圆锥曲线高考真题专练含答案 56页

‎2018年数学全国1卷 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.‎ ‎（1）当与轴垂直时，求直线的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，证明：.‎ 解：（1）由已知得，l的方程为x=1.‎ 由已知可得，点A的坐标为或.‎ 所以AM的方程为或.‎ ‎（2）当l与x轴重合时，.‎ 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.‎ 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，‎ 则，直线MA，MB的斜率之和为.‎ 由得 ‎.‎ 将代入得 ‎.‎ 所以，.‎ 则.‎ 从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.‎ 综上，.‎ 已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.‎ 解：‎ ‎（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.‎ 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.‎ 因此，解得.‎ 故C的方程为.‎ ‎（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，‎ 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.‎ 则，得，不符合题设.‎ 从而可设l：（）.将代入得 由题设可知.‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.‎ 而 ‎.‎ 由题设，故.‎ 即.‎ 解得.‎ 当且仅当时，，欲使l：，即，‎ 所以l过定点（2，）‎ ‎2016年数学全国1卷 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；‎ ‎（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.‎ ‎【答案】（I）（）；（II）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）利用椭圆定义求方程；（II）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值。‎ 试题解析：（I）因为，，故，‎ 所以，故.‎ 又圆的标准方程为，从而，所以.‎ 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：‎ ‎（）.‎ ‎（II）当与轴不垂直时，设的方程为，，.‎ 由得.‎ 则，.‎ 所以.‎ 过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以 ‎.故四边形的面积 ‎.‎ 可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.‎ 当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.‎ 综上，四边形面积的取值范围为.‎ ‎2013年数学全国1卷 已知圆:,圆:,动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 C.‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. ‎ ‎【解析】由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为(1,0),半径=3.‎ 设动圆的圆心为（，），半径为R.‎ ‎（Ⅰ）∵圆与圆外切且与圆内切，∴|PM|+|PN|===4，‎ 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为.‎ ‎（Ⅱ）对于曲线C上任意一点（，），由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2,‎ 当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.‎ ‎∴当圆P的半径最长时，其方程为，‎ 当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=.‎ 当的倾斜角不为时，由≠R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则=，可求得Q（-4，0），∴设：，由于圆M相切得，解得.‎ 当=时，将代入并整理得，解得=，∴|AB|==.‎ 当=－时，由图形的对称性可知|AB|=，‎ 综上，|AB|=或|AB|=.‎ ‎2012年数学全国1卷 设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点.‎ （1） 若，的面积为，求的值及圆的方程；‎ （2） 若三点在同一直线上，直线与平行，且与之有一个公共点，求坐标原点到距离的比值.‎ ‎【解析】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 ‎ 点到准线的距离 ‎ ‎ ‎ 圆的方程为 ‎ （2）由对称性设，则 ‎ 点关于点对称得：‎ ‎ 得：，直线 ‎ 切点 ‎ 直线 坐标原点到距离的比值为。‎ 已知为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与、两点，点满足.‎ ‎(I)证明：点在上；‎ ‎(II)设点关于点的对称点为，证明：、、、四点在同一圆上.‎ ‎【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。‎ ‎【解析】(I),的方程为,代入并化简得 ‎. …………………………2分 设,‎ 则 ‎ 由题意得 所以点的坐标为.‎ 经验证点的坐标满足方程,故点在椭圆上 …6分 ‎(II)由和题设知，，的垂直平分线的方程为 ‎. ①‎ 设的中点为,则,的垂直平分线的方程为 ‎. ②‎ 由①、②得、的交点为. …………………………9分 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故 ,‎ 又 , ,‎ 所以 ,‎ 由此知、、、四点在以为圆心,为半径的圆上. ……………12分 ‎ 如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。‎ ‎ （I）求得取值范围；‎ ‎ （II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标 分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊）‎ 抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.易得.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．‎ ‎（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点．‎ ‎ 设四个交点的坐标分别为、、、。‎ 则由（I）根据韦达定理有，‎ 则 ‎ ‎ 令，则 下面求的最大值。‎ 方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。‎ 方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。‎ 下面来处理点的坐标。设点的坐标为：‎ 由三点共线，则得。‎ 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．‎ 解：（1）由题意得，l的方程为.‎ 设，‎ 由得.‎ ‎，故.‎ 所以.‎ 由题设知，解得（舍去），.‎ 因此l的方程为.‎ ‎（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即.‎ 设所求圆的圆心坐标为，则 解得或 因此所求圆的方程为或.‎ 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.‎ (1) 求点P的轨迹方程；‎ (2) 设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. ‎ 解 ‎（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）, ‎ 由得 因为M（x0,y0）在C上，所以 因此点P的轨迹方程为 ‎（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则 ‎，‎ 由得，又由（1）知，故 ‎3+3m-tn=0‎ 所以，即.学.科网又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ 已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.‎ ‎（I）当t=4，时，求△AMN的面积；‎ ‎（II）当时，求k的取值范围.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.‎ 试题解析：（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.‎ 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.‎ 将代入得.解得或，所以.‎ 因此的面积.‎ ‎（II）由题意，，.‎ 将直线的方程代入得 ‎.‎ 由得，故.‎ 由题设，直线的方程为，故同理可得，‎ 由得，即.‎ 当时上式不成立，‎ 因此.等价于，‎ 即.由此得，或，解得.‎ 因此的取值范围是.‎ 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. ‎ 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(a＞b＞0)右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.‎ ‎(1)求M的方程；‎ ‎(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．‎ 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，‎ 则，，，‎ 由此可得.‎ 因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，，‎ 所以a2＝2b2.‎ 又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.‎ 因此a2＝6，b2＝3.‎ 所以M的方程为.‎ ‎(2)由 解得或 因此|AB|＝.‎ 由题意可设直线CD的方程为 y＝，‎ 设C(x3，y3)，D(x4，y4)．‎ 由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.‎ 于是x3,4＝.‎ 因为直线CD的斜率为1，‎ 所以|CD|＝.‎ 由已知，四边形ACBD的面积.‎ 当n＝0时，S取得最大值，最大值为.‎ 所以四边形ACBD面积的最大值为.‎ 已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A、B两点，点P满足 .‎ ‎（I） 证明：点P在C上；‎ ‎（II）设点P关于点O的对称点为Q，证明四点在同一圆上。‎ 解：‎ （I） ‎，l的方程为，代入并化简得 ……2分 设， 则， 得 得 所以点P的坐标为，验证得P在椭圆上。……6分 （II） 由，知，的垂直平分线的方程为 设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线的方程为 联立 ，得， ……9分 ‎ ……12分 己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．‎ ‎ （Ⅰ）求C的离心率；‎ ‎ （Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．‎ 解：‎ ‎ （I）由题设知，的方程为 代入C的方程，并化简得，‎ 设 则①‎ 由为B D的中点知故 即 ②‎ 故 所以C的离心率 ‎ （II）由①、②知，C的方程为：‎ A（a，0），F（2a，0），‎ 故不妨设 ‎ …………9分 又 故 解得（舍去）‎ 故 连结MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而 MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆主，MA 为半径的圆经地A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，‎ 所以过A、B、D三点的圆与x轴相切。 …………12分 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．‎ 解：（1）设，则.‎ 两式相减，并由得 ‎.‎ 由题设知，于是 ‎.①‎ 由题设得，故.‎ ‎（2）由题意得，设，则 ‎.‎ 由（1）及题设得.‎ 又点P在C上，所以，从而，.‎ 于是 ‎.‎ 同理.‎ 所以.‎ 故，即成等差数列.‎ 设该数列的公差为d，则 ‎.②‎ 将代入①得.‎ 所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.‎ 故，代入②解得.‎ 所以该数列的公差为或.‎ 已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．‎ ‎（1）证明：坐标原点O在圆M上；‎ ‎（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．‎ 解 ‎（1）设 由可得 又=4‎ 因此OA的斜率与OB的斜率之积为 所以OA⊥OB 故坐标原点O在圆M上.‎ ‎（2）由（1）可得 故圆心M的坐标为，圆M的半径 由于圆M过点P（4，-2），因此,故 即 由（1）可得，‎ 所以，解得.‎ 当m=1时，直线l的方程为x-y-2=0，圆心M的坐标为（3,1），圆M的半径为，圆M的方程为 当时，直线l的方程为，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为 矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．‎ ‎（I）求边所在直线的方程；‎ ‎（II）求矩形外接圆的方程；‎ ‎（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．‎ 解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．‎ 又因为点在直线上，‎ 所以边所在直线的方程为．‎ ‎．‎ ‎（II）由解得点的坐标为，‎ 因为矩形两条对角线的交点为．‎ 所以为矩形外接圆的圆心．‎ 又．‎ 从而矩形外接圆的方程为．‎ ‎（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，‎ 所以，‎ 即．‎ 故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．‎ 因为实半轴长，半焦距．‎ 所以虚半轴长．‎ 从而动圆的圆心的轨迹方程为．‎ 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.‎ ‎(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；‎ ‎(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为.‎ ‎ 设点的坐标为 ‎ 由题意得 ‎ 化简得 .‎ ‎ 故动点的轨迹方程为 ‎（II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.‎ ‎ 则直线的方程为，直线的方程为 令得，.‎ 于是得面积 ‎ ‎ 又直线的方程为，，‎ 点到直线的距离.‎ 于是的面积 ‎ ‎ 当时，得 又，‎ 所以=，解得。‎ 因为，所以 故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.‎ 解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为 ‎ 则.‎ ‎ 因为,‎ ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 即 ，解得 ‎ 因为，所以 ‎ 故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.‎ 已知曲线.‎ ‎（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；‎ ‎（2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与 曲线交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：，，‎ 三点共线.‎ 解：（1）原曲线方程可化简得：‎ 由题意可得：，解得：‎ ‎（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，‎ ‎，解得： 由韦达定理得：①，，②‎ 设，，‎ 方程为：，则，‎ ‎，，‎ 欲证三点共线，只需证，共线 即成立，化简得：‎ 将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。‎ 已知椭圆，‎ （1） 求椭圆的离心率.‎ （2） 设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆 的位置关系，并证明你的结论.‎ 解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为。‎ ‎ 所以，从而。因此。‎ 故椭圆C的离心率。‎ ‎（Ⅱ） 直线AB与圆相切。证明如下：‎ 设点A,B的坐标分别为，，其中。‎ 因为，所以，即，解得。‎ ‎ 当时，，代入椭圆C的方程，得，‎ ‎ 故直线AB的方程为。圆心O到直线AB的距离。‎ ‎ 此时直线AB与圆相切。‎ ‎ 当时，直线AB的方程为，‎ ‎ 即，‎ ‎ 圆心0到直线AB的距离 ‎ ，又，‎ 故 ‎ ‎ 此时直线AB与圆相切.‎ 已知椭圆：（）的离心率为，点，和点都 在椭圆上，直线交轴于点M． ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；‎ ‎（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点Q，使得若存在，求点的坐标；若不不存在，说明理由．‎ ‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题意知，，又，解得，‎ 所以的方程为．‎ 的斜率，所以方程，‎ 令，解得，所以 ‎（Ⅱ），同（I）可得，‎ ‎，，‎ 因为所以，‎ 设则即，‎ 又在椭圆上，所以，即，‎ 所以，故存在使得 已知椭圆C：（）的离心率为，，，，△OAB的面积为1.‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.‎ 求证：为定值.‎ ‎【答案】（I）；（II）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）根据离心率为，即，OAB的面积为1，即，椭圆中列方程组进行求解；（II）根据已知条件分别求出的值，求其乘积为定值.‎ 试题解析：（I）由题意得解得.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（II）由（I）知，，‎ 设，则.‎ 当时，直线的方程为.‎ 令，得，从而.‎ 直线的方程为.‎ 令，得，从而.‎ 所以 ‎.‎ 当时，，‎ 所以.‎ 综上，为定值.‎ ‎【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力 ‎【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.‎ 已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．‎ ‎（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．‎ 解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），‎ 所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．‎ 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，‎ 设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．‎ 由得．‎ 依题意，解得k<0或0b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. ‎ 若(O为原点) ，求k的值.‎ ‎（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．‎ 所以，椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．‎ 由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，‎ 由方程组 消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．‎ 所以，k的值为 ‎ 已知m＞1，直线，‎ 椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. ‎ ‎（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，‎ ‎ 的重心分别为.若原点在以线段 为直径的圆内，求实数的取值范围. ‎ 解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。‎ ‎ （Ⅰ）解：因为直线经过，‎ 所以,得，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 故直线的方程为。‎ ‎（Ⅱ）解：设。‎ ‎ 由，消去得 ‎ 则由，知，‎ 且有。‎ 由于，‎ 故为的中点，‎ 由，‎ 可知 设是的中点，则，‎ 由题意可知 即 即 而 ‎ ‎ 所以 即 又因为且 所以。‎ 所以的取值范围是。‎ 已知抛物线＝，圆的圆心为点M。‎ ‎（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；‎ ‎（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂足于AB，求直线的方程.‎ ‎（Ⅰ）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：所以圆心M（0,4）到抛物线的距离是 ‎ （Ⅱ）解：设P(x0, x02)，A（）B（），由题意得设过点P的圆C2的切线方程为y-x0=k(x- x0) ‎ ‎ 即， ①‎ ‎ 则 ‎ 即 ‎ 设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以 ‎ ，‎ ‎ 将①代入得，‎ ‎ 由于是此方程的根，故所以 由MP⊥AB,得，解得 即点P的坐标为，所以直线l的方程为。‎ 设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，‎ 为半径的圆交于两点；‎ ‎（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；‎ ‎（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，‎ 求坐标原点到距离的比值。‎ ‎【解析】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 ‎ 点到准线的距离 ‎ ‎ ‎ 圆的方程为 ‎ （2）由对称性设，则 ‎ 点关于点对称得：‎ ‎ 得：，直线 ‎ 切点 ‎ 直线 坐标原点到距离的比值为。‎ 如图，点是椭圆（）的一个顶点，的长轴是圆的直径．，是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于，两点，交椭圆于另一点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求面积取最大值时直线的方程．‎ ‎（Ⅰ）由题意得 ‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设，，．由题意知直线的斜率存在，不妨设为，则直线的方程为．‎ ‎ 又圆，故点到直线的距离，‎ ‎ 所以．‎ ‎ 又，故直线的方程为．‎ ‎ 由消去，整理得，‎ ‎ 故．‎ ‎ 所以．‎ ‎ 设的面积为，则，‎ ‎ 所以，‎ 当且仅当时取等号．‎ 所以直线的方程为．‎ 如图，设椭圆（a＞1）.‎ ‎（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；‎ ‎（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎（II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足 ‎．‎ 记直线，的斜率分别为，，且，，．‎ 由（I）知，，，‎ 故，‎ ‎ 如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．‎ ‎（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；‎ ‎（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．‎ ‎（Ⅰ）设，，．‎ 因为，的中点在抛物线上，所以，为方程 即的两个不同的实数根．‎ 所以．‎ 因此，垂直于轴．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 所以，．‎ 因此，的面积．‎ 因为，所以．‎ 因此，面积的取值范围是．‎ 已知椭圆C：(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．‎ 解：(1)由椭圆定义知，‎ ‎2a‎＝|PF1|＋|PF2|＝，‎ 所以.‎ 又由已知，c＝1.‎ 所以椭圆C的离心率.‎ ‎(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ 设点Q的坐标为(x，y)．‎ ‎(1)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为.‎ ‎(2)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2.‎ 因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，‎ 则|AM|2＝(1＋k2)x12，|AN|2＝(1＋k2)x22.‎ 又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.‎ 由，得 ‎，‎ 即.①‎ 将y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得 ‎(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②‎ 由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞.‎ 由②可知，x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 代入①中并化简，得.③‎ 因为点Q在直线y＝kx＋2上，‎ 所以，代入③中并化简，得10(y－2)2－3x2＝18.‎ 由③及k2＞，可知0＜x2＜，即x∈∪.‎ 又满足10(y－2)2－3x2＝18，‎ 故x∈.‎ 由题意，Q(x，y)在椭圆C内，‎ 所以－1≤y≤1.‎ 又由10(y－2)2＝18＋3x2有(y－2)2∈且－1≤y≤1，‎ 则y∈.‎ 所以，点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈.‎ 已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l: 与椭圆E有且只有一个公共点T.‎ ‎（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；‎ ‎（II）设O是坐标原点，直线平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得，并求λ的值.‎ ‎【答案】（I），点T坐标为（2,1）；（II）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题、解决问题的能力和数形结合的思想.