江苏专用高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的立体几何问题教师用书文 19页

高考专题突破四 高考中的立体几何问题 ‎1.正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC中点，E为A1C1中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为________.‎ 答案　平行 解析　如图取B1C1的中点为F，连结EF，DF，DE，‎ 则EF∥A1B1，DF∥B1B，‎ ‎∴平面EFD∥平面A1B1BA，‎ ‎∴DE∥平面A1B1BA.‎ ‎2.设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：‎ ‎①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面.‎ 其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是________.‎ 答案　②③‎ 解析　由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题.‎ ‎3.(2016·无锡模拟)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连结EF，FB，DE，BD，则几何体EFC1－DBC的体积为________.‎ 答案　66‎ 解析　如图，连结DF，DC1，那么几何体EFC1－DBC被分割成三棱锥D－EFC1及四棱锥D－CBFC1，那么几何体EFC1－DBC的体积为V＝××3×4×6＋××(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.‎ 故所求几何体EFC1－DBC的体积为66.‎ ‎4.如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD为正方形，E、F分别为侧棱VC、VB上的点，且满足VC＝3EC，AF∥平面BDE，则＝________.‎ 答案　2‎ 解析　连结AC交BD于点O，连结EO，取VE的中点M，连结AM，MF，∵VC＝3EC，∴VM＝ME＝EC，又AO＝CO，∴AM∥EO，又EO⊂平面BDE，∴AM∥平面BDE，又AF∥平面BDE，AM∩AF＝A，∴平面AMF∥平面BDE，又MF⊂平面AMF，∴MF∥平面BDE，又MF⊂平面VBC，平面VBC∩平面BDE＝BE，∴MF∥BE，∴VF＝FB，∴＝2.‎ ‎5.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.若PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.则直线PA与平面DEF的位置关系是________；平面BDE与平面ABC的位置关系是________.(填“平行”或“垂直”)‎ 答案　平行　垂直 解析　①因为D，E分别为棱PC，AC的中点，‎ 所以DE∥PA.‎ 又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，‎ 所以直线PA∥平面DEF.‎ ‎②因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，‎ 所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.‎ 又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，‎ 所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.‎ 又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.‎ 因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，‎ 所以DE⊥平面ABC，又DE⊂平面BDE，‎ 所以平面BDE⊥平面ABC.‎ 题型一　求空间几何体的表面积与体积 例1　(2016·全国甲卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.‎ ‎(1)证明：AC⊥HD′；‎ ‎(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′-ABCFE的体积.‎ ‎(1)证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得＝，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系，即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.‎ ‎(2)解　由EF∥AC得＝＝.‎ 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4，‎ 所以OH＝1，D′H＝DH＝3，‎ 于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，‎ 故OD′⊥OH.‎ 由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，‎ 所以AC⊥平面DHD′，于是AC⊥OD′，‎ 又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.‎ 又由＝得EF＝.‎ 五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.‎ 所以五棱锥D′-ABCFE的体积V＝××2＝.‎ 思维升华　(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解.其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积.‎ ‎(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.‎ ‎　正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图).求：‎ ‎(1)这个正三棱锥的表面积；‎ ‎(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.‎ 解　(1)底面正三角形中心到一边的距离为××2＝，‎ 则正棱锥侧面的斜高为＝.‎ ‎∴S侧＝3××2×＝9.‎ ‎∴S表＝S侧＋S底＝9＋××(2)2‎ ‎＝9＋6.‎ ‎(2)设正三棱锥P－ABC的内切球的球心为O，连结OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.‎ ‎∴VP－ABC＝VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PAC＋VO－ABC ‎＝S侧·r＋S△ABC·r＝S表·r ‎＝(3＋2)r.‎ 又VP－ABC＝×××(2)2×1＝2，‎ ‎∴(3＋2)r＝2，‎ 得r＝＝＝－2.‎ ‎∴S内切球＝4π(－2)2＝(40－16)π.‎ V内切球＝π(－2)3＝(9－22)π.‎ 题型二　空间点、线、面的位置关系 例2　(2016·扬州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点.‎ ‎(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；‎ ‎(2)求证：C1F∥平面ABE；‎ ‎(3)求三棱锥E－ABC的体积.‎ ‎(1)证明　在三棱柱ABC－A1B1C1中，‎ BB1⊥底面ABC.‎ 因为AB⊂平面ABC，‎ 所以BB1⊥AB.‎ 又因为AB⊥BC，BC∩BB1＝B，‎ 所以AB⊥平面B1BCC1.‎ 又AB⊂平面ABE，‎ 所以平面ABE⊥平面B1BCC1.‎ ‎(2)证明　方法一　如图1，取AB中点G，连结EG，FG.‎ 因为E，F分别是A1C1，BC的中点，‎ 所以FG∥AC，且FG＝AC.‎ 因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，‎ 所以FG∥EC1，且FG＝EC1，‎ 所以四边形FGEC1为平行四边形，‎ 所以C1F∥EG.‎ 又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，‎ 所以C1F∥平面ABE.‎ 方法二　如图2，取AC的中点H，连结C1H，FH.‎ 因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HF∥AB，‎ 又因为E，H分别是A1C1，AC的中点，‎ 所以EC1綊AH，‎ 所以四边形EAHC1为平行四边形，‎ 所以C1H∥AE，‎ 又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，‎ 所以平面ABE∥平面C1HF，‎ 又C1F⊂平面C1HF，‎ 所以C1F∥平面ABE.‎ ‎(3)解　因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，‎ 所以AB＝＝.‎ 所以三棱锥E－ABC的体积 V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.‎ 思维升华　(1)①证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.②证明C1F∥平面ABE：(ⅰ)利用判定定理，关键是在平面ABE中找(作)出直线EG，且满足C1F∥EG.(ⅱ)利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面C1HF满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化.‎ ‎(2)计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注意进行体积的转化.‎ ‎　(2016·南京模拟)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.‎ 求证：(1)平面EFG∥平面ABC；‎ ‎(2)BC⊥SA.‎ 证明　(1)由AS＝AB，AF⊥SB知F为SB中点，‎ 则EF∥AB，FG∥BC，又EF∩FG＝F，AB∩BC＝B，‎ 因此平面EFG∥平面ABC.‎ ‎(2)由平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF⊂平面SAB，AF⊥SB，‎ 所以AF⊥平面SBC，则AF⊥BC.‎ 又BC⊥AB，AF∩AB＝A，则BC⊥平面SAB，‎ 又SA⊂平面SAB，因此BC⊥SA.‎ 题型三　平面图形的翻折问题 例3　(2015·陕西)如图1，在直角梯形 ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.‎ ‎(1)证明：CD⊥平面A1OC；‎ ‎(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值.‎ ‎(1)证明　在题图1中，连结EC，‎ 因为AB＝BC＝AD＝a，∠BAD＝，‎ AD∥BC，E为AD中点，所以BC綊ED，BC綊AE，‎ 所以四边形BCDE为平行四边形，故有CD∥BE，‎ 所以四边形ABCE为正方形，所以BE⊥AC，‎ 即在题图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，且A1O∩OC＝O，‎ 从而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，‎ 所以CD⊥平面A1OC.‎ ‎(2)解　由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，‎ 且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，‎ 又由(1)知，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，‎ 即A1O是四棱锥A1BCDE的高，‎ 由题图1知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，‎ 从而四棱锥A1BCDE的体积为 V＝×S×A1O＝×a2×a＝a3，‎ 由a3＝36，得a＝6.‎ 思维升华　平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.‎ ‎　(2016·苏州模拟)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后，点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.‎ ‎(1)证明：CF⊥平面MDF；‎ ‎(2)求三棱锥M－CDE的体积.‎ ‎(1)证明　因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，‎ 所以PD⊥AD.‎ 又因为ABCD是矩形，CD⊥AD，PD与CD交于点D，‎ 所以AD⊥平面PCD.‎ 又CF⊂平面PCD，所以AD⊥CF，即MD⊥CF.‎ 又MF⊥CF，MD∩MF＝M，所以CF⊥平面MDF.‎ ‎(2)解　因为PD⊥DC，PC＝2，CD＝1，∠PCD＝60°，‎ 所以PD＝，由(1)知FD⊥CF，‎ 在直角三角形DCF中，CF＝CD＝.‎ 如图，过点F作FG⊥CD交CD于点G，得FG＝FCsin 60°＝×＝，‎ 所以DE＝FG＝，故ME＝PE＝－＝，‎ 所以MD＝＝ ＝.‎ S△CDE＝DE·DC＝××1＝.‎ 故VM－CDE＝MD·S△CDE＝××＝.‎ 题型四　立体几何中的存在性问题 例4　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BