高考数学总复习提能拔高限时训练单元检测—圆锥曲线方程练习详细答案大纲人教版 16页

单元检测(八) 圆锥曲线方程 ‎(满分:150分 时间:120分钟)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ 解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为‎2a、2b、‎2c,‎ 则由题意,得‎2a=2×2ba=2ba2=4b2a2=4(a2-c2) e=.‎ 答案:D ‎2.椭圆(a>b>0)的焦点为F1、F2,两条准线与x轴的交点分别为M、N.若|MN|≤2|F‎1F2|,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A.(0,］ B.(0,］‎ C.［,1) D.［,1)‎ 解析:由题意,有|MN|≤2|F‎1F2|≤2ca2≤‎2c2≥,‎ 又,∴.故选D.‎ 答案:D ‎3.若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为（ ）‎ A.2 B‎.3 ‎‎ C.4 D.‎ 解析:双曲线的标准方程为 故,即.‎ 由于抛物线的准线方程为,它与x轴的交点的横坐标为,‎ 而双曲线的左焦点在抛物线的准线上,‎ 因此p>0.‎ 解得p=4,故选C.‎ 答案:C ‎4.设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一点,与x轴正向的夹角为60°,则为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 解析:依题意F(,0),直线FA的倾斜角即为与x轴正向的夹角,所以其斜率k=tan60°=.故FA的方程为.‎ 由,可解得直线与抛物线的交点A的坐标为,‎ 所以 答案:B ‎5.已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆(a>b>0)的右焦点交椭圆于A、B两点,P为右准线上任意一点,则∠APB为（ ）‎ A.钝角 B.直角 C.锐角 D.都有可能 解析:如图,设M为AB的中点,过点M作MM1垂直于准线于点M1,分别过A、B作AA1、BB1垂直于准线于A1、B1两点.‎ 则 ‎∴以AB为直径的圆与右准线相离.‎ ‎∴∠APB为锐角.‎ 答案:C ‎6.设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若=0,则等于（ ）‎ A.9 B‎.6 ‎‎ C.4 D.3‎ 解析:由于抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),‎ 由=0,‎ 可设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),‎ 得(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,x1+x2+x3=3,‎ 又由抛物线定义知=x1+1,=x2+1,=x3+1,‎ ‎∴=(x1+x2+x3)+3=6.‎ 答案:B ‎7.(2009河南郑州高中毕业班第一次质检)斜率为2的直线l过双曲线(a>0,b>0)的右焦点,且与双曲线的左右两支分别相交,则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）‎ A.e< B.1‎ 解析:依题意,双曲线的一条渐近线的斜率必大于2,即>2,因此该双曲线的离心率 答案:D ‎8.已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A.(1,2］ B.(1,2) C.［2,+∞) D.(2,+∞)‎ 解析:∵渐近线与过焦点F的直线l平行,或渐近线从该位置绕原点按逆时针方向旋转时,直线l与双曲线的右支交于一个点.‎ ‎∴,即c2=a2+b2≥‎4a2.‎ ‎∴e≥2,故选C.‎ 答案:C ‎9.椭圆(a1>b>0)与双曲线,它们的离心率分别为e1、e2,以a1、a2、b为边长(其中a1为斜边)可构成直角三角形的充要条件是（ ）‎ A.e1e2=1 B.e22-e12=‎1 ‎‎ C.e2=e1 D.e12+e22=2‎ 解析:由题意,知a12=a22+b2,‎ ‎,‎ 又∵∴e12e22=1,即e1e2=1.‎ 答案:A ‎10.设e1,e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率,P为两曲线的一个公共点,且满足=0,则的值为（ ）‎ A.1 B. C.2 D.