例52. 求证:,.
解析: 考虑函数在区间上的定积分.
如图,显然-①
对求和,
.
例53. 已知.求证:.
解析:考虑函数在区间上的定积分.
∵-②
∴.
例54. (2003年全国高考江苏卷)设,如图,已知直线及曲线:,上的点的横坐标为().从上的点作直线平行于轴,交直线于点,再从点作直线平行于轴,交曲线于点.的横坐标构成数列.
(Ⅰ)试求与的关系,并求的通项公式;
(Ⅱ)当时,证明;
(Ⅲ)当时,证明.
解析:(过程略).
证明(II):由知,∵,∴.
∵当时,,
∴.
证明(Ⅲ):由知.
∴恰表示阴影部分面积,
显然 ④
∴.
奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明,如:
①;
②;
③;
④.
十二、部分放缩(尾式放缩)
例55.求证:
解析:
例56. 设求证:
解析:
又(只将其中一个变成,进行部分放缩),,
于是
例57.设数列满足,当时
证明对所有 有;
解析: 用数学归纳法:当时显然成立,假设当时成立即,则当时
,成立。
利用上述部分放缩的结论来放缩通项,可得
注:上述证明用到部分放缩,当然根据不等式的性质也可以整体放缩:;证明就直接使用了部分放缩的结论
十三、三角不等式的放缩
例58.求证:.
解析:(i)当时,
(ii)当时,构造单位圆,如图所示:
因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积
所以可以得到
当时
所以当时有
(iii)当时, ,由(ii)可知:
所以综上有
十四、使用加强命题法证明不等式
(i)同侧加强
对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成.
例59.求证:对一切,都有.
解析:
从而
当然本题还可以使用其他方法,如:
所以.
(ii)异侧加强(数学归纳法)
(iii)双向加强
有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:
欲证明,只要证明:.
例60.已知数列满足:,求证:
解析: ,从而,所以有
,所以
又,所以,所以有
所以
所以综上有
引申:已知数列满足:,求证: .
解析:由上可知,又,所以
从而
又当时,,所以综上有.
同题引申: (2008年浙江高考试题)已知数列,,,.
记,.求证:当时.
(1); (2); ★(3).
解析:(1),猜想,下面用数学归纳法证明:
(i)当时,,结论成立;
(ii)假设当时,,则时,
从而,所以
所以综上有,故
(2)因为则,,…, ,相加后可以得到: ,所以
,所以
(3)因为,从而,有,所以有
,从而
,所以
,所以
所以综上有.
例61.(2008年陕西省高考试题)已知数列的首项,,.
(1)证明:对任意的,,;
(2)证明:.
解析:(1)依题,容易得到,要证,,,
即证
即证,设所以即证明
从而,即,这是显然成立的.
所以综上有对任意的,,
(法二)
,原不等式成立.
(2)由(1)知,对任意的,有
.
取,
则.
原不等式成立.
十四、经典题目方法探究
探究1.(2008年福建省高考)已知函数.若在区间上的最小值为,
令.求证:.
证明:首先:可以得到.先证明
(方法一) 所以
(方法二)因为,相乘得:
,从而.
(方法三)设A=,B=,因为A1, 求 a的取值范围.
解析:函数f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为.
(ⅰ) 当0< a≤2时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时a满足要求.
(ⅱ) 当a>2时, f (x) 在区间 (-,)为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取, 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时a不满足要求.
(ⅲ) 当a≤0时, 对于任意x∈(0, 1) 恒有
≥, 这时a满足要求.
综上可知, 所求 a的取值范围为 a≤2.