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- 2021-05-14 发布
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2014年天津市高考数学试卷(理科)
一、选择题(共8小题,每小题5分)
1.(5分)i是虚数单位,复数=( )
A.1﹣i B.﹣1+i C.+i D.﹣+i
2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.(5分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为( )
A.15 B.105 C.245 D.945
4.(5分)函数f(x)=log(x2﹣4)的单调递增区间为( )
A.(0,+∞) B.(﹣∞,0) C.(2,+∞) D.(﹣∞,﹣2)
5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )
A.﹣=1 B.﹣=1
C.﹣=1 D.﹣=1
6.(5分)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:
①BD平分∠CBF;
②FB2=FD•FA;
③AE•CE=BE•DE;
④AF•BD=AB•BF.
所有正确结论的序号是( )
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④
7.(5分)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
8.(5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=( )
A. B. C. D.
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
9.(5分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 名学生.
10.(5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.
11.(5分)设{an}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为 .
12.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为 .
13.(5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为 .
14.(5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为 .
三、解答题(共6小题,共80分)
15.(13分)已知函数f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在闭区间[﹣,]上的最大值和最小值.
16.(13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
17.(13分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(Ⅰ)证明:BE⊥DC;
(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.
18.(13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.
19.(14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1,xi∈M,i=1,2,…n}.
(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;
(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.
20.(14分)设f(x)=x﹣aex(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.
(Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)证明:随着a的减小而增大;
(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.
2014年天津市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共8小题,每小题5分)
1.(5分)(2014•天津)i是虚数单位,复数=( )
A.1﹣i B.﹣1+i C.+i D.﹣+i
【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i,即求出值.
【解答】解:复数==,
故选A.
2.(5分)(2014•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.
【解答】解:作出不等式对应的平面区域,
由z=x+2y,得y=﹣,
平移直线y=﹣,由图象可知当直线y=﹣经过点B(1,1)时,直线y=﹣的截距最小,此时z最小.
此时z的最小值为z=1+2×1=3,
故选:B.
3.(5分)(2014•天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为( )
A.15 B.105 C.245 D.945
【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)的值,根据条件确定跳出循环的i值,计算输出S的值.
【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)的值,
∵跳出循环的i值为4,
∴输出S=1×3×5×7=105.
故选:B.
4.(5分)(2014•天津)函数f(x)=log(x2﹣4)的单调递增区间为( )
A.(0,+∞) B.(﹣∞,0) C.(2,+∞) D.(﹣∞,﹣2)
【分析】令t=x2﹣4>0,求得函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),且函数f(x)=g(t)=logt.根据复合函数的单调性,本题即求函数t在(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) 上的减区间.再利用二次函数的性质可得,函数t在(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) 上的减区间.
【解答】解:令t=x2﹣4>0,可得 x>2,或 x<﹣2,
故函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),
当x∈(﹣∞,﹣2)时,t随x的增大而减小,y=logt随t的减小而增大,
所以y=log(x2﹣4)随x的增大而增大,即f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递增.
故选:D.
5.(5分)(2014•天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )
A.﹣=1 B.﹣=1
C.﹣=1 D.﹣=1
【分析】先求出焦点坐标,利用双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,可得=2,结合c2=a2+b2,求出a,b,即可求出双曲线的方程.
【解答】解:∵双曲线的一个焦点在直线l上,
令y=0,可得x=﹣5,即焦点坐标为(﹣5,0),∴c=5,
∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,
∴=2,
∵c2=a2+b2,
∴a2=5,b2=20,
∴双曲线的方程为﹣=1.
故选:A.
6.(5分)(2014•天津)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:
①BD平分∠CBF;
②FB2=FD•FA;
③AE•CE=BE•DE;
④AF•BD=AB•BF.
所有正确结论的序号是( )
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④
【分析】本题利用角与弧的关系,得到角相等,再利用角相等推导出三角形相似,得到边成比例,即可选出本题的选项.
【解答】解:∵圆周角∠DBC对应劣弧CD,圆周角∠DAC对应劣弧CD,
∴∠DBC=∠DAC.
∵弦切角∠FBD对应劣弧BD,圆周角∠BAD对应劣弧BD,
∴∠FBD=∠BAF.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAF=∠DAC.
∴∠DBC=∠FBD.即BD平分∠CBF.即结论①正确.
又由∠FBD=∠FAB,∠BFD=∠AFB,得△FBD~△FAB.
由,FB2=FD•FA.即结论②成立.