不确定 解析:设=m,=n,‎ 设椭圆的长轴长为‎2a1,‎ 双曲线的实轴长为‎2a2,|F‎1F2|=‎2c,‎ 则,‎ 由此可得‎4a12‎-4c2=‎4c2‎-4a22,‎ 即a12+a22=‎2c2.‎ 将,代入,选C.‎ 答案:C ‎11.如图,过抛物线x2=4py(p>0)焦点的直线依次交抛物线与圆x2+(y-p)2=p2于点A、B、C、D,则的值是（ ）‎ A.8p2 B.4p‎2 ‎‎ C.2p2 D.p2‎ 解析:-p=yA,-p=yB,‎ ‎=yAyB=p2.‎ 因为的方向相同,‎ 所以=yAyB=p2.‎ 故选D.‎ 答案:D ‎12.若点P在抛物线y=3x2+4x+2上,A(0,-3)、B(-1,-1),使△ABP的面积最小,则P点的坐标是（ ）‎ A. B. C.(-1,1) D.(0,2)‎ 解析:设点P到AB所在直线的距离为d,‎ 则S△ABP=×AB×d=,当d取到最小值时,S△ABP的面积即为最小.‎ 设P(x,3x2+4x+2),直线AB的方程为2x+y+3=0.‎ ‎ ‎ ‎.‎ 当x=-1时,dmin=,此时y=1.‎ 所以点P的坐标为(-1,1)时,S△ABP的面积最小.‎ 答案:C 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m,则当m取最大值时,点P的坐标是_________.‎ 解析:m=|PF1|·|PF2|≤为定值,等号成立时|PF1|=|PF2|,P为短轴端点(±3,0).‎ 答案:(±3,0)‎ ‎14.已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆C上一动点,点P是线段AM的中点,点N在CM上,且满足NP⊥AM,则点N的轨迹方程为________.‎ 解析:由已知,得|CM|=|NC|+|NM|=|NC|+|NA|=>|AC|=2,‎ 因此动点N的轨迹是以点A(1,0)、C(-1,0)为焦点、长轴长‎2a=的椭圆,其中a=,c=1,b2=a2-c2=1,故动点N的轨迹方程是(y≠0).‎ 答案:(y≠0)‎ ‎15.已知抛物线y2=4x的焦点为F,AB是过焦点F的弦,且AB的倾斜角为30°,则△OAB的面积为____________.‎ 解析:由y2=4x,得焦点坐标为F(1,0),直线AB的方程为.‎ 由 得,‎ 由得(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(4)2+42=64,‎ ‎∴|y1-y2|=8.‎ ‎∴S△AOB=×|OF|×|y1-y2|=×1×8=4.‎ 答案:4‎ ‎16.P是双曲线(a>0,b>0)右支上一点,F为其右焦点,M是右准线l:x=与x轴的交点,若∠PMF=60°,∠PFM=45°,则双曲线的方程为________.‎ 解析:如图,作PN垂直于右准线于N点,有,‎ 在△PMN中,d=|PM|sin30°,‎ ‎∴|PF|=e·|PM|·sin30°.‎ 在△PMF中,由正弦定理 ‎∴.‎ 又右准线l:x=,即,‎ 又,‎ ‎∴‎ ‎∴双曲线方程为.‎ 答案:‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.(本小题满分10分)已知椭圆(a>b>0)的中心在坐标原点O,一条准线的方程为x=4,过椭圆的左焦点F,且方向向量为a=(1,1)的直线l交椭圆于A、B两点,AB的中点为M.‎ ‎(1)求直线OM的斜率(用a、b表示);‎ ‎(2)设直线AB与OM的夹角为α,当tanα=7时,求椭圆的方程.‎ 解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ ‎∵A、B在椭圆上,‎ ‎∴.‎ 两式相减,得.‎ ‎∵,‎ ‎∴kOM=.‎ ‎(2)∵直线AB与OM的夹角为α,且tanα=7,‎ 由(1)知kAB=1,kOM=,‎ ‎∴.①‎ 又椭圆中心在坐标原点O处,一条准线的方程是x=4,‎ ‎∴.②‎ 在椭圆中,a2=b2+c2.③‎ 联立①②③,解得 ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎18.(本小题满分12分)设F是抛物线G:x2=4y的焦点.‎ ‎(1)过点P(0,-4)作抛物线G的切线,求切线方程;‎ ‎(2)设A、B为抛物线G上异于原点的两点,且满足=0,延长AF、BF分别交抛物线G于点C、D,求四边形ABCD面积的最小值.‎ 解:(1)设切点,‎ 由y′=知,抛物线G在Q点处的切线斜率为,‎ 故所求切线方程为,‎ 即.