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  • 2021-05-14 发布

2014年天津市高考数学试卷(理科)

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‎2014年天津市高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分)‎ ‎1.(5分)i是虚数单位,复数=(  )‎ A.1﹣i B.﹣1+i C.+i D.﹣+i ‎2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎3.(5分)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为(  )‎ A.15 B.105 C.245 D.945‎ ‎4.(5分)函数f(x)=log(x2﹣4)的单调递增区间为(  )‎ A.(0,+∞) B.(﹣∞,0) C.(2,+∞) D.(﹣∞,﹣2)‎ ‎5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(  )‎ A.﹣=1 B.﹣=1‎ C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎6.(5分)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:‎ ‎①BD平分∠CBF;‎ ‎②FB2=FD•FA;‎ ‎③AE•CE=BE•DE;‎ ‎④AF•BD=AB•BF.‎ 所有正确结论的序号是(  )‎ A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④‎ ‎7.(5分)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎8.(5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎9.(5分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取  名学生.‎ ‎10.(5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为  m3.‎ ‎11.(5分)设{an}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为  .‎ ‎12.(5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为  .‎ ‎13.(5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为  .‎ ‎14.(5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,共80分)‎ ‎15.(13分)已知函数f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)在闭区间[﹣,]上的最大值和最小值.‎ ‎16.(13分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).‎ ‎(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;‎ ‎(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.‎ ‎17.(13分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:BE⊥DC;‎ ‎(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.‎ ‎18.(13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.‎ ‎19.(14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1,xi∈M,i=1,2,…n}.‎ ‎(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;‎ ‎(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.‎ ‎20.(14分)设f(x)=x﹣aex(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.‎ ‎(Ⅰ)求a的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)证明:随着a的减小而增大;‎ ‎(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.‎ ‎ ‎ ‎2014年天津市高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共8小题,每小题5分)‎ ‎1.(5分)(2014•天津)i是虚数单位,复数=(  )‎ A.1﹣i B.﹣1+i C.+i D.﹣+i ‎【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i,即求出值.‎ ‎【解答】解:复数==,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2014•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.‎ ‎【解答】解:作出不等式对应的平面区域,‎ 由z=x+2y,得y=﹣,‎ 平移直线y=﹣,由图象可知当直线y=﹣经过点B(1,1)时,直线y=﹣的截距最小,此时z最小.‎ 此时z的最小值为z=1+2×1=3,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2014•天津)阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为(  )‎ A.15 B.105 C.245 D.945‎ ‎【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)的值,根据条件确定跳出循环的i值,计算输出S的值.