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  • 2021-05-14 发布

北京高考文科数学试题及答案完美版

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‎2014年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(文)(北京卷)‎ 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1)若集合,,则( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(2)下列函数中,定义域是且为增函数的是( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(3)已知向量,,则( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(4)执行如图所示的程序框图,输出的值为( )‎ ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D)‎ ‎(5)设、是实数,则“”是“”的( )‎ ‎(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件 ‎ (C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件 (6) 已知函数,在下列区间中,包含零点的区间是( ) ‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(7)已知圆和两点,,‎ 若圆上存在点,使得,则的最大值为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率与加工时间(单位:分钟)满足的函数关系(、、是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )‎ ‎ (A)分钟 (B)分钟 ‎ ‎(C)分钟 (D)分钟 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎(9)若,则 .‎ ‎(10)设双曲线的两个焦点为,,一个顶点式,则的方程为 .‎ ‎(11)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长为 .‎ ‎(12)在中,,,,则 ; .‎ ‎(13)若、满足,则的最小值为 .‎ ‎(14)顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务,每件颜料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:‎ ‎ 工序 ‎ 时间 原料 粗加工 精加工 原料 原料 则最短交货期为 工作日.‎ 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤。‎ ‎(15)(本小题13分)‎ 已知是等差数列,满足,,数列满足,, 且为 等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列和的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前项和.‎ ‎(16)(本小题13分)‎ 函数的部分图象如图所示.‎ ‎(Ⅰ)写出的最小正周期及图中、的值;‎ ‎(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎(17)(本小题14分)‎ 如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,,,‎ ‎、分别为、的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面;‎ ‎(Ⅲ)求三棱锥的体积.‎ ‎(18)(本小题14分)‎ 从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:‎ 组号 分组 频数 ‎1‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎17‎ ‎4‎ ‎22‎ ‎5‎ ‎25‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎2‎ 合计 ‎100‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;‎ ‎(Ⅱ)求频率分布直方图中的a,b的值;‎ ‎(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)‎ ‎(19)(本小题14分)‎ 已知椭圆C:.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设O为原点,若点A在直线,点B在椭圆C上,且,求线段AB长度的最小值.‎ ‎(20)(本小题13分)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求在区间上的最大值;‎ ‎(Ⅱ)若过点存在3条直线与曲线相切,求t的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)问过点分别存在几条直线与曲线相切?(只需写出结论)‎ ‎2014年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(文)(北京卷)答案及解析 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1)若集合,,则( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,所以选C.‎ ‎【考点】本小题主要考查集合的基本运算,属容易题,熟练集合的基础知识是解答集合题目的关键.‎ ‎(2)下列函数中,定义域是且为增函数的是( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于选项A,在R上是减函数;选项C的定义域为;选项D,在上是减函数,故选B.‎ ‎【考点】本小题主要考查函数的单调性,属基础题,难度不大.‎ ‎(3)已知向量,,则( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为,所以,故选A.‎ ‎【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算,属容易题 ‎(4)执行如图所示的程序框图,输出的值为( )‎ ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】当k=0时,;当k=1时,;‎ 当k=2时,;当k=3时,输出,故选C.‎ ‎【考点】本小题主要考查程序框图的基础知识,难度不大,程序框图是高考新增内容,是高考的重点知识,熟练本部分的基础知识是解答的关键.‎ ‎(5)设、是实数,则“”是“”的( )‎ ‎(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件 ‎ (C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】若,则,故不充分;‎ ‎ 若,则,而,故不必要,故选D.‎ ‎【考点】本小题主要考查不等式的性质,熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.‎ ‎(6)已知函数,在下列区间中,包含零点的区间是( ) (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,所以由根的存在性定理可知,选C.‎ ‎【考点】本小题主要考查函数的零点知识,正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.‎ ‎(7)已知圆和两点,,‎ 若圆上存在点,使得,则的最大值为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知,点P在以原点(0,0)为圆心,以m为半径的圆上,又因为点P在已知圆上,所以只要两个圆有交点即可,所以,故选B.‎ ‎【考点】本小题主要考查两圆的位置关系,考查数形结合思想,考查分析问题与解决问题的能力.‎ ‎(8)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下,可食用率与加工时间(单位:分钟)满足的函数关系(、、是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )‎ ‎ (A)分钟 (B)分钟 ‎ ‎(C)分钟 (D)分钟 ‎【答案】B ‎【解析】由图形可知,三点都在函数的图象上,‎ 所以,解得.‎ 所以,当=时,p取最大值,故选B.‎ ‎【考点】本小题以实际应用为背景,主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识,考查同学们分析问题与解决问题的能力.‎ 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎(9)若,则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题意知:,所以由复数相等的定义知 ‎【考点】本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算,难度不大,复数是高考的重点,年年必考,熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键.‎ ‎(10)设双曲线的两个焦点为,,一个顶点式,则的方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知:,所以,又因为双曲线的焦点在x轴上,所以C的方程为.‎ ‎【考点】本小题驻澳考查双曲线方程的求解、的关系式,考查分析问题与解决问题的能力.‎ ‎(11)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三视图可知:该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥,底面为边长为2的等边三角形,棱锥的高为2,所以最长的棱长为.‎ ‎【考点】本小题主要考查立体几何的三视图,考查同学们的空间想象能力,考查分析问题与解决问题的能力.‎ ‎(12)在中,,,,则 ; .‎ ‎【答案】2,‎ ‎【解析】由余弦定理得:,故;因为,所以.‎ ‎【考点】本小题主要考查解三角形的知识,考查正弦定理,三角函数的基本关系式等基础止水,属中低档题目.‎ ‎(13)若、满足,则的最小值为 .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知区域为三角形,平移直线可得,当直线经过两条直线与的交点(0,1)时,z取得最小值1.‎ ‎【考点】本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题,正确画图与平移直线是解答这类问题的关键.‎ ‎(14)顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务,每件颜料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:‎ ‎ 工序 ‎ 时间 原料 粗加工 精加工 原料 原料 则最短交货期为 工作日.‎ ‎【答案】42‎ ‎【解析】因为第一件进行粗加工时,工艺师什么都不能做,所以最短交货期为天.‎ ‎【考点】本小题以实际问题为背景,主要考查逻辑思维能力,考查分析问题与解决问题的能力.‎ 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤。‎ ‎(15)(本小题13分)‎ 已知是等差数列,满足,,数列满足,, 且为 等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列和的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前项和.‎ ‎(15)(共13分)‎ 解:(Ⅰ) 设等差数列的公差为,由题意得 所以.‎ 设等比数列的公比为,‎ 由题意得,解得.‎ 所以.‎ 从而 ‎(Ⅱ)由⑴知.‎ 数列的前项和为,数列的前项和为.‎ 所以,数列的前项和为.‎ ‎(16)(本小题13分)‎ 函数的部分图象如图所示.‎ ‎(Ⅰ)写出的最小正周期及图中、的值;‎ ‎(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎ (16)(共13分)‎ 解:(Ⅰ) 的最小正周期为 ‎.‎ ‎(Ⅱ) 因为,所以.‎ 于是当,即时,取得最大值0;‎ 当,即时,取得最小值.‎ ‎(17)(本小题14分)‎ 如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,,,‎ ‎、分别为、的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面;‎ ‎(Ⅲ)求三棱锥的体积.‎ ‎(17)(共14分)‎ 解:(Ⅰ)在三棱柱中,底面.‎ 所以.‎ 又因为.‎ 所以平面.‎ 所以平面平面.‎ ‎(Ⅱ)取中点,连结,.‎ 因为,分别是,的中点,‎ 所以,且.‎ 因为,且,‎ 所以,且.‎ 所以四边形为平行四边形.‎ 所以.‎ 又因为平面,平面,‎ 所以平面.‎ ‎(Ⅲ)因为,,,‎ 所以.‎ 所以三棱锥的体积 ‎.‎ ‎(18)(本小题14分)‎ 从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:‎ 组号 分组 频数 ‎1‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎17‎ ‎4‎ ‎22‎ ‎5‎ ‎25‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎2‎ 合计 ‎100‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;‎ ‎(Ⅱ)求频率分布直方图中的a,b的值;‎ ‎(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)‎ ‎(18)(共13分)‎ 解:(Ⅰ)根据频数分布表,100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有名,所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是 ‎.‎ 从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于12小时的概率为.‎ ‎(Ⅱ)课外阅读时间落在组的有17人,频率为,所以 ‎.‎ 课外阅读时间落在组的有25人,频率为,‎ 所以.‎ ‎(Ⅲ)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.‎ ‎(19)(本小题14分)‎ 已知椭圆C:.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设O为原点,若点A在直线,点B在椭圆C上,且,求线段AB长度的最小值.‎ ‎(19)(共14分)‎ 解:(Ⅰ)由题意,椭圆的标准方程为.‎ 所以,,从而.‎ 因此,.故椭圆的离心率.‎ ‎(Ⅱ)设点,的坐标分别为,,其中.‎ 因为,‎ 所以,‎ 即,解得.‎ 又,所以 ‎.‎ 因为,且当时等号成立,所以.‎ 故线段长度的最小值为.‎ ‎(20)(本小题13分)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求在区间上的最大值;‎ ‎(Ⅱ)若过点存在3条直线与曲线相切,求t的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)问过点分别存在几条直线与曲线相切?(只需写出结论)‎ ‎(20)(共13分)‎ 解:(Ⅰ) 由得.‎ 令,得或.‎ 因为,, ‎ 所以 在区间上的最大值为 .‎ ‎(Ⅱ) 设过点的直线与曲线相切于点 ‎ 则且切线斜率为 ‎ 所以切线方程为,‎ 因此 .‎ 整理得.‎ 设 ‎ 则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”.‎ ‎.‎ 与的情况如下:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎ 所以,是的极大值,是的极小值.‎ 当,即时,此时在区间和上分别至多有1个零点,所以 至多有2个零点.‎ 当,即时,此时在区间和上分别至多有1个零点,所以 至多有2个零点.‎ 当且,即时,因为,所以 分别在区间,和上恰有个零点.由于在区间和上单调,所以分别在区间和上恰有1个零点.‎ 综上可知,当过点存在条直线与曲线相切时,的取值范围是 .‎ ‎(Ⅲ) 过点 存在条直线与曲线相切;‎ 过点 存在条直线与曲线相切;‎ 过点 存在条直线与曲线相切.:‎