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- 2021-05-14 发布
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2014年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(文)(北京卷)
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)若集合,,则( )
(A) (B) (C) (D)
(2)下列函数中,定义域是且为增函数的是( )
(A) (B) (C) (D)
(3)已知向量,,则( )
(A) (B) (C) (D)
(4)执行如图所示的程序框图,输出的值为( )
(A) (B)
(C) (D)
(5)设、是实数,则“”是“”的( )
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件
(6) 已知函数,在下列区间中,包含零点的区间是( )
(A) (B) (C) (D)
(7)已知圆和两点,,
若圆上存在点,使得,则的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
(8)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率与加工时间(单位:分钟)满足的函数关系(、、是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )
(A)分钟 (B)分钟
(C)分钟 (D)分钟
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)若,则 .
(10)设双曲线的两个焦点为,,一个顶点式,则的方程为 .
(11)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长为 .
(12)在中,,,,则 ; .
(13)若、满足,则的最小值为 .
(14)顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务,每件颜料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:
工序
时间
原料
粗加工
精加工
原料
原料
则最短交货期为 工作日.
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤。
(15)(本小题13分)
已知是等差数列,满足,,数列满足,, 且为
等比数列.
(Ⅰ)求数列和的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和.
(16)(本小题13分)
函数的部分图象如图所示.
(Ⅰ)写出的最小正周期及图中、的值;
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.
(17)(本小题14分)
如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,,,
、分别为、的中点.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
(18)(本小题14分)
从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:
组号
分组
频数
1
6
2
8
3
17
4
22
5
25
6
12
7
6
8
2
9
2
合计
100
(Ⅰ)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;
(Ⅱ)求频率分布直方图中的a,b的值;
(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)
(19)(本小题14分)
已知椭圆C:.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率;
(Ⅱ)设O为原点,若点A在直线,点B在椭圆C上,且,求线段AB长度的最小值.
(20)(本小题13分)已知函数.
(Ⅰ)求在区间上的最大值;
(Ⅱ)若过点存在3条直线与曲线相切,求t的取值范围;
(Ⅲ)问过点分别存在几条直线与曲线相切?(只需写出结论)
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(文)(北京卷)答案及解析
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)若集合,,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】因为,所以选C.
【考点】本小题主要考查集合的基本运算,属容易题,熟练集合的基础知识是解答集合题目的关键.
(2)下列函数中,定义域是且为增函数的是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】对于选项A,在R上是减函数;选项C的定义域为;选项D,在上是减函数,故选B.
【考点】本小题主要考查函数的单调性,属基础题,难度不大.
(3)已知向量,,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】因为,所以,故选A.
【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算,属容易题
(4)执行如图所示的程序框图,输出的值为( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】当k=0时,;当k=1时,;
当k=2时,;当k=3时,输出,故选C.
【考点】本小题主要考查程序框图的基础知识,难度不大,程序框图是高考新增内容,是高考的重点知识,熟练本部分的基础知识是解答的关键.
(5)设、是实数,则“”是“”的( )
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件
【答案】D
【解析】若,则,故不充分;
若,则,而,故不必要,故选D.
【考点】本小题主要考查不等式的性质,熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.
(6)已知函数,在下列区间中,包含零点的区间是( ) (A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】因为,所以由根的存在性定理可知,选C.
【考点】本小题主要考查函数的零点知识,正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
(7)已知圆和两点,,
若圆上存在点,使得,则的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】由题意知,点P在以原点(0,0)为圆心,以m为半径的圆上,又因为点P在已知圆上,所以只要两个圆有交点即可,所以,故选B.
【考点】本小题主要考查两圆的位置关系,考查数形结合思想,考查分析问题与解决问题的能力.
(8)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下,可食用率与加工时间(单位:分钟)满足的函数关系(、、是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )
(A)分钟 (B)分钟
(C)分钟 (D)分钟
【答案】B
【解析】由图形可知,三点都在函数的图象上,
所以,解得.
所以,当=时,p取最大值,故选B.
【考点】本小题以实际应用为背景,主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识,考查同学们分析问题与解决问题的能力.
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)若,则 .
【答案】2
【解析】由题意知:,所以由复数相等的定义知
【考点】本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算,难度不大,复数是高考的重点,年年必考,熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键.
(10)设双曲线的两个焦点为,,一个顶点式,则的方程为 .
【答案】
【解析】由题意知:,所以,又因为双曲线的焦点在x轴上,所以C的方程为.
【考点】本小题驻澳考查双曲线方程的求解、的关系式,考查分析问题与解决问题的能力.
(11)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长为 .
【答案】
【解析】由三视图可知:该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥,底面为边长为2的等边三角形,棱锥的高为2,所以最长的棱长为.
【考点】本小题主要考查立体几何的三视图,考查同学们的空间想象能力,考查分析问题与解决问题的能力.
(12)在中,,,,则 ; .
【答案】2,
【解析】由余弦定理得:,故;因为,所以.
【考点】本小题主要考查解三角形的知识,考查正弦定理,三角函数的基本关系式等基础止水,属中低档题目.
(13)若、满足,则的最小值为 .
【答案】1
【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知区域为三角形,平移直线可得,当直线经过两条直线与的交点(0,1)时,z取得最小值1.
【考点】本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题,正确画图与平移直线是解答这类问题的关键.
(14)顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务,每件颜料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:
工序
时间
原料
粗加工
精加工
原料
原料
则最短交货期为 工作日.
【答案】42
【解析】因为第一件进行粗加工时,工艺师什么都不能做,所以最短交货期为天.
【考点】本小题以实际问题为背景,主要考查逻辑思维能力,考查分析问题与解决问题的能力.
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤。
(15)(本小题13分)
已知是等差数列,满足,,数列满足,, 且为
等比数列.
(Ⅰ)求数列和的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和.
(15)(共13分)
解:(Ⅰ) 设等差数列的公差为,由题意得
所以.
设等比数列的公比为,
由题意得,解得.
所以.
从而
(Ⅱ)由⑴知.
数列的前项和为,数列的前项和为.
所以,数列的前项和为.
(16)(本小题13分)
函数的部分图象如图所示.
(Ⅰ)写出的最小正周期及图中、的值;
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.
(16)(共13分)
解:(Ⅰ) 的最小正周期为
.
(Ⅱ) 因为,所以.
于是当,即时,取得最大值0;
当,即时,取得最小值.
(17)(本小题14分)
如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,,,
、分别为、的中点.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
(17)(共14分)
解:(Ⅰ)在三棱柱中,底面.
所以.
又因为.
所以平面.
所以平面平面.
(Ⅱ)取中点,连结,.
因为,分别是,的中点,
所以,且.
因为,且,
所以,且.
所以四边形为平行四边形.
所以.
又因为平面,平面,
所以平面.
(Ⅲ)因为,,,
所以.
所以三棱锥的体积
.
(18)(本小题14分)
从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:
组号
分组
频数
1
6
2
8
3
17
4
22
5
25
6
12
7
6
8
2
9
2
合计
100
(Ⅰ)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;
(Ⅱ)求频率分布直方图中的a,b的值;
(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)
(18)(共13分)
解:(Ⅰ)根据频数分布表,100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有名,所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是
.
从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于12小时的概率为.
(Ⅱ)课外阅读时间落在组的有17人,频率为,所以
.
课外阅读时间落在组的有25人,频率为,
所以.
(Ⅲ)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.
(19)(本小题14分)
已知椭圆C:.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率;
(Ⅱ)设O为原点,若点A在直线,点B在椭圆C上,且,求线段AB长度的最小值.
(19)(共14分)
解:(Ⅰ)由题意,椭圆的标准方程为.
所以,,从而.
因此,.故椭圆的离心率.
(Ⅱ)设点,的坐标分别为,,其中.
因为,
所以,
即,解得.
又,所以
.
因为,且当时等号成立,所以.
故线段长度的最小值为.
(20)(本小题13分)已知函数.
(Ⅰ)求在区间上的最大值;
(Ⅱ)若过点存在3条直线与曲线相切,求t的取值范围;
(Ⅲ)问过点分别存在几条直线与曲线相切?(只需写出结论)
(20)(共13分)
解:(Ⅰ) 由得.
令,得或.
因为,,
所以 在区间上的最大值为 .
(Ⅱ) 设过点的直线与曲线相切于点
则且切线斜率为
所以切线方程为,
因此 .
整理得.
设
则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”.
.
与的情况如下:
0
1
0
0
↗
↘
↗
所以,是的极大值,是的极小值.
当,即时,此时在区间和上分别至多有1个零点,所以 至多有2个零点.
当,即时,此时在区间和上分别至多有1个零点,所以 至多有2个零点.
当且,即时,因为,所以 分别在区间,和上恰有个零点.由于在区间和上单调,所以分别在区间和上恰有1个零点.
综上可知,当过点存在条直线与曲线相切时,的取值范围是 .
(Ⅲ) 过点 存在条直线与曲线相切;
过点 存在条直线与曲线相切;
过点 存在条直线与曲线相切.: