高考试题——数学理辽宁卷解析版 10页

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2021-05-14 发布

高考试题——数学理辽宁卷解析版

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‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）‎ 数学（理工农医类）‎ 一- 选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎（1）已知集合M={x|－30,V=S－T ‎ (B) A<0,V=S－T ‎ (C) A>0, V=S+T w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（D）A<0, V=S+T ‎【解析】月总收入为S,因此A＞0时归入S,判断框内填A＞0‎ ‎ 支出T为负数,因此月盈利V＝S＋T ‎【答案】C ‎（11）正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为 ‎（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2‎ ‎【解析】由于G是PB的中点,故P－GAC的体积等于B－GAC的体积 A B C D E F H ‎ 在底面正六边形ABCDER中 ‎ BH＝ABtan30°＝AB ‎ 而BD＝AB ‎ 故DH＝2BH ‎ 于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC ‎【答案】C ‎（12）若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝‎ ‎（A） (B)3 (C) (D)4‎ ‎【解析】由题意 ①‎ ‎ ②‎ ‎ 所以,‎ ‎ 即2‎ ‎ 令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)‎ ‎ ∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2 于是2x1＝7－2x2‎ ‎【答案】C ‎（13）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h.‎ ‎【解析】＝1013‎ ‎【答案】1013‎ ‎（14）等差数列的前项和为，且则 ‎ ‎【解析】∵Sn＝na1＋n(n－1)d ‎ ∴S5＝‎5a1＋10d,S3＝‎3a1＋3d ‎ ∴6S5－5S3＝‎30a1＋60d－(‎15a1＋15d)＝‎15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝‎15a4‎ ‎【答案】‎ ‎（15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 则该几何体的体积为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,‎ ‎ 体积等于×2×4×3＝4‎ ‎【答案】4‎ ‎（16）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为。‎ ‎【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),‎ ‎ 于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝‎2a＝4‎ ‎ 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5‎ ‎ 两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.‎ ‎【答案】9‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=‎0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到‎0.01km，1.414，2.449）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(17)解:‎ 在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,‎ 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，‎ 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， ……5分在△ABC中，‎ 即AB=‎ 因此，BD=‎ 故B，D的距离约为‎0.33km。 ……12分 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。‎ ‎（I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；‎ ‎（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（18）（I）解法一：‎ 取CD的中点G，连接MG，NG。‎ 设正方形ABCD，DCEF的边长为2， ‎ 则MG⊥CD，MG=2，NG=.‎ 因为平面ABCD⊥平面DCED，‎ 所以MG⊥平面DCEF，‎ 可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=，所以sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值 ……6分解法二：‎ ‎ 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.‎ 则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(－1,1,2). ‎ 又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，‎ 可得cos(,)=· ‎ 所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为 cos· ……6分 ‎(Ⅱ)假设直线ME与BN共面， ……8分则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。‎ 又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，‎ 所以AB//EN。‎ 又AB//CD//EF，‎ 所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。‎ 所以ME与BN不共面，它们是异面直线. ……12分 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。‎ ‎（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；‎ ‎（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（19）解：‎ ‎（Ⅰ）依题意X的分列为 ‎ ‎ ‎ ………………6分 ‎（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.‎ ‎ B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.‎ 依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，‎ ‎,‎ 所求的概率为 ‎ ‎ ‎ ………12分 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知，椭圆C过点A，两个焦点为（－1，0），（1，0）。‎ （1）求椭圆C的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ （2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。‎ ‎（20）解：‎ ‎（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）‎ 所以椭圆方程为。 ……………4分 ‎（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得 ‎ 设,,因为点在椭圆上，所以 ‎ ‎ ‎ ………8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为。 ……12分 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。‎ ‎（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。‎ ‎(21)解：(1)的定义域为。‎ ‎2分 ‎（i）若即,则故在单调增加。‎ ‎(ii)若,而,故,则当时，;‎ 当及时，‎ 故在单调减少，在单调增加。‎ ‎(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.‎ ‎(II)考虑函数 ‎ 则由于1

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