例说高考中直线与圆方程题目的分类解析剖析 15页

例说高考中直线与圆方程题目的分类解析（教师） 考点分析 高考对解析几何的考查一般是三个小题一个大题，所占分值约３０分。其规律是线性规划、 直线与圆各一个小题，涉及圆锥曲线的图形、定义或简单几何性质的问题一个小题，直线与圆 锥曲线的综合问题一个大题。解析几何的重点仍然是圆锥曲线的性质，包括：直线的倾斜角、 斜率、夹角、距离、平行垂直、点对称、直线对称、线性规划有关问题等等。直线和圆锥曲线 的位置关系以及轨迹问题，仍然以考查方程思想及用韦达定理处理弦长和弦中点为重点。坐标 法使平面向量与平面解析几何自然地联系并有机结合起来。相关交汇试题应运而生，涉及圆锥 曲线参数的取值范围问题也是命题亮点。 知识要点 1、直线的倾斜角、斜率 （1）k=tanα，α∈[0， ),2()2   由正切函数可知，当α∈（0， 2  ），α递增时，斜率 k→+∞。当α∈（ 2  ，π），α递减 时，斜率 k→-∞。当涉及到斜率参数时，通常对 k 是否存在分类讨论。 （2）直线的方向向量 (1, )a k ，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ （3）应用：证明三点共线： AB BCk k 。 2、直线方程 求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。确定直线方 程需要有两个互相独立的条件，本质是确定方程中的两个独立系数(一点和斜率：在 x 轴上的截 距和斜率、两点、在两坐标轴上的截距). 设直线方程的一些常用技巧： （1）知直线纵截距b ，常设其方程为 y kx b  ； （2）知直线横截距 0x ，常设其方程为 0x my x  (它不适用于斜率为 0 的直线)； （3）知直线过点 0 0( , )x y ，当斜率 k 存在时，常设其方程为 0 0( )y k x x y   ，当斜率 k 不存在时，则其方程为 0x x ； （4）与直线 : 0l Ax By C   平行的直线可表示为 1 0Ax By C   ； （5）与直线 : 0l Ax By C   垂直的直线可表示为 1 0Bx Ay C   . 3、两条直线平行与垂直，两条直线所成的角和点到直线的距离公式 利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接作出结论，设 0: 1111  CyBxAl 0: 2222  CByAxl (1) 21 //ll 则 2 1 2 1 2 1 C C B B A A  或 12211221 , CACABABA  (2) 1l 到 2l 的角是指直线 1l 绕着交点按逆时针方向转到和直线 2l 重合所转的角  ，   ,0 且 tan  = 21 12 1 kk kk   ( 1 2 1k k   )； 1l 与 2l 相交,则 1221 BABA  ，其夹角公式为 21 21 kk1 kktan   ，其中 k1，k2 分别表示1 及2 斜率，当1 或2 斜率不存在时，画图通过三角形求 解，1 与2 夹角为θ∈（0， 2  ] (3) 1l 与 2l 重合,则 2 1 2 1 2 1 C C B B A A  或 12211221 , CACABABA  (4) 21 ll  则 02121  BBAA ；若直线 1l 和 2l 的方向向量 （5）点 0 0( , )P x y 到直线 0Ax By C   的距离 0 0 2 2 Ax By Cd A B    ； （6）两平行线 1 1 2 2: 0, : 0l Ax By C l Ax By C      （C1≠C2）间的距离为 1 2 2 2 C Cd A B   。 4、对称（中心对称、轴对称和特殊点对称）问题 此为高考的热点问题，一般包括点关于点、曲线关于点、点关于直线、曲线关于直线的对 称，除掌握通法外，还应记住一些常用的结论. （1）曲线 0),( yxf 关于点 ),( baA 对称曲线的方程是 0)2,2(  ybxaf （2）曲线 0),( yxf 关于直线 bkx  的对称曲线的求法（代入法）①设所求曲线上任意一 点 ),( yxP 关于直线的对称点是 ),( yxP  ，由         bxxkyy kxx yy 22 1 求出 yx , ；②把点 ),( yxP  代入方程 0),( yxf 即为所求曲线. 5、曲线和方程、与圆有关的轨迹问题. 圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆 的方程。 6、圆的标准方程、一般方程和参数方程 确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法。 圆方程常见形式：① 标准式；② 一般式；③ 参数式：(x-a)2+(y-b)2=R2（R>0）的参数式为： x=a+Rcosθ，y=b+Rsinθ，其中θ为参数，表示旋转角，参数式常用来表示圆周上的点。圆的 参 数 方 程 的 主 要 应 用 是 三 角 换 元 ： 2 2 2 cos , sinx y r x r y r      ； 2 2x y t  cos , sin (0 )x r y r r t      。圆的参数方程，沟通了这一知识与三角函数之 间的联系。 7、两圆的位置关系 （用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为 1 2O O， ，半径分别为 1 2,r r ，则（1）当 1 2 1 2|O O r r  时，两圆外离；（2）当 1 2 1 2|O O r r  时，两圆外切；（3）当 1 2 1 2 1 2<|O Or r r r   时 ， 两 圆 相 交 ；（ 4 ） 当 1 2 1 2|O O |r r  时 ， 两 圆 内 切 ；（ 5 ） 当 1 2 1 20 |O O |r r   时，两圆内含。圆与圆的位置关系主要研究两个方面，一是用几何方法判 断圆与圆的位置关系；二是对应位置关系下的简单的几何特征如切线或弦长． 8、综合问题 此类题难度较大，一般以解答题形式出现，要注意数形结合的思想，利用圆的几何性质简化 解题过程。直线和圆位置关系及圆和圆位置关系常借助于平面几何知识，而不采用方程组理论 （△法）。 （1）直线与圆的位置关系直线： : 0l Ax By C   和圆    2 2 2C：x a y b r     0r  有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法（判断直线与圆方 程联立所得方程组的解的情况）： 0   相交； 0   相离； 0   相切；②几何方 法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为 d ，则 d r  相交； d r  相离； d r  相切。 （2）圆的切线与弦长：切线：①过圆 2 2 2x y R  上一点 0 0( , )P x y 圆的切线方程是： 2 0 0xx yy R  ， 过 圆 2 2 2( ) ( )x a y b R    上 一 点 0 0( , )P x y 圆 的 切 线 方 程 是 ： 2 0 0( )( ) ( )( )x a x a y a y a R      ，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距 离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运 用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程 的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点 的 直 线 方 程 ； 过 两 圆 1 : ( , ) 0C f x y  、 2 : ( , ) 0C g x y  交 点 的 圆 ( 公 共 弦 ) 系 为 ( , ) ( , ) 0f x y g x y  ，当 1   时，方程 ( , ) ( , ) 0f x y g x y  为两圆公共弦所在直线方程.。 ④切线长： （3）直线被圆截得弦长的求法：①几何法：常用弦心距 d ，弦长一半 1 2 a 及圆的半径 r 所构 成 的 直 角 三 角 形 来 解 ： 2 2 21( )2r d a  ； ② 代 数 法 ： 设 直 线 mkxy  与 圆 2 2 2( ) ( )x a y b R    相交于 BA, 两点.将直线方程与圆的方程联立后，整理出关于 x 的方程， 求出 BABA xxxx , ，则 ]4))[(1( 22 BABA xxxxk AB （4）圆与圆锥曲线的交汇 题目类型及解题策略 一、有关直线的倾斜角、斜率问题 例 1 （2010 重庆理）直线 y= 3 23 x  与圆心为 D 的圆 3 3 cos , 1 3sin x y         0,2   交与 A、B 两点，则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为 A. 7 6  B. 5 4  C. 4 3  D. 5 3  解 析 ： 数 形 结 合 301     302 由圆的性质可知 21     3030 ，故   4 3  高考怎样考？ 1.（2008 安徽文理）若过点 (4,0)A 的直线l 与曲线 2 2( 2) 1x y   有公共点，则直线l 的斜率 的取值范围为 （ C ） A.[ 3, 3] B. ( 3, 3) C. 3 3[ , ]3 3  D. 3 3( , )3 3  2.（2010 江西理）直线 3y kx  与圆   2 23 2 4x y    相交于 M,N 两点，若 2 3MN  ， 则 k 的取值范围是 A. 3 04     ， B.  3 04        ， ， C. 3 3 3 3      ， D. 2 03     ， 解法 1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与 y 轴相切.当| MN | 2 3 时 ，由点到直线距离公式， 解得 3[ ,0]4  ； 解法 2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取  ，排除 B，考虑区间 不对称，排除 C，利用斜率估值，选 A 3.（2009 全国卷Ⅰ文）若直线 m 被两平行线 1 2: 1 0 : 3 0l x y l x y     与 所截得的线段的 长为 22 ，则 m 的倾斜角可以是 ①15 ② 30 ③ 45 ④ 60 ⑤ 75 其中正 确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 解：两平行线间的距离为 2 11 |13|   d ，由图知直线 m 与 1l 的夹角为 o30 ， 1l 的倾斜角 为 o45 ，所以直线 m 的倾斜角等于 00 754530 o 或 00 153045 o 。故填写①或⑤ 4.（2006 全国Ⅱ）过点（ ， 2 ）的直线 将圆 4)2( 22  yx 分成两段弧，当劣弧所对的圆 心角最小时，直线 的斜率 2 2 5.（2008 宁夏海南文）已知 ,mR 直线 mymmxl 4)1(: 2  和圆 01648: 22  yxyxC . （Ⅰ）求直线l 斜率的取值范围； （Ⅱ）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为 2 1 的两段圆弧？为什么？ 解 ：（ Ⅰ ） 2 2 , 0( )1 mk km m km       ， ,mR ∴ 当 k ≠ 0 时 0≥ ， 解 得 1 1 2 2k ≤ ≤ 且 k≠0 又当 k＝0 时，m＝0，方程 ( ) 有解，所以，综上所述 1 1 2 2k ≤ ≤ （Ⅱ）假设直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为 2 1 的两段圆弧．设直线l 与圆C 交于 A，B 两点，则∠ACB＝120°．∵圆 2 2:( 4) ( 2) 4C x y    ，∴圆心 C（4，-2）到 l 的距离为 1．故 有 2 2 2 2 4 2( 1) 4 1 ( 1) m m m m m       ，整理得 4 23 5 3 0m m   ． ∵ 25 4 3 3 0      ，∴ 4 23 5 3 0m m   无实数解．因此直线l 不可能将圆C 分割成弧 长的比值为 2 1 的两段圆弧． 二、直线方程 例 2 已知圆 C 过点 ）（ 0,1 ，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 1:  xyl 被圆 C 所截得的弦长 为 22 ，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 解析：由题意，设所求的直线方程为 x+y+m=0 ，设圆心坐标为 (a,0) ，则由题意知： 2 2| a-1|( ) +2=(a-1) 2 ，解得 a=3或-1，又因为圆心在 x 轴的正半轴上，所以 a=3，故圆心坐标为 （3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0 ，即 m=-3，故所求的直线方 程为 x+y-3=0 。 高考怎样考？ 1．（07 天津）已知两圆 2 2 10x y  和 2 2( 1) ( 3) 20x y    相交于 A B， 两点，则直线 AB 的 方程是 ． 3 0x y  2.（2008 四川文理）将直线 3y x 绕原点逆时针旋转 90 ，再向右平移1个单位，所得到的直 线为（ A ） A. 1 1 3 3y x   B. 1 13y x   C. 3 3y x  D. 1 13y x  解析：旋转 090 则与原直线垂直，故旋转后斜率为 3 1 ．再右移 1 得 )1(3 1  xy ． 3.（2008 广东文）经过圆 2 22 0x x y   的圆心 C，且与直线 0x y  垂直的直线方程是 （ C ） A.x＋y＋1＝0 B.x＋y－1＝0 C.x－y＋1＝0 D.x－y－1＝0 4.（2008 重庆理）直线 l 与圆 x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于两点 A，B，弦 AB 的中点为（0， 1），则直线 l 的方程为 ．答案：x－y＋1＝0 三、与两条直线的位置有关问题 例 3 （2010 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 422  yx 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是________ 解析：圆半径为 2，圆心（0，0）到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1， | | 113 c  ， c 的取值范围 是（-13，13）. 高考怎样考？ 1.（07 安徽文）若圆 04222  yxyx 的圆心到直线 0 ayx 的距离为 2 2 ,则 a 的 值为（ Ｃ ） A.-2 或 2 B. 2 3 2 1 或 C.2 或 0 D.-2 或 0 2（2008 福建文）“a＝1”是“直线 x＋y＝0 和直线 x－ay＝0 互相垂直”的（ C ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2010 上海文）圆 2 2: 2 4 4 0C x y x y     的圆心到直线 3 4 4 0x y   的距离 d  解析：圆心（1,2）到直线3 4 4 0x y   距离为 35 42413  4.（2011 年浙江文)若直线与直线 2 5 0x y   与直线 2 6 0x my   互相垂直，则实数 m =_______ 解析： 1 2 1 2 1 2, , 12k k k km       直线互相垂直, ，即 1 2( ) 1, 12 mm       四、对称问题 例 4 (2011 年福建理) 已知直线 l：y=x+m，m∈R。[ （I）若以点 M（2,0）为圆心的圆与直线 l 相切与点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程； （II）若直线 l 关于 x 轴对称的直线为l，问直线l与抛物线 C：x2=4y 是否相切？说明理 由。 解法一：（I）依题意，点 P 的坐标为（0，m） 因为 MP l ，所以 0 1 12 0 m    ，解得 m=2，即点 P 的坐 标为（0，2） 从而圆的半径 2 2| | (2 0) (0 2) 2 2,r MP      故所 求圆的方程为 2 2( 2) 8.x y   （II）因为直线 l 的方程 为 ,y x m  所以直线 'l 的方程为 .y x m   由 2 2 ' , 4 4 0 4 y x m x x m x y        得 ， 24 4 4 16(1 )m m      （1）当 1, 0m   即 时，直线 'l 与抛物线 C 相切 （2）当 1m  ，那 0  时，直线 'l 与抛物线 C 不相切。 综上，当 m=1 时，直线 'l 与抛物线 C 相切；当 1m  时，直线 'l 与抛物线 C 不相切。 