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- 2021-05-14 发布
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导数在研究函数中的应用
【选题明细表】
知识点、方法
题号
函数的单调性与导数
1、7、10
函数的极值与导数
2、3、5
函数的最值与导数
6、9
综合应用
4、8、11
一、选择题
1.(2013厦门市高三上学期期末质检)函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是( D )
(A)(-∞,0) (B)(0,+∞)
(C)(-∞,-3)和(1,+∞) (D)(-3,1)
解析:y'=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3),
由y'>0⇒x2+2x-3<0⇒-30,且开口向下,所以a<0,b>0,所以f(-1)=2a-b<0,也满足条件;选项D中,对称轴x=-<-1,且开口向上,所以a>0,b>2a,所以f(-1)=2a-b<0,这与图象矛盾,故选D.
3.(2013年高考大纲全国卷)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c等于( A )
(A)-2或2 (B)-9或3
(C)-1或1 (D)-3或1
解析:∵y'=3(x+1)(x-1),
∴当x=-1或x=1时取得极值,
由题意得f(1)=0或f(-1)=0,
即c-2=0或c+2=0,
解得c=2或c=-2.故选A.
4.(2013福建龙岩质检)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则导函数f'(x)的图象不可能是( D )
解析:若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值,则此函数在某点两侧的单调性相反,也就是说导函数f'(x)在此点两侧的导函数值的符号相反,所以导函数的图象要穿过x轴,观察四个选项中的图象只有D项是不符合要求的,即f'(x)的图象不可能是D.
5.(2013年高考重庆卷)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是( C )
解析:∵f(x)在x=-2处取得极小值,
∴当x<-2时,f(x)单调递减,即f'(x)<0;
当x>-2时,f(x)单调递增,即f'(x)>0.
∴当x<-2时,y=x·f'(x)>0;
当x=-2时,y=x·f'(x)=0;
当-20时,y=x·f'(x)>0,
结合图象知选C.
6.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m、n∈[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是( A )
(A)-13 (B)-15 (C)10 (D)15
解析:求导得f'(x)=-3x2+2ax,
由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,
即-3×4+2a×2=0,∴a=3.
由此可得f(x)=-x3+3x2-4,
f'(x)=-3x2+6x,
易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,
∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.
又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,
且对称轴为x=1,
∴当n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9.
故f(m)+f'(n)的最小值为-13.故选A.
二、填空题
7.(2013南充市第一次适应性考试)设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)对任意的x∈(0,+∞)都有f[f(x)-log2x]=6.若x0是方程f(x)-f'(x)=4的一个解,且x0∈(a,a+1)(a∈N*),则a=.
解析:根据已知f(x)在(0,+∞)上是单调函数,又对任意的x∈(0,+∞)都有f[f(x)-log2x]=6,得f(x)-log2x必为常数,记为C,即f(x)-log2x=C.
令x=C,f(C)-log2C=C,而f(C)=6,易知C=4,
所以f(x)=4+log2x,f'(x)=.
又因为f(1)=4,f'(1)=>0,f(2)=5,
f'(2)=<1,所以f(1)-f'(1)<4,f(2)-f'(2)>4,
根据零点存在性定理知,方程f(x)-f'(x)=4在(1,2)内必有一个解.又由于f(x)-f'(x)是一个增函数,
故方程f(x)-f'(x)=4在(1,2)内只有一个解.因此a=1.
答案:1
8.(2013广州模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(a∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为.
解析:由题意得f'(x)=3ax2-3,
当a≤1时,在[-1,1]上恒有f'(x)=3ax2-3≤0,
∴f(x)在[-1,1]上为减函数,
∴f(x)最小值=f(1)=a-2≥0,
解之得a≥2(与条件a≤1矛盾),不符合题意;
当a>1时,令f'(x)=0可得x=±,
当x∈时,f'(x)<0,f(x)为减函数;
当x∈,x∈时,f'(x)>0,f(x)为增函数.
∴x=±为极值点,要使f(x)≥0成立,
只需
即
∴a=4.
答案:4
三、解答题
9.已知函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x),
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若x∈时,f(x)-1),
∴f'(x)=(1+x)-=(x>-1),
∴-10时,f'(x)>0,
∴函数f(x)的单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,+∞).
(2)由(1)知,函数f (x)在上单调递减,在(0,e-1)上单调递增.
又∵f=+1,f(e-1)=e2-1>+1,
∴f(x)≤e2-1,
又f(x)e2-1.
10.(2013石家庄市高中毕业班教学质检)已知函数f(x)=aln x-2ax+3(a≠0).
(1)设a=-1,求函数f(x)的极值;
(2)在(1)的条件下,若函数g(x)=x3+x2[f'(x)+m].(其中f'(x)为f(x)的导数)在区间(1,3)上不是单调函数,求实数m的取值范围.
解:(1)当a=-1,f(x)=-ln x+2x+3(x>0),
f'(x)=-+2,
∴函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.
∴函数f(x)的极小值是
f=-ln +2×+3=ln 2+4,无极大值.
(2)g(x)=x3+x2,
∴g'(x)=x2+(4+2m)x-1,
∵g (x)在区间(1,3)上不是单调函数,
且g'(0)=-1,
∴
∴
即-0).
(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)在区间,2上的最值;
(2)若函数f(x)在定义域内是单调函数,求a的取值范围.
解:(1)∵f(x)=ax2-3x+ln x,
∴f'(x)=2ax-3+,
又f'(1)=0,
∴2a-2=0,
∴a=1,
∴f(x)=x2-3x+ln x,f'(x)=2x-3+,
令f'(x)=0,即2x-3+=0,
解得x=或x=1.
列表如下:
x
1
(1,2)
2
f'(x)
-
0
+
f(x)
--ln 2
减
-2
增
-2+ln 2
∴当x=1时,f(x)min=-2;
∵f(2)-f=-2+ln 2++ln 2=ln 4->1->0,
∴当x=2时,f(x)max=-2+ln 2.
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2ax-3+=,
令Δ=9-8a.
当a≥时,Δ≤0,f'(x)≥0,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
当00,方程2ax2-3x+1=0有两个不相等的正根x1,x2,不妨设x10,当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,这时,函数f(x)在定义域内不是单调函数.
综上,a的取值范围是.
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