‎ ‎【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求S=1×3×5×…×(2i+1)的值,‎ ‎∵跳出循环的i值为4,‎ ‎∴输出S=1×3×5×7=105.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2014•天津)函数f(x)=log(x2﹣4)的单调递增区间为(  )‎ A.(0,+∞) B.(﹣∞,0) C.(2,+∞) D.(﹣∞,﹣2)‎ ‎【分析】令t=x2﹣4>0,求得函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),且函数f(x)=g(t)=logt.根据复合函数的单调性,本题即求函数t在(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) 上的减区间.再利用二次函数的性质可得,函数t在(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) 上的减区间.‎ ‎【解答】解:令t=x2﹣4>0,可得 x>2,或 x<﹣2,‎ 故函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),‎ 当x∈(﹣∞,﹣2)时,t随x的增大而减小,y=logt随t的减小而增大,‎ 所以y=log(x2﹣4)随x的增大而增大,即f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递增.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2014•天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(  )‎ A.﹣=1 B.﹣=1‎ C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎【分析】先求出焦点坐标,利用双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,可得=2,结合c2=a2+b2,求出a,b,即可求出双曲线的方程.‎ ‎【解答】解:∵双曲线的一个焦点在直线l上,‎ 令y=0,可得x=﹣5,即焦点坐标为(﹣5,0),∴c=5,‎ ‎∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,‎ ‎∴=2,‎ ‎∵c2=a2+b2,‎ ‎∴a2=5,b2=20,‎ ‎∴双曲线的方程为﹣=1.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2014•天津)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:‎ ‎①BD平分∠CBF;‎ ‎②FB2=FD•FA;‎ ‎③AE•CE=BE•DE;‎ ‎④AF•BD=AB•BF.‎ 所有正确结论的序号是(  )‎ A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④‎ ‎【分析】本题利用角与弧的关系,得到角相等,再利用角相等推导出三角形相似,得到边成比例,即可选出本题的选项.‎ ‎【解答】解:∵圆周角∠DBC对应劣弧CD,圆周角∠DAC对应劣弧CD,‎ ‎∴∠DBC=∠DAC.‎ ‎∵弦切角∠FBD对应劣弧BD,圆周角∠BAD对应劣弧BD,‎ ‎∴∠FBD=∠BAF.‎ ‎∵AD是∠BAC的平分线,‎ ‎∴∠BAF=∠DAC.‎ ‎∴∠DBC=∠FBD.即BD平分∠CBF.即结论①正确.‎ 又由∠FBD=∠FAB,∠BFD=∠AFB,得△FBD~△FAB.‎ 由,FB2=FD•FA.即结论②成立.‎ 由,得AF•BD=AB•BF.即结论④成立.‎ 正确结论有①②④.‎ 故答案为D ‎ ‎ ‎7.(5分)(2014•天津)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎【分析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.‎ ‎【解答】解:若a>b,‎ ‎①a>b≥0,不等式a|a|>b|b|等价为a•a>b•b,此时成立.‎ ‎②0>a>b,不等式a|a|>b|b|等价为﹣a•a>﹣b•b,即a2<b2,此时成立.‎ ‎③a≥0>b,不等式a|a|>b|b|等价为a•a>﹣b•b,即a2>﹣b2,此时成立,即充分性成立.‎ 若a|a|>b|b|,‎ ‎①当a>0,b>0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)>0,因为a+b>0,所以a﹣b>0,即a>b.‎ ‎②当a>0,b<0时,a>b.‎ ‎③当a<0,b<0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a﹣b)(a+b)<0,因为a+b<0,所以a﹣b>0,即a>b.即必要性成立,‎ 综上“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2014•天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ,=μ,若•=1,•=﹣,则λ+μ=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义由•=1,求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①;再由•=﹣,求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.结合①②求得λ+μ的值.‎ ‎【解答】解:由题意可得若•=(+)•(+)=+++‎ ‎=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°‎ ‎=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1,‎ ‎∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①.‎ ‎•=﹣•(﹣)==(1﹣λ)•(1﹣μ)=(1﹣λ)•(1﹣μ)‎ ‎=(1﹣λ)(1﹣μ)×2×2×cos120°=(1﹣λ﹣μ+λμ)(﹣2)=﹣,‎ 即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.