解法二：（1）所求圆半径为 r ，则圆方程为可设为 222)2( ryx  依题意，所求圆与直线 0:  myxl 相切于 ),0( mP ，则      rm rm 2 02 4 22 解得 22,2  rm ，所以所求圆的方程为 8)2( 22  yx 高考怎样考？ 1.（07 浙江理）直线 2 1 0x y   关于直线 1x  对称的直线方程是（ ）答案 D A. 2 1 0x y   B. 2 1 0x y   C. 2 3 0x y   D. 2 3 0x y   2.（2009 宁夏海南文）已知圆 1C ： 2( 1)x  + 2( 1)y  =1，圆 2C 与圆 1C 关于直线 1 0x y   对 称，则圆 2C 的方程为（ ） A. 2( 2)x  + 2( 2)y  =1； B. 2( 2)x  + 2( 2)y  =1； C. 2( 2)x  + 2( 2)y  =1； D. 2( 2)x  + 2( 2)y  =1 解析：设圆 2C 的圆心为 ),( ba ，则依题意，有 1 1 1 02 2 1 11 a b b a          ，解得： 2 2 a b     对称圆的 半径不变，为 1，故选 B。. 3. 若圆 014222  yxyx 关于直线 022  byax ),( Rba  对称，则 ab 的取值范围 是( ) A. 】，（ 4 1 B. 】，（ 4 10 C. ），（ 04 1 D. ），（ 4 1 解 ： 由 条 件 可 知 直 线 过 圆 心 ， 所 以 0222  ba ， 即 1 ba , 所 以 4 142)(1 222  ababbababa .故选 A. 4.（2010 湖南文）若不同两点 QP, 的坐标分别为 )3,3(),,( abba  ，则线段 PQ 的垂直平分 线 l 的 斜 率 为 -1 , 圆 1)3()2( 22  yx 关 于 直 线 对 称 的 圆 的 方 程 为 5.（2011 年山东文) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 2 2: 13 xC y  .如图所示，斜率为 ( 0)k k＞ 且不过原点的直线l 交椭圆C 于 A ， B 两 点，线段 AB 的中点为 E ，射线OE 交椭圆C 于点 G ，交直线 3x   于点 ( 3, )D m . （Ⅰ）求 2 2m k 的最小值； （Ⅱ）若 2OG OD ∙ OE ，（ i ）求证：直线 l 过 定点； （ ii ）试问点 B ，G 能否关于 x 轴对称？若能，求出 此时 ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由 . 解：（Ⅰ）由题意 : 设直线 : ( 0)l y kx n n   , 由 2 2 13 y kx n x y     消 y 得 : 2 2 2(1 3 ) 6 3 3 0k x knx n     , 设 A 1 1( , )x y 、 B 2 2( , )x y ,AB 的中点 E 0 0( , )x y ,由韦达定理得 : 1 2x x = 2 6 1 3 kn k   , 0 2 3 1 3 knx k   , 0 0 2 3 1 3 kny kx n k nk       21 3 n k ,所以中点 E 的坐标为 E 2 3( ,1 3 kn k   2 )1 3 n k , 因为 O 、 E 、 D 三点在同一直线上，所以 OE ODk K ， 即 1 3 3 m k    ，解得 1m k  ，所以 2 2m k = 2 2 1 2kk   , 当且仅当 1k  时取等号 , 即 2 2m k 的 最小值为 2. （Ⅱ）（ i ）证明 : 由题意知 :n>0, 因为直线 OD 的方程为 3 my x  , 所以由 2 2 3 13 my x x y       得交点 G 的纵坐标为 2 2 3G my m   , 又因为 21 3E ny k   , Dy m , 且 2OG OD ∙ OE ，所以 2 2 23 1 3 m nmm k    , 又由（Ⅰ）知 : 1m k  , 所以解得 k n , 所以直线l 的方程为 :l y kx k  ,即有 : ( 1)l y k x  , 令 1x   得 ,y=0, 与实数 k 无关 , 所以直线l 过定点 ）（ 0,1 .（ⅱ）假设点 GB, 关于 x 轴对称，则有 ABG 的外接圆的圆心在 x 轴上，又在线段 AB 的 中垂线上 . 由（ i ）知点 ) 3 , 3 3( 22   m m m G ，所以点 ) 3 , 3 3( 22     m m m B ，又因为直线l 过定点 ）（ 0,1 ，所以直线l 的斜率为 k mm m      13 3/ 3 22 ，又因为 km 1 ，所以解得 62 m 或 1 ，又因为 03 2  m ，所以 62 m 舍去，即 12 m ，此时 )4 1,4 3(,1,1  Emk ， AB 的中垂线为 0122  yx ， 圆心坐标为 )2 1,2 3(),0,2 1(  G ，圆半径为 2 5 ，圆方程为 4 5)2 1( 22  yx .综上所述，点 GB, 关于 x 轴对称，此时 ABG 的外接圆的方程 为 4 5)2 1( 22  yx 五、曲线和方程、与圆有关的轨迹问题. 例 5（2011 陕西理）如图，设Ｐ是圆 2 2 25x y  上的动点， 点 Ｄ是Ｐ在 x 轴上投影，Ｍ为 PD 上一点，且 4| | | |5MD PD ． （1）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程； （2）求过点（3，0）且斜率为 4 5 的直线被 C 所截线段的长度． 