由,得AF•BD=AB•BF.即结论④成立.
正确结论有①②④.
故答案为D
7.(5分)(2014•天津)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【解答】解:若a>b,
①a>b≥0,不等式a|a|>b|b|等价为a•a>b•b,此时成立.
②0>a>b,不等式a|a|>b|b|等价为﹣a•a>﹣b•b,即a2<b2,此时成立.
③a≥0>b,不等式a|a|>b|b|等价为a•a>﹣b•b,即a2>﹣b2,此时成立,即充分性成立.
若a|a|>b|b|,
①当a>0,b>0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)>0,因为a+b>0,所以a﹣b>0,即a>b.
②当a>0,b<0时,a>b.
③当a<0,b<0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)<0,因为a+b<0,所以a﹣b>0,即a>b.即必要性成立,
综上“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,
故选:C.
8.(5分)(2014•天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=( )
A. B. C. D.
【分析】利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义由•=1,求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①;再由•=﹣,求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.结合①②求得λ+μ的值.
【解答】解:由题意可得若•=(+)•(+)=+++
=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°
=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1,
∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①.
•=﹣•(﹣)==(1﹣λ)•(1﹣μ)=(1﹣λ)•(1﹣μ)
=(1﹣λ)(1﹣μ)×2×2×cos120°=(1﹣λ﹣μ+λμ)(﹣2)=﹣,
即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.
由①②求得λ+μ=,
故答案为:.
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
9.(5分)(2014•天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 60 名学生.
【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例,再用样本容量乘以该比列,即为所求.
【解答】解:根据分层抽样的定义和方法,一年级本科生人数所占的比例为=,
故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60,
故答案为:60.
10.(5分)(2014•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.
【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体,判断圆柱与圆锥的高及底面半径,代入圆锥与圆柱的体积公式计算.
【解答】解:由三视图知:几何体是圆锥与圆柱的组合体,
其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2,底面直径为4,
∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π.
故答案为:.
11.(5分)(2014•天津)设{an}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为 ﹣ .
【分析】由条件求得,Sn=,再根据S1,S2,S4成等比数列,可得 =S1•S4,由此求得a1的值.
【解答】解:由题意可得,an=a1+(n﹣1)(﹣1)=a1+1﹣n,Sn==,
再根据若S1,S2,S4成等比数列,可得 =S1•S4,即 =a1•(4a1﹣6),
解得 a1=﹣,
故答案为:﹣.
12.(5分)(2014•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为 ﹣ .
【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c,b=,再由余弦定理求得cosA= 的值.
【解答】解:在△ABC中,
∵b﹣c=a ①,2sinB=3sinC,
∴2b=3c ②,
∴由①②可得a=2c,b=.
再由余弦定理可得 cosA===﹣,
故答案为:﹣.
13.(5分)(2014•天津)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为 3 .
【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,求出B的坐标的值,代入x2+(y﹣2)2=4,可得a的值.
【解答】解:直线ρsinθ=a即y=a,(a>0),曲线ρ=4sinθ,
即ρ2=4ρsinθ,即x2+(y﹣2)2=4,表示以C(0,2)为圆心,以2为半径的圆,
∵△AOB是等边三角形,∴B(a,a),
代入x2+(y﹣2)2=4,可得(a)2+(a﹣2)2=4,
∵a>0,∴a=3.
故答案为:3.
14.(5分)(2014•天津)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为 (0,1)∪(9,+∞) .
【分析】由y=f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,作出函数y=f(x),y=a|x﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论.