‎ 由①②求得λ+μ=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎9.(5分)(2014•天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 60 名学生.‎ ‎【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例,再用样本容量乘以该比列,即为所求.‎ ‎【解答】解:根据分层抽样的定义和方法,一年级本科生人数所占的比例为=,‎ 故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60,‎ 故答案为:60.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2014•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为  m3.‎ ‎【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体,判断圆柱与圆锥的高及底面半径,代入圆锥与圆柱的体积公式计算.‎ ‎【解答】解:由三视图知:几何体是圆锥与圆柱的组合体,‎ 其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2,底面直径为4,‎ ‎∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2014•天津)设{an}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为 ﹣ .‎ ‎【分析】由条件求得,Sn=,再根据S1,S2,S4成等比数列,可得 =S1•S4,由此求得a1的值.‎ ‎【解答】解:由题意可得,an=a1+(n﹣1)(﹣1)=a1+1﹣n,Sn==,‎ 再根据若S1,S2,S4成等比数列,可得 =S1•S4,即 =a1•(4a1﹣6),‎ 解得 a1=﹣,‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2014•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b﹣c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为 ﹣ .‎ ‎【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c,b=,再由余弦定理求得cosA= 的值.‎ ‎【解答】解:在△ABC中,‎ ‎∵b﹣c=a ①,2sinB=3sinC,‎ ‎∴2b=3c ②,‎ ‎∴由①②可得a=2c,b=.‎ 再由余弦定理可得 cosA===﹣,‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2014•天津)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点,若△AOB是等边三角形,则a的值为 3 .‎ ‎【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,求出B的坐标的值,代入x2+(y﹣2)2=4,可得a的值.‎ ‎【解答】解:直线ρsinθ=a即y=a,(a>0),曲线ρ=4sinθ,‎ 即ρ2=4ρsinθ,即x2+(y﹣2)2=4,表示以C(0,2)为圆心,以2为半径的圆,‎ ‎∵△AOB是等边三角形,∴B(a,a),‎ 代入x2+(y﹣2)2=4,可得(a)2+(a﹣2)2=4,‎ ‎∵a>0,∴a=3.‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2014•天津)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R,若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为 (0,1)∪(9,+∞) .‎ ‎【分析】由y=f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,作出函数y=f(x),y=a|x﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由y=f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,‎ 作出函数y=f(x),y=g(x)=a|x﹣1|的图象,‎ 当a≤0,两个函数的图象不可能有4个交点,不满足条件,‎ 则a>0,此时g(x)=a|x﹣1|=,‎ 当﹣3<x<0时,f(x)=﹣x2﹣3x,g(x)=﹣a(x﹣1),‎ 当直线和抛物线相切时,有三个零点,‎ 此时﹣x2﹣3x=﹣a(x﹣1),‎ 即x2+(3﹣a)x+a=0,‎ 则由△=(3﹣a)2﹣4a=0,即a2﹣10a+9=0,解得a=1或a=9,‎ 当a=9时,g(x)=﹣9(x﹣1),g(0)=9,此时不成立,∴此时a=1,‎ 要使两个函数有四个零点,则此时0<a<1,‎ 若a>1,此时g(x)=﹣a(x﹣1)与f(x),有两个交点,‎ 此时只需要当x>1时,f(x)=g(x)有两个不同的零点即可,‎ 即x2+3x=a(x﹣1),整理得x2+(3﹣a)x+a=0,‎ 则由△=(3﹣a)2﹣4a>0,即a2﹣10a+9>0,解得a<1(舍去)或a>9,‎ 综上a的取值范围是(0,1)∪(9,+∞),‎ 方法2:由f(x)﹣a|x﹣1|=0得f(x)=a|x﹣1|,‎ 若x=1,则4=0不成立,‎ 故x≠1,‎ 则方程等价为a===||=|x﹣1++5|,‎ 设g(x)=x﹣1++5,‎ 当x>1时,g(x)=x﹣1++5≥,当且仅当x﹣1=,即x=3时取等号,‎ 当x<1时,g(x)=x﹣1++5=5﹣4=1,当且仅当﹣(x﹣1)=﹣,即x=﹣1时取等号,‎ 则|g(x)|的图象如图:‎ 若方程f(x)﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根,‎ 则满足a>9或0<a<1,‎ 故答案为:(0,1)∪(9,+∞)‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,共80分)‎ ‎15.(13分)(2014•天津)已知函数f(x)=cosx•sin(x+)﹣cos2x+,x∈R.