解：（1）设点 M 的坐标是 ( , )x y ，P 的坐标是 ( , )p px y ，因为点Ｄ是Ｐ在 x 轴上投影，Ｍ 为 PD 上一点，且 4| | | |5MD PD ，所以 px x ，且 5 4py y ， ∵P 在圆 2 2 25x y  上，∴ 2 25( ) 254x y  ， 即 C 的方程是 2 2 125 16 x y  ． （2）过点（3，0）且斜率为 4 5 的直线方程是 4 ( 3)5y x  ，设此直线与 C 的交点为 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，将直线方程 4 ( 3)5y x  代入 C 的方程 2 2 125 16 x y  得： 2 2( 3) 125 25 x x   ，化简 得 2 3 8 0x x   ，∴ 1 3 41 2x  ， 2 3 41 2x  ， 所以线段 AB 的长度是： 2 2 2 1 2 1 2 1 2 16| | ( ) ( ) (1 )( )25AB x x y y x x       41 414125 5    ， 即所截线段的长度是 41 5 高考怎样考？ 1.（2011 广东文）设圆 C 与圆 x2+（y-3）2=1 外切，与直线 y =0 相切，则 C 的圆心轨迹为（D ） A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 2.（07 四川理）已知⊙O 的方程是 x2+y2-2=0, ⊙O’的方程是 x2+y2-8x+10=0,由动点 P 向⊙O 和⊙ O’所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程是 3 2x  3.(2011 年广东理) 设圆 C 与两圆 2 2 2 25 4, 5 4x y x y    （ + ） （ ） 中的一个内切，另一个 外切. （1）求 C 的圆心轨迹 L 的方程. （2）已知点 3 5 4 5( ) 55 5M F， ，（ ，0），且 P 为 L 上 动 点，求 MP FP 的最大值及此时点 P 的坐标. 解：（1）：设 C 的圆心的坐标为 ( , )x y ，由题设条件知 2 2 2 2| ( 5) ( 5) | 4,x y x y      化简得 L 的方程为 2 2 1. 4 x y  （ 2 ） 解 ： 过 M ， F 的 直 线 l 方 程 为 2( 5)y x   ， 将 其 代 入 L 的 方 程 得 215 32 5 84 0.x x   解得 15 514,5 56 21  xx 故l 与 L 交点为 )15 52,15 514(),5 52,5 56( 21 TT  因 T1 在线段 MF 外，T2 在线段 MF 内，故 1 1| | | | | | 2,MT FT MF   2 2| | | | | | 2.MT FT MF   ，若 P 不在直线 MF 上，在 MFP 中有 | | | | | | 2.MP FP MF   故 | | | |MP FP 只在 T1 点取得最大值 2。 六、圆的标准方程、一般方程和参数方程 例 6.（07 全国文理)在直角坐标系 xOy 中，以O 为圆心的圆与直线 3 4x y  相切． （1）求圆O 的方程； （2）圆O 与 x 轴相交于 A B， 两点，圆内的动点 P 使 PA PO PB， ， 成等比数列，求 PA PB    的取值范围． 解 ：（ 1 ） 依 题 设 ， 圆 O 的 半 径 r 等 于 原 点 O 到 直 线 3 4x y  的 距 离 ， 即 4 2 1 3 r    ．得圆O 的方程为 2 2 4x y  ． （2）不妨设 1 2 1 2( 0) ( 0)A x B x x x，， ，， ．由 2 4x  即得 ( 2 0) (2 0)A B ，， ， ． 设 ( )P x y， ，由 PA PO PB， ， 成等比数列，得 2 2 2 2 2 2( 2) ( 2)x y x y x y      ，即 2 2 2x y  ． ( 2 ) (2 )PA PB x y x y        ， ，  124 222  yyx ， 由 于 点 P 在 圆 O 内 ， 故 2 2 2 2 4 2. x y x y      ， 由此得 2 1y  ．所以 PA PB    的取值范围为[ 2 0) ， ． 高考怎样考？ 1.（2008 山东文）若圆C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4 3 0x y  和 x 轴相切，则 该圆的标准方程是（ B ） A. 2 2 7( 3) 13x y       B. 2 2( 2) ( 1) 1x y    C. 2 2( 1) ( 3) 1x y    D. 2 23 ( 1) 12x y       2.（2009 辽宁文）已知圆 C 与直线 x－y＝0 及 x－y－4＝0 都相切，圆心在直线 x＋y＝0 上， 则圆 C 的方程为（ ） A. 2 2( 1) ( 1) 2x y    B. 2 2( 1) ( 1) 2x y    C. 2 2( 1) ( 1) 2x y    D. 2 2( 1) ( 1) 2x y    解析：圆心在 x＋y＝0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等 于半径 2即可. 3.（07 山东文）与直线 2 0x y   和曲线 2 2 12 12 54 0x y x y     都相切的半径最小的 圆的标准方程是 ． 2 2( 2) ( 2) 2x y    4.（2010 天津文）已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x+y+3=0 相 切。则圆 C 的方程为 。 解析：令 y=0 得 x=-1，所以直线 x-y+1=0,与 x 轴的交点为（-1.0）因为直线与圆相切，所以 圆心到直线的距离等于半径，即 | 1 0 3| 2 2 r     ，所以圆 C 的方程为 2 2( 1) 2x y   5.