【解答】解:由y=f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,
作出函数y=f(x),y=g(x)=a|x﹣1|的图象,
当a≤0,两个函数的图象不可能有4个交点,不满足条件,
则a>0,此时g(x)=a|x﹣1|=,
当﹣3<x<0时,f(x)=﹣x2﹣3x,g(x)=﹣a(x﹣1),
当直线和抛物线相切时,有三个零点,
此时﹣x2﹣3x=﹣a(x﹣1),
即x2+(3﹣a)x+a=0,
则由△=(3﹣a)2﹣4a=0,即a2﹣10a+9=0,解得a=1或a=9,
当a=9时,g(x)=﹣9(x﹣1),g(0)=9,此时不成立,∴此时a=1,
要使两个函数有四个零点,则此时0<a<1,
若a>1,此时g(x)=﹣a(x﹣1)与f(x),有两个交点,
此时只需要当x>1时,f(x)=g(x)有两个不同的零点即可,
即x2+3x=a(x﹣1),整理得x2+(3﹣a)x+a=0,
则由△=(3﹣a)2﹣4a>0,即a2﹣10a+9>0,解得a<1(舍去)或a>9,
综上a的取值范围是(0,1)∪(9,+∞),
方法2:由f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,
若x=1,则4=0不成立,
故x≠1,
则方程等价为a===||=|x﹣1++5|,
设g(x)=x﹣1++5,
当x>1时,g(x)=x﹣1++5≥,当且仅当x﹣1=,即x=3时取等号,
当x<1时,g(x)=x﹣1++5=5﹣4=1,当且仅当﹣(x﹣1)=﹣,即x=﹣1时取等号,
则|g(x)|的图象如图:
若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,
则满足a>9或0<a<1,
故答案为:(0,1)∪(9,+∞)
三、解答题(共6小题,共80分)
15.(13分)(2014•天津)已知函数f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在闭区间[﹣,]上的最大值和最小值.
【分析】(Ⅰ)根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简,再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期;
(Ⅱ)由(Ⅰ)化简的函数解析式和条件中x的范围,求出的范围,再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值.
【解答】解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=cosx•(sinxcosx)
=
=
=
=
所以,f(x)的最小正周期=π.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=,
由x∈[﹣,]得,2x∈[﹣,],则∈[,],
∴当=﹣时,即=﹣1时,函数f(x)取到最小值是:,
当=时,即=时,f(x)取到最大值是:,
所以,所求的最大值为,最小值为.
16.(13分)(2014•天津)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
【分析】(Ⅰ)利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数,代入古典概型概率公式求出值;
(Ⅱ)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,(k=0,1,2,3)列出随机变量X的分布列求出期望值.
【解答】(Ⅰ)解:设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A,
则,
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
(Ⅱ)解:随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,(k=0,1,2,3)
所以随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望.
17.(13分)(2014•天津)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(Ⅰ)证明:BE⊥DC;
(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.
【分析】(I)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出BE,DC的方向向量,根据•=0,可得BE⊥DC;
(II)求出平面PBD的一个法向量,代入向量夹角公式,可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(Ⅲ)根据BF⊥AC,求出向量的坐标,进而求出平面FAB和平面ABP的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值.
【解答】证明:(I)∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,
以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
∴B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1)
∴=(0,1,1),=(2,0,0)
∵•=0,
∴BE⊥DC;
(Ⅱ)∵=(﹣1,2,0),=(1,0,﹣2),
设平面PBD的法向量=(x,y,z),
由,得,
令y=1,则=(2,1,1),
则直线BE与平面PBD所成角θ满足:
sinθ===,
故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(Ⅲ)∵=(1,2,0),=(﹣2,﹣2,2),=(2,2,0),
由F点在棱PC上,设=λ=(﹣2λ,﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),
故=+=(1﹣2λ,2﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),
由BF⊥AC,得•=2(1﹣2λ)+2(2﹣2λ)=0,
解得λ=,
即=(﹣,,),
设平面FBA的法向量为=(a,b,c),
由,得
令c=1,则=(0,﹣3,1),
取平面ABP的法向量=(0,1,0),
则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足:
cosα===,
故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为:
18.(13分)(2014•天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.
【分析】(Ⅰ)设椭圆的右焦点为F2(c,0),由|AB|=|F1F2|.可得,再利用b2=a2﹣c2,e=即可得出.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b2=c2.可设椭圆方程为,设P(x0,y0),由F1(﹣c,0),B(0,c),可得,.利用圆的性质可得,于是=0,得到x0+y0+c=0,由于点P在椭圆上,可得.联立可得=0,解得P.设圆心为T(x1,y1),利用中点坐标公式可得T,利用两点间的距离公式可得圆的半径r.设直线l的方程为:y=kx.利用直线与圆相切的性质即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)设椭圆的右焦点为F2(c,0),
由|AB|=|F1F2|,可得,化为a2+b2=3c2.
又b2=a2﹣c2,∴a2=2c2.
∴e=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b2=c2.因此椭圆方程为.
设P(x0,y0),由F1(﹣c,0),B(0,c),可得=(x0+c,y0),=(c,c).
∵,
∴=c(x0+c)+cy0=0,
∴x0+y0+c=0,
∵点P在椭圆上,∴.
联立,化为=0,
∵x0≠0,∴,
代入x0+y0+c=0,可得.
∴P.
设圆心为T(x1,y1),则=﹣,=.