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)在闭区间[﹣,]上的最大值和最小值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简,再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)化简的函数解析式和条件中x的范围,求出的范围,再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=cosx•(sinxcosx)‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ 所以,f(x)的最小正周期=π.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=,‎ 由x∈[﹣,]得,2x∈[﹣,],则∈[,],‎ ‎∴当=﹣时,即=﹣1时,函数f(x)取到最小值是:,‎ 当=时,即=时,f(x)取到最大值是:,‎ 所以,所求的最大值为,最小值为.‎ ‎ ‎ ‎16.(13分)(2014•天津)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).‎ ‎(Ⅰ)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;‎ ‎(Ⅱ)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数,代入古典概型概率公式求出值;‎ ‎(Ⅱ)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,(k=0,1,2,3)列出随机变量X的分布列求出期望值.‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A,‎ 则,‎ 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.‎ ‎(Ⅱ)解:随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,(k=0,1,2,3)‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望.‎ ‎ ‎ ‎17.(13分)(2014•天津)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:BE⊥DC;‎ ‎(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.‎ ‎【分析】(I)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出BE,DC的方向向量,根据•=0,可得BE⊥DC;‎ ‎(II)求出平面PBD的一个法向量,代入向量夹角公式,可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)根据BF⊥AC,求出向量的坐标,进而求出平面FAB和平面ABP的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值.‎ ‎【解答】证明:(I)∵PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,‎ 以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ ‎∵AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.‎ ‎∴B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1)‎ ‎∴=(0,1,1),=(2,0,0)‎ ‎∵•=0,‎ ‎∴BE⊥DC;‎ ‎(Ⅱ)∵=(﹣1,2,0),=(1,0,﹣2),‎ 设平面PBD的法向量=(x,y,z),‎ 由,得,‎ 令y=1,则=(2,1,1),‎ 则直线BE与平面PBD所成角θ满足:‎ sinθ===,‎ 故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.‎ ‎(Ⅲ)∵=(1,2,0),=(﹣2,﹣2,2),=(2,2,0),‎ 由F点在棱PC上,设=λ=(﹣2λ,﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),‎ 故=+=(1﹣2λ,2﹣2λ,2λ)(0≤λ≤1),‎ 由BF⊥AC,得•=2(1﹣2λ)+2(2﹣2λ)=0,‎ 解得λ=,‎ 即=(﹣,,),‎ 设平面FBA的法向量为=(a,b,c),‎ 由,得 令c=1,则=(0,﹣3,1),‎ 取平面ABP的法向量=(0,1,0),‎ 则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足:‎ cosα===,‎ 故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为:‎ ‎ ‎ ‎18.(13分)(2014•天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设椭圆的右焦点为F2(c,0),由|AB|=|F1F2|.可得,再利用b2=a2﹣c2,e=即可得出.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b2=c2.可设椭圆方程为,设P(x0,y0),由F1(﹣c,0),B(0,c),可得,.利用圆的性质可得,于是=0,得到x0+y0+c=0,由于点P在椭圆上,可得.联立可得=0,解得P.设圆心为T(x1,y1),利用中点坐标公式可得T,利用两点间的距离公式可得圆的半径r.设直线l的方程为:y=kx.利用直线与圆相切的性质即可得出.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设椭圆的右焦点为F2(c,0),‎ 由|AB|=|F1F2|,可得,化为a2+b2=3c2.‎ 又b2=a2﹣c2,∴a2=2c2.‎ ‎∴e=.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b2=c2.因此椭圆方程为.‎ 设P(x0,y0),由F1(﹣c,0),B(0,c),可得=(x0+c,y0),=(c,c).‎ ‎∵,‎ ‎∴=c(x0+c)+cy0=0,‎ ‎∴x0+y0+c=0,‎ ‎∵点P在椭圆上,∴.