（2010 广东理）已知圆心在 x 轴上，半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 x+y=0 相切， 则圆 O 的方程是 解析： 2 2( 5) 5x y   ．设圆心为 ( ,0)( 0)a a  ，则 2 2 | 2 0 | 5 1 2 ar     ，解得 5a   ． 6.（07广东文）在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为 22 的圆 C 与直线 y x 相切于坐标原点O ．椭圆 2 2 2 19 x y a   与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10． (1)求圆C 的方程； (2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F的距离等于线段OF 的 长．若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解:(1) 设圆 C 的圆心为 (m, n) 则 2 2 2 m n n     解得 2 2 m n     所求的圆的方程为 2 2( 2) ( 2) 8x y    (2) 由已知可得 5102  aa ，椭圆的方程为 2 2 125 9 x y  , 右焦点为 )0,4(F 假设存在 Q 点  2 2 2 cos ,2 2 2 sin    使 QF OF ,    2 2 2 2 2 cos 4 2 2 2 sin 4       整理得 sin 3cos 2 2   代入 2 2sin cos 1   得: 210cos 12 2 cos 7 0    , 12 2 8 12 2 2 2cos 110 10         因此不存在符合题意的 Q 点. 7.（2011 年福建文) 如图，直线 l ：y=x+b 与抛物线 C ：x2=4y 相切于点 A。 （Ⅰ）求实数 b 的值； （ Ⅱ）求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. 解：（I）由 2 4 y x b x y     得 2 4 4 0x x b   ( ) 因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 2( 4) 4 ( 4 ) 0b       ,解得 1b   . （II）由（I）可知 1b   ,故方程( )即为 2 4 4 0x x   ,解得 2x  ,将其代入 2 4x y ,得 y=1,故点 A(2,1).因为圆 A 与抛物线 C 的准线 相切,所以圆心 A 到抛物线 C 的准线 y=-1 的距离等于圆 A 的半径 r,即 r=|1-(-1)|=2,所以圆 A 的方 程为 2 2( 2) ( 1) 4x y    . 8.（2011 年全国新课标文) 在平面直角坐标系中，曲线 与162  xxy 坐标轴的交点都在圆 C 上， （1）求圆 C 的方程； （2）如果圆 C 与直线 0 ayx 交于 A,B 两点，且 OBOA  ，求 a 的值。 解：（Ⅰ）曲线 162  xxy 与 y 轴交点为 )1,0( ，与 x 轴的交点为 )223(),0,223(  因而圆心坐标为 ),,3( tC 则 1)22()1(3 2222  ttt 半径为 3)1(3 22  t ，所以圆方程是 9)1()3( 22  yx （Ⅱ）设点 ),(),,( 2211 yxByxA 满足      9)1()3( 0 22 yx ayx 解得： 012)82(2 22  aaxax 041656 2  aa , 4 41656)28( 2 2,1 aaax  2 12,4 2 2121  aaxxaxx axyaxyyyxxOBOA  22112121 ,,0, 1,0)(2 2 2121  aaxxaxx 点评：本题考查曲线的交点、直线与圆的方程、直线与圆以及向量的垂直关系的综合应用， 要对每一点熟练把握。 七、两圆的位置关系： 例 7.（2009 四川卷理）若⊙ 2 2 1 : 5O x y  与⊙ 2 2 2 :( ) 20( )O x m y m R    相交于 A、B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 w 解 析 ： 由 题 知 )0,(),0,0( 21 mOO ， 且 53||5  m ， 又 21 AOAO  ， 所 以 有 525)52()5( 222  mm ，∴ 45 2052 AB 。 高考怎样考？ 1．（2008 重庆理科）圆 O1：x2＋y2－2x＝0 和圆 O2：x2＋y2－4y＝0 的位置关系是（ B ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 2.（2009 天津理）若圆 2 2 4x y  与圆 2 2 2 6 0x y ay    （a>0）的公共弦的长为 2 3 ， 则 a ___________ 。 解析：由知 2 2 2 6 0x y ay    的半径为 26 a ，由图可知 222 )3()1(6  aa 解之得 1a 3.（2009 四川卷理）若⊙ 2 2 1 : 5O x y  与⊙ 2 2 2 :( ) 20( )O x m y m R    相交于 A、B 两 点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 w 解 析 ： 由 题 知 )0,(),0,0( 21 mOO ， 且 53||5  m ， 又 21 AOAO  ， 所 以 有 525)52()5( 222  mm ，∴ 45 2052 AB 。 八、综合问题：此类题难度较大，一般以解答题形式出现 （1）直线与圆的位置关系、切线与弦长 例 8-1.