第（I）问，利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y得关于x的方程有两个相等的实数根，解出b的值，从而得到椭圆E的方程；第（II）问，利用椭圆的几何性质，数形结合，根据根与系数的关系，进行求解.‎ 试题解析：（I）由已知，，则椭圆E的方程为.‎ 由方程组 得.①‎ 方程①的判别式为，由，得，‎ 此时方程①的解为，‎ 所以椭圆E的方程为.‎ 点T坐标为（2,1）.‎ ‎（II）由已知可设直线的方程为，‎ 由方程组 可得 所以P点坐标为（），.‎ 所以，‎ 同理，‎ 所以 ‎.‎ 故存在常数，使得.‎ 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。‎ ‎（1）设动点P满足,求点P的轨迹；‎ ‎（2）设，求点T的坐标；‎ ‎（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐 标与m无关）。‎ ‎[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。‎ ‎（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。‎ 由，得 化简得。‎ 故所求点P的轨迹为直线。‎ ‎（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）‎ 直线MTA方程为：，即，‎ 直线NTB 方程为：，即。‎ 联立方程组，解得：，‎ 所以点T的坐标为。‎ ‎（3）点T的坐标为 直线MTA方程为：，即，‎ 直线NTB 方程为：，即。‎ 分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，‎ 解得：、。‎ ‎（方法一）当时，直线MN方程为：‎ ‎ 令，解得：。此时必过点D（1，0）；‎ 当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。‎ 所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。‎ ‎（方法二）若，则由及，得，‎ 此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。‎ 若，则，直线MD的斜率，‎ 直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。‎ 因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。‎ 如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结.21世纪教育网版权所有 F1‎ F2‎ O x y B C A ‎(第17题)‎ ‎(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程；‎ ‎(2)若求椭圆离心率e的值.‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左 准线l的距离为3.‎ ‎ （1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）或．‎ ‎（2）当轴时，，又，不合题意．‎ 当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，‎ 将的方程代入椭圆方程，得，‎ 则，的坐标为，且 ‎．‎ 若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．‎ 从而，故直线的方程为，‎ 则点的坐标为，从而．‎ 因为，所以，解得．‎ 此时直线方程为或．‎ 考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点A(2， 4).‎ ‎(1)设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；‎ ‎（2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；‎ ‎（3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围.‎ ‎（第18题） ‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎ (2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.‎ 设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，‎ 则圆心M到直线l的距离 ‎ ‎ 因为 ‎ 而 ‎ 所以，解得m=5或m=-15.‎ 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.‎ ‎(3)设 ‎ 因为，所以 ……①‎ 因为点Q在圆M上，所以 …….② ‎ 将①代入②，得.‎ 于是点既在圆M上，又在圆上，‎ 从而圆与圆没有公共点，‎ 所以 解得.‎ 因此，实数t的取值范围是. ‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.‎ 解：（1）设椭圆的半焦距为c. ‎ 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，， ‎ 解得，于是， ‎ 因此椭圆E的标准方程是.‎ ‎（2）由（1）知，，.‎ 设，因为点为第一象限的点，故.‎ 当时，与相交于，与题设不符.‎ 当时，直线的斜率为，直线的斜率为.‎ 因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 从而直线的方程：， ①‎ 直线的方程：. ②‎ 由①②，解得，所以.‎ 因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.‎ 又在椭圆E上，故.‎ 由，解得；，无解.‎ 因此点P的坐标为.‎ 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．‎ ‎（1）求椭圆C及圆O的方程；‎ ‎（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．‎ ‎①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；‎ ‎②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．‎ 解：（1）因为椭圆C的焦点为，‎ 可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，‎ 所以，解得 因此，椭圆C的方程为．‎ 因为圆O的直径为，所以其方程为．‎ ‎（2）①设直线l与圆O相切于，则，‎ 所以直线l的方程为，即．‎ 由，消去y，得 ‎．（*）‎ 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，‎ 所以．‎ 因为，所以．‎ 因此，点P的坐标为．‎ ‎②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．‎ 设，‎ 由（*）得，‎ 所以 ‎．‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 解得舍去），则，因此P的坐标为．‎ 综上，直线l的方程为．‎