‎ 因为点P(0,-4)在切线上,‎ 所以x02=16,x0=±4.‎ 故切线斜率为.‎ 所以所求切线方程为y=±2x-4.‎ ‎(2)设A(x1,y1),C(x2,y2),‎ 由题设知,直线AC的斜率k存在,由对称性,不妨设k>0.‎ 因直线AC过焦点F(0,1),‎ 所以直线AC的方程为y=kx+1.‎ 点A、C的坐标满足方程组 得x2-4kx-4=0,‎ 由根与系数的关系,知 ‎|AC|=‎ ‎=4(1+k2).‎ 因为AC⊥BD,‎ 所以BD的斜率为.‎ 从而BD的方程为.‎ 同理可求得|BD|=4［1+()2］=.‎ 所以S四边形ABCD=|AC|·|BD|‎ ‎ ‎ ‎≥32.‎ 当k=1时,等号成立.‎ 所以四边形ABCD面积的最小值为32.‎ ‎19.(本小题满分12分)已知椭圆的左、右两个焦点为F1、F2,离心率为,又抛物线C2:y2=4mx(m>0)与椭圆C1有公共焦点F2(1,0).‎ ‎(1)求椭圆和抛物线的方程;‎ ‎(2)设直线l经过椭圆的左焦点F1且与抛物线交于不同两点P、Q,且满足,求实数λ的取值范围.‎ 解:(1)在椭圆中,c=1,,‎ 所以,‎ 故椭圆方程为.‎ 抛物线中,,所以p=2,‎ 故抛物线方程为y2=4x.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=k(x+1)和抛物线方程联立,得 消去y,整理,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.‎ 因为直线和抛物线有两个交点,‎ 所以k≠0,(2k2-4)2-4k4>0.‎ 解得-10且λ≠1.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知双曲线C:(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1、l2,过双曲线的右焦点F作直线l,使l垂直l1于P点,且与双曲线交于点A.‎ ‎(1)当l1与l2的夹角为60°,且双曲线的焦距为4时,求该双曲线的方程;‎ ‎(2)若双曲线的离心率e∈［,］时,求的取值范围.‎ 解:(1)∵l1与l2的夹角为60°,‎ ‎∴或=tan60°.‎ ‎∴a=b或b=a.‎ 又c=2,‎ ‎∴‎ ‎∴双曲线方程为.‎ ‎(2)不妨设F(c,0),直线l的方程为,则由,得点P的横坐标为.‎ ‎∴点P在双曲线C的右准线上.过点A作右准线的垂线并交右准线于点Q,‎ 则=e·sin∠APQ.‎ 又∠APQ=∠POF,且tan∠POF=(O为坐标原点),‎ ‎∴sin∠APQ=.‎ ‎∴‎ 而e2=1+,且e∈［,］,‎ ‎∴.‎ ‎∴的取值范围是［1,］.‎ ‎21.(本小题满分12分)设直线l:y=k(x+1)与椭圆x2+3y2=a2(a>0)相交于A、B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点.‎ ‎(1)证明 ‎(2)若,求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程.‎ ‎(1)证明:依题意,直线l显然不平行于坐标轴,‎ 故y=k(x+1),可化为x=y-1(k≠0).‎ 将x=y-1代入x2+3y2=a2,‎ 消去x,得 ‎①‎ 由直线l与椭圆相交于两个不同的点,得 Δ=,‎ 整理,得,‎ 即.‎ ‎(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由①,得y1+y2=,②‎ 由,得y1=-2y2,‎ 代入②,得y2=.‎ 于是△OAB的面积.‎ 其中,上式取等号的条件是3k2=1,即.‎ 由,可得.‎ 将这两组值分别代入①,均可解出a2=5.‎ 所以△OAB的面积取得最大值时椭圆的方程是x2+3y2=5.‎ ‎22.(本小题满分12分)(理)如图,设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A、B.‎ ‎(1)求证:A、M、B三点的横坐标成等差数列;‎ ‎(2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=,求此时抛物线的方程;‎ ‎(3)是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py(p>0)上,其中,点C满足(O为坐标原点)?若存在,求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(1)证明:由题意,设A(x1,),B(x2,),x1