（2009 江西卷文）如图，已知圆 :G 2 2 2( 2)x y r   是椭圆 2 2 116 x y  的内接△ ABC 的内切圆, 其中 A 为椭圆的左顶点. （1）求圆 G 的半径 r ; （2）过点 (0,1)M 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E F， 两点，证明：直线 EF 与圆G 相切． 解 : （ 1 ） 设 B 02 ,r y（ ）， 过 圆 心 G 作 GD AB 于 D , BC 交长轴于 H 由 GD HB AD AH  得 0 2 636 yr rr   , 即 0 6 6 r ry r   (1) 而点 B 02 ,r y（ ）在椭圆上, 2 2 2 0 (2 ) 12 4 ( 2)( 6)1 16 16 16 r r r r ry          (2) 由(1)、 (2)式得 215 8 12 0r r   ,解得 2 3r  或 6 5r   （舍去） (2) 设过点 M(0,1) 与圆 2 2 4( 2) 9x y   相切的直线方程为: 1y kx  (3) 则 2 2 12 3 1 k k   , 即 232 36 5 0k k   (4) 解得 1 2 9 41 9 41,16 16k k     将(3)代入 2 2 116 x y  得 2 2(16 1) 32 0k x kx   ,则异于零的解为 2 32 16 1 kx k    设 1 1 1( , 1)F x k x  , 2 2 2( , 1)E x k x  ，则 1 2 1 22 2 1 2 32 32,16 1 16 1 k kx xk k      则直线 FE 的斜率为： 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 3 1 16 4EF k x k x k kk x x k k      于是直线 FE 的方程为: 2 1 1 2 2 1 1 32 3231 ( )16 1 4 16 1 k ky xk k      即 3 7 4 3y x  则圆心 (2,0) 到直线 FE 的距离 3 7 22 3 391 16 d     w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故结论成立. x y A B 0 C M E F 高考怎样考？ 1．（07 湖北理）已知直线 1x y a b   （ a b， 是非零常数）与圆 2 2 100x y  有公共点，且公共 点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）Ａ A．60 条 B．66 条 C．72 条 D．78 条 2．（2008 辽宁文理）圆 2 2 1x y  与直线 2y kx  没有．．公共点的充要条件是 （ C ） A. ( 2, 2)k   B. ( , 2) ( 2, )k      C. ( 3, 3)k   D. ( , 3) ( 3, )k      3．（2008 陕西文理）直线 3 0x y m   与圆 2 2 2 2 0x y x    相切，则实数 m 等于（ C ） A. 3 或 3 B. 3 或3 3 C. 3 3 或 3 D. 3 3 或3 3 4.（2010 全国Ⅰ理）已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么 PA PB  的最小值为（ ） A. 4 2  B. 3 2  C. 4 2 2  D. 3 2 2  解：设 2APB  ，则  BPOAPO ，  2coscot2cos)( 22  PAPBPA 3223sin2 sin 1)sin21( sin sin1 2 2 2 2 2       ， 当且仅当  2 2 sin2sin 1  ，即 2 2sin 2  时取等号，故选 D 5.（2011 年重庆理）在圆 06222  yxyx 内，过点 )1,0(E 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD ，则四边形 ABCD的面积为（ ） A. 25 B. 210 C. 215 D. 220 解 析 ： 由 题 意 ， AC 为 直 径 ， 设 圆 心 为 F ， 则 FE BD , 圆 的 标 准 方 程 为    2 21 3 10x y    ，故  1,3F ，由此，易得： 2 10AC  ，又 3 1 21 0EFk   ，所以直 线 BD 的方程为 1 12y x   ，F 到 BD 的距离为 1 1 32 5 5 2     ，由此得， 2 5BD  所以四边 形 ABCD 的面积为 1 1 2 5 2 10 10 22 2AC BD     6.（2009 全国卷Ⅱ文）已知圆 O： 522  yx 和点 A（1，2），则过 A 且与圆 O 相切的直线与 两坐标轴围成的三角形的面积等于 答案： 25 4 解析：由题意可直接求出切线方程为 y-2= 2 1 (x-1)，即 x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的 截距分别是 5 和 2 5 ，所以所求面积为 4 2552 5 2 1  。 7.（2010 北京文）已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 ( 2,0) ， ( 2,0) ，离心率是 6 3 ， 直线 y=t 椭圆 C 交与不同的两点 M，N，以线段为直径作圆 P,圆心为 P。 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标； （Ⅲ）设 Q（x，y）是圆 P 上的动点，当 t 变化时，求 y 的最大值。 