∴T,
∴圆的半径r==.
设直线l的斜率为k,则直线l的方程为:y=kx.
∵直线l与圆相切,
∴,
整理得k2﹣8k+1=0,解得.
∴直线l的斜率为.
19.(14分)(2014•天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1,xi∈M,i=1,2,…n}.
(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;
(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.
【分析】(Ⅰ)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|,xi∈M,i=1,2,3}.即可得到集合A.
(Ⅱ)由于ai,bi∈M,i=1,2,…,n.an<bn,可得an﹣bn≤﹣1.
由题意可得s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…++≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1],
再利用等比数列的前n项和公式即可得出.
【解答】(Ⅰ)解:当q=2,n=3时,
M={0,1},A={x|,xi∈M,i=1,2,3}.
可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.
(Ⅱ)证明:由设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.an<bn,∴an﹣bn≤﹣1.
可得s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…++
≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1]
=<0.
∴s<t.
20.(14分)(2014•天津)设f(x)=x﹣aex(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.
(Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)证明:随着a的减小而增大;
(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.
【分析】(Ⅰ)对f(x)求导,讨论f′(x)的正负以及对应f(x)的单调性,得出函数y=f(x)有两个零点的等价条件,从而求出a的取值范围;
(Ⅱ)由f(x)=0,得a=,设g(x)=,判定g(x)的单调性即得证;
(Ⅲ)由于x1=a,x2=a,则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln,令=t,整理得到x1+x2=,令h(x)=,x∈(1,+∞),得到h(x)在(1,+∞)上是增函数,故得到x1+x2随着t的减小而增大.再由(Ⅱ)知,t随着a的减小而增大,即得证.
【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=x﹣aex,∴f′(x)=1﹣aex;
下面分两种情况讨论:
①a≤0时,f′(x)>0在R上恒成立,∴f(x)在R上是增函数,不合题意;
②a>0时,由f′(x)=0,得x=﹣lna,当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
x
(﹣∞,﹣lna)
﹣lna
(﹣lna,+∞)
f′(x)
+
0
﹣
f(x)
递增
极大值﹣lna﹣1
递减
∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣lna),减区间是(﹣lna,+∞);
∴函数y=f(x)有两个零点等价于如下条件同时成立:
①f(﹣lna)>0;
②存在s1∈(﹣∞,﹣lna),满足f(s1)<0;
③存在s2∈(﹣lna,+∞),满足f(s2)<0;
由f(﹣lna)>0,即﹣lna﹣1>0,解得0<a<e﹣1;
取s1=0,满足s1∈(﹣∞,﹣lna),且f(s1)=﹣a<0,
取s2=+ln,满足s2∈(﹣lna,+∞),且f(s2)=(﹣)+(ln﹣)<0;
∴a的取值范围是(0,e﹣1).
(Ⅱ)证明:由f(x)=x﹣aex=0,得a=,
设g(x)=,由g′(x)=,得g(x)在(﹣∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
并且当x∈(﹣∞,0)时,g(x)≤0,当x∈(0,+∞)时,g(x)≥0,
x1、x2满足a=g(x1),a=g(x2),a∈(0,e﹣1)及g(x)的单调性,可得x1∈(0,1),x2∈(1,+∞);
对于任意的a1、a2∈(0,e﹣1),设a1>a2,g(X1)=g(X2)=a1,其中0<X1<1<X2;
g(Y1)=g(Y2)=a2,其中0<Y1<1<Y2;
∵g(x)在(0,1)上是增函数,∴由a1>a2,得g(Xi)>g(Yi),可得X1>Y1;类似可得X2<Y2;
又由X、Y>0,得<<;∴随着a的减小而增大;
(Ⅲ)证明:∵x1=a,x2=a,∴lnx1=lna+x1,lnx2=lna+x2;
∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln,设=t,则t>1,
∴,解得x1=,x2=,
∴x1+x2=…①;
令h(x)=,x∈(1,+∞),则h′(x)=;
令u(x)=﹣2lnx+x﹣,得u′(x)=,当x∈(1,+∞)时,u′(x)>0,
∴u(x)在(1,+∞)上是增函数,∴对任意的x∈(1,+∞),u(x)>u(1)=0,
∴h′(x)>0,∴h(x)在(1,+∞)上是增函数;
∴由①得x1+x2随着t的增大而增大.
由(Ⅱ)知,t随着a的减小而增大,
∴x1+x2随着a的减小而增大.