全国I卷地区高考模拟理数卷 13页

‎2019届全国I卷地区高考模拟理科数学卷（一）‎ 考试时间120分钟 总分150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若z为复数，，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 若集合，N为自然数集，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.‎ 根据该折线图，下列结论错误的是（ ）‎ A. 月接待游客量逐月增加 ‎ B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 ‎ D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎4. 在等比数列中，公比，前87项和，则（ ）‎ ‎ A. 60 B. 80 C. 160 D. 180‎ ‎5. 把不超过实数的最大整数记作，则函数称作取整函数，又称作高斯函数. 在上任取，则的概率为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为、，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 祖暅是南北朝时期的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④‎ 分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）‎ A. ①④ B. ①③ ‎ C. ②④ D. ①②‎ ‎8. 已知A(－2，0)，B(2，0)，斜率为k的直线l上存在不同的两点M、N满足|MA|－|MB|＝2，‎ ‎|NA|－|NB|＝2，且线段MN的中点为(6，1)，则k的值为（ ）　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A. －2 B. C. D. 2‎ ‎9. 如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边长分别为a、b(a＞b)，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知，下列结论中错误的是（ ）‎ A. 即是偶函数又是周期函数 B. 的最大值为1‎ C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 ‎11. 已知P为椭圆上一个动点，过点P作圆的两条切线，切点分别是A、B，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 在三棱锥A—BCD中，AB＝AC，DB＝DC，，AB⊥BD，则三棱锥 A—BCD的外接球的体积的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分. 第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、选择题：本大题共4 小题，每小题5 分.‎ ‎13. 将数“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为___________.‎ ‎14. 在平面直角坐标系xOy中，不等式组所表示的平面区域为Ω，若Ω的面积为，且点P(x，y)在Ω内（包括边界），则的取值范围是________.‎ ‎15. 已知数列是正项数列，是数列的前n项和，且满足. 若，是数列的前n项和，则_________.‎ ‎16. 已知函数，若a、b、c是函数的三个零点，则的取值范围是___________.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 如图，已知△ABC关于AC边对称图形为△ADC，延长BC边交AD于点E，且AE＝5，DE＝2，.‎ ‎（1）求BC边的长；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在空间多面体ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，△ADE是正三角形，，.‎ ‎ （1）求证：平面CDE⊥平面ADE；‎ ‎ （2）求二面角C—BE—A的余弦值.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 移动扫码支付是指用户使用手机上的扫描工具扫描二维码进行支付，今天的移动支付，渗透到了我们生活的方方面面，不仅叫外卖、购物、买票可以使用移动支付，就是去菜市场买菜，或者在路边买一碗豆腐脑，都可以使用移动支付. 某网站调查平台，通过问卷调查不同年龄段的网民使用移动支付的情况，并从参与调查者中随机抽取了100人，经统计得到如下数据：‎ 年龄（岁）‎ 人数 ‎10‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎5‎ ‎5‎ 使用移动支付人数 ‎8‎ ‎25‎ ‎24‎ ‎10‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎（1）若把年龄低于45岁的调查者称为青少年，年龄不低于45岁的调查者称为中老年，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并通过计算判断是否有99.9%的把握认为“年龄与使用移动支付有关”？‎ 中老年 青少年 合计 使用 不使用 合计 ‎ （2）若从年龄，‎ 的调查者中（人数很多）各随机选取两人进行跟踪调查，记选中的4人中使用移动支付的人数为X，求随机变量X的分布列及期望.‎ 附：参考数据如下：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知抛物线C：的焦点F，直线l交C于A、B两点.‎ ‎（1）若直线l过焦点F，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点M，求证：点M在抛物线C的准线上，并写出点M的轨迹方程；‎ ‎（2）若直线l的斜率为1，是否存在抛物线C，使得直线OA、OB的斜率之积为－2，且△OAB的面积为16，若存在，求C的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知，，.‎ ‎ （1）若，，求的极值；‎ ‎ （2）若函数的两个零点为、()，记，求证.‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一道题给分.‎ ‎22.（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，‎ ‎0≤α＜π），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.‎ ‎ （1）若直线l过点(2，0)，求直线l的极坐标方程；‎ ‎ （2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求的最大值.‎ ‎23.（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】‎ 已知.‎ ‎ （1）解不等式；‎ ‎ （2）若(a、b、c∈R+)对恒成立，求证.‎ ‎2019届全国I卷地区高考模拟理科数学卷（一）‎ 答题卡 班别：____________ 姓名：______________ 学号：__________ 成绩：_____________‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 第Ⅱ卷 二、选择题：本大题共4 小题，每小题5 分.‎ ‎13. _______________ 14. _______________‎ ‎15. _______________ 16.________________‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 续第18题 ‎19.（本小题满分12分）‎ ‎（1）2×2列联表如下表所示：‎ 中老年 青少年 合计 使用 不适用 合计 ‎（2）‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 续第21题 选做题（本小题满分10分）‎ 我所选做的题号是：__________‎ ‎2019届全国I卷地区高考模拟理科数学卷（一）‎ 参考答案与解析 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D C A B D B A D B B C A ‎1. D【解析】，∴.‎ ‎2. C【解析】，可知.‎ ‎3. A【解析】由题中折线图可知，每年的月接待游客量从8月份开始有下降趋势.‎ ‎4. B【解析】法一：‎ 法二：设，，‎ ‎，则，. 由题知，‎ 所以，解得，.‎ ‎5. D【解析】当时，，即. 当，即时，；当，即时，；综上，当时，. 故所求概率为.‎ ‎6. B【解析】如图，过点F作BC的平行线交DE于G，‎ 则G是DE的中点，且，∴，易知△AHD∽△FHG，从而，∴， 而又因为，∴.‎ ‎7. A【解析】设截面与底面的距离为h，则①中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为；②中截面圆的半径为，则截面圆的面积为；③中截面圆的半径为，则截面圆的面积为；④中截面圆的半径为，则截面圆的面积为. 所以①④中截面的面积相等,故其体积相等.‎ ‎8. D【解析】由题知，点M、N在以点A(－2，0)，B(2，0)为焦点，为实轴长的双曲线的右支上，即在双曲线的右支上. 设、，则，，两式作差，得，∴.‎ ‎9. B【解析】设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为，，，化简得，即，‎ 因为a＞b，所以，.‎ ‎10. B【解析】，得即是偶函数又是周期函数，A正确；，令，，，可知在和上单调减，在上单调增，又，，∴，B错误；得的图象关于点对称，C正确；得的图象关于直线对称，D正确.‎ ‎11. C【解析】如图，记，，则点F即是椭圆的左焦点，又是圆的圆心，由勾股定理知，而，‎ ‎∴，. ‎ 令，则，∴在上递减，在上递增，∴，而，，‎ ‎∴，即.‎ ‎12. A【解析】如图，因为AB＝AC，DB＝DC，AD＝AD，所以 ‎△ABD≌△ACD，∴∠ABD＝∠ACD＝90°. 取AD的中点O，连接OB、OC，则有OA＝OB＝OC＝OD，即O是三棱锥A—BCD的外接球的球心，OA是该球的半径. 而 ‎，当且仅当AB＝DB＝2时取等号，所以该球体积的最小值为.‎ ‎13. 240【解析】法一：将数“124467”重新排列后为偶数，则末位数字应为偶数. (1)若末位数字为2，因为含有2个4，所以有种情况；(2)若末位数字为6，同理有种情况；(3)若末位数字为4，因为有两个相同数字4，所以共有5×4×3×2×1＝120种情况. 综上，共有60＋60＋120＝240种情况. ‎ 法二：把“124467”看成6个数，有4个是偶数，2个是奇数，则这6个数排列后可得到个偶数，由于这6个数含有两个4，所以将数“124467”重新排列后为偶数的个数为（消序法）.‎ ‎14. 【解析】由题知a＝2，如图所示，表示直线 AP的斜率，即虚线OA、AB内部的直线斜率；通过计算，得，，所以的取值范围为.‎ ‎15. 【解析】由题知当n≥2时，，即；当 n＝1时，，得，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，，. ∴，，.‎ ‎16. 【解析】函数的图象如图所示，不妨假设a＜b＜c，则0＜a＜1，1＜b＜e，e＜c＜e2. 由，得，，‎ ‎∴. 令（1＜b＜e），由于在上单调减，‎ ‎∴，，即.‎ ‎17.【解析】（1）∵，∴，‎ ‎∴. 又，‎ ‎∴，即.‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）由（1）知，，则，.‎ ‎∵，∴，，∴‎ ‎.‎ ‎18.【解析】（1）∵，，∴，∴CD⊥DE.‎ 又AD⊥CD，AD∩DE＝D，∴CD⊥平面ADE. ‎ ‎∵CD平面CDE，∴平面CDE⊥平面ADE.‎ ‎（2）在平面ADE内过点D作DF⊥DE，又平面CDE⊥平面ADE，‎ 交线为DE，∴DF⊥平面CDE. 以D为原点，分别以DC、DE、DF为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，不妨假设，则，，，. ∴，，，. 易求，.‎ ‎∴，即求二面角C—BE—A的余弦值为.‎ ‎19.【解析】（1）2×2列联表如下所示：‎ 中老年 青少年 合计 使用 ‎13‎ ‎57‎ ‎70‎ 不使用 ‎17‎ ‎13‎ ‎30‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎∴，即有99.9%的把握认为“年龄与使用移动支付有关”.‎ ‎（2）由题可知，年龄在的调查者中使用移动支付的概率为，年龄在的调查者中使用移动支付的概率为，X的所有可能取值为0，1，2，3，4.‎ ‎∴，，‎ ‎，‎ ‎，.‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴X的期望.‎ ‎20.【解析】（1）设直线l的方程为，代入抛物线，得.‎ 由韦达定理，得，而直线OA的方程为，直线BM的方程为().‎ 联立，得，得，∴点M在抛物线C的准线上，且点M的轨迹方程为.‎ ‎（2）假设存在抛物线C，使得直线OA、OB的斜率之积为－2，且△OAB的面积为16.‎ 设直线l的方程为，代入抛物线，得，∴.‎ ‎∵，∴，即直线l过点P(0，4p).‎ ‎∵，，∴.‎ 解得，即存在抛物线C满足题意且抛物线C的方程为.‎ ‎21.【解析】（1），∴.‎ 当时，；当时，；∴在上单调增，在上单调减，∴，不存在.‎ ‎（2）不妨假设，∴，.‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.要证明，只要证.‎ 令，，∴.‎ ‎∴在上单调减，，即，证毕.‎ ‎22.【解析】（1）由直线l过点(2，0)，得，解得，即直线l的斜率为－1. ∴直线l的普通方程，即. 把，代入得直线l的极坐标方程为.‎ ‎（2）由题知，曲线C的直角坐标方程为，∴曲线C过极点O，且直线l过曲线C的圆心. 即OA⊥OB.‎ 法一：在极坐标系下，设，.‎ ‎∴.‎ 当，即，时，取最大值4.‎ 法二：AB是曲线C的直径，.‎ 由基本不等式，得，.‎ 当且仅当时，取等号，即的最大值为4.‎ ‎23.【解析】（1）由题知或或，∴不等式的解集为.‎ ‎（2）由的图像性质可知，即.‎ ‎∴，‎ 即. 而方程组无解，故上述等号不可取，故.‎