‎ 联立,化为=0,‎ ‎∵x0≠0,∴,‎ 代入x0+y0+c=0,可得.‎ ‎∴P.‎ 设圆心为T(x1,y1),则=﹣,=.‎ ‎∴T,‎ ‎∴圆的半径r==.‎ 设直线l的斜率为k,则直线l的方程为:y=kx.‎ ‎∵直线l与圆相切,‎ ‎∴,‎ 整理得k2﹣8k+1=0,解得.‎ ‎∴直线l的斜率为.‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)(2014•天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1,xi∈M,i=1,2,…n}.‎ ‎(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;‎ ‎(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.‎ ‎【分析】(Ⅰ)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|,xi∈M,i=1,2,3}.即可得到集合A.‎ ‎(Ⅱ)由于ai,bi∈M,i=1,2,…,n.an<bn,可得an﹣bn≤﹣1.‎ 由题意可得s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…++≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1],‎ 再利用等比数列的前n项和公式即可得出.‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:当q=2,n=3时,‎ M={0,1},A={x|,xi∈M,i=1,2,3}.‎ 可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.‎ ‎(Ⅱ)证明:由设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.an<bn,∴an﹣bn≤﹣1.‎ 可得s﹣t=(a1﹣b1)+(a2﹣b2)q+…++‎ ‎≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1]‎ ‎=<0.‎ ‎∴s<t.‎ ‎ ‎ ‎20.(14分)(2014•天津)设f(x)=x﹣aex(a∈R),x∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1<x2.‎ ‎(Ⅰ)求a的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)证明:随着a的减小而增大;‎ ‎(Ⅲ)证明x1+x2随着a的减小而增大.‎ ‎【分析】(Ⅰ)对f(x)求导,讨论f′(x)的正负以及对应f(x)的单调性,得出函数y=f(x)有两个零点的等价条件,从而求出a的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)由f(x)=0,得a=,设g(x)=,判定g(x)的单调性即得证;‎ ‎(Ⅲ)由于x1=a,x2=a,则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln,令=t,整理得到x1+x2=,令h(x)=,x∈(1,+∞),得到h(x)在(1,+∞)上是增函数,故得到x1+x2随着t的减小而增大.再由(Ⅱ)知,t随着a的减小而增大,即得证.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=x﹣aex,∴f′(x)=1﹣aex;‎ 下面分两种情况讨论:‎ ‎①a≤0时,f′(x)>0在R上恒成立,∴f(x)在R上是增函数,不合题意;‎ ‎②a>0时,由f′(x)=0,得x=﹣lna,当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(﹣∞,﹣lna)‎ ‎﹣lna ‎(﹣lna,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f(x)‎ 递增 极大值﹣lna﹣1‎ 递减 ‎∴f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣lna),减区间是(﹣lna,+∞);‎ ‎∴函数y=f(x)有两个零点等价于如下条件同时成立:‎ ‎①f(﹣lna)>0;‎ ‎②存在s1∈(﹣∞,﹣lna),满足f(s1)<0;‎ ‎③存在s2∈(﹣lna,+∞),满足f(s2)<0;‎ 由f(﹣lna)>0,即﹣lna﹣1>0,解得0<a<e﹣1;‎ 取s1=0,满足s1∈(﹣∞,﹣lna),且f(s1)=﹣a<0,‎ 取s2=+ln,满足s2∈(﹣lna,+∞),且f(s2)=(﹣)+(ln﹣)<0;‎ ‎∴a的取值范围是(0,e﹣1).‎ ‎(Ⅱ)证明:由f(x)=x﹣aex=0,得a=,‎ 设g(x)=,由g′(x)=,得g(x)在(﹣∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,‎ 并且当x∈(﹣∞,0)时,g(x)≤0,当x∈(0,+∞)时,g(x)≥0,‎ x1、x2满足a=g(x1),a=g(x2),a∈(0,e﹣1)及g(x)的单调性,可得x1∈(0,1),x2∈(1,+∞);‎ 对于任意的a1、a2∈(0,e﹣1),设a1>a2,g(X1)=g(X2)=a1,其中0<X1<1<X2;‎ g(Y1)=g(Y2)=a2,其中0<Y1<1<Y2;‎ ‎∵g(x)在(0,1)上是增函数,∴由a1>a2,得g(Xi)>g(Yi),可得X1>Y1;类似可得X2<Y2;‎ 又由X、Y>0,得<<;∴随着a的减小而增大;‎ ‎(Ⅲ)证明:∵x1=a,x2=a,∴lnx1=lna+x1,lnx2=lna+x2;‎ ‎∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln,设=t,则t>1,‎ ‎∴,解得x1=,x2=,‎ ‎∴x1+x2=…①;‎ 令h(x)=,x∈(1,+∞),则h′(x)=;‎ 令u(x)=﹣2lnx+x﹣,得u′(x)=,当x∈(1,+∞)时,u′(x)>0,‎ ‎∴u(x)在(1,+∞)上是增函数,∴对任意的x∈(1,+∞),u(x)>u(1)=0,‎ ‎∴h′(x)>0,∴h(x)在(1,+∞)上是增函数;‎ ‎∴由①得x1+x2随着t的增大而增大.‎ 由(Ⅱ)知,t随着a的减小而增大,‎ ‎∴x1+x2随着a的减小而增大.‎ ‎ ‎