解：（Ⅰ）因为 6 3 c a  ，且 2c  ，所以 2 23, 1a b a c    所以椭圆 C 的方程为 2 2 13 x y  （Ⅱ）由题意知 (0, )( 1 1)p t t   由 2 2 13 y t x y    得 23(1 )x t   ，所以圆 P 的半径为 23(1 )t ，解得 3 2t   ，所以点 P 的坐标是（0， 3 2  ） （Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆 P 的方程 2 2 2( ) 3(1 )x y t t    。因为点 ( , )Q x y 在圆 P 上。 所以 2 2 23(1 ) 3(1 )y t t x t t       ，设 cos , (0, )t     ，则 23(1 ) cos 3sin 2sin( )6t t         .当 3   ，即 1 2t  ，且 0x  ， y 取最大 值 2. （2）圆与圆锥曲线的交汇 例 8-2（2009 全国Ⅰ理）如图，已知抛物线 2:E y x 与圆 2 2 2:( 4) ( 0)M x y r r    相交于 A 、 B 、C 、 D 四个点。 （I）求 r 得取值范围； （II）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC 、 BD 的交点 P 坐标 分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线 2:E y x 与 圆 2 2 2:( 4) ( 0)M x y r r    的方程联立，消去 2y ，整理 得 2 27 16 0x x r    ．．．．．．．．．．．．．（＊） 抛物线 2:E y x 与圆 2 2 2:( 4) ( 0)M x y r r    相 交 于 A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.易得 15( ,4)2r  . （II）设四个交点的坐标分别为 1 1( , )A x x 、 1 1( , )B x x 、 2 2( , )C x x 、 2 2( , )D x x 。 则由（I）根据韦达定理有 2 1 2 1 27, 16x x x x r    ， 15( ,4)2r  则 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 | | ( ) | | ( )2S x x x x x x x x        2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2[( ) 4 ]( 2 ) (7 2 16 )(4 15)S x x x x x x x x r r          令 216 r t  ，则 2 2(7 2 ) (7 2 )S t t   下面求 2S 的最大值。 方法一： 2 2 1(7 2 ) (7 2 ) (7 2 )(7 2 )(14 4 )2S t t t t t       R P Q F 2 F 1 o y x 3 31 7 2 7 2 14 4 1 28( ) ( )2 3 2 3 t t t       ,当且仅当 7 2 14 4t t   ，即 7 6t  时取最 大值。经检验此时 15( ,4)2r  满足题意。 方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。下面来处理点 P 的坐标。设点 P 的坐标为： ( ,0)pP x 由 A P C、 、 三点共线，则 1 2 1 1 2 1 p x x x x x x x    得 1 2 7 6px x x t   。 以下略。 高考怎样考？ 1.（2009 全国卷Ⅱ文）双曲线 136 22  yx 的渐近线与圆 )0()3( 222  rryx 相切，则 r （ A ） A. 3 B.2 C.3 D.6 解析：本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于 r，可求 r= 3 2．(2011 年江西理)若曲线 1C ： 2 2 2 0x y x   与曲线 2C ： ( ) 0y y mx m   有四个不同的 交点，则实数 m 的取值范围是（ ） A.( 3 3  ， 3 3 ) B.( 3 3  ，0) ∪ (0， 3 3 ) C.[ 3 3  ， 3 3 ] D.(  ， 3 3  ) ∪ ( 3 3 ，+  ) 解：因为直线 0y 与曲线 1C 有两个不同的交点，要使曲线 1C 和曲线 2C 有四个不同的交 点，只须直线 0 mmxy 与曲线 02: 22 1  xyxC 有两个不同的交点即可，而曲线 1C 是一个圆，所以圆心 )0,1( 到直线 0 mmxy 的距离为 3 3 3 31 1 2 2   m m m ， 且 0m ，故选 B. 3.（2009 天津文）若圆 422  yx 与圆 )0(06222  aayyx 的公共弦长为 32 ，则 a ________. 解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 ay 1 ，利用圆心（0，0） 到直线的距离 d 1 |1| a 为 132 22  ，解得 1a 4.(2011 年重庆理)设圆C 位于抛物线 2 2y x 与直线 3x  所组成的封闭区域（包含边界）内， 则圆C 的半径能取到的最大值为 解析：为使圆 C 的半径取到最大值，显然圆心应该在 x 轴上且与直线 3x  相切，设圆C 的 半 径 为 r ， 则 圆 C 的 方 程 为  2 2 23x r y r    ， 将 其 与 2 2y x 联 立 得 ：  2 2 2 9 6 0x r x r     ，令    2 2 2 4 9 6 0r r        ，并由 0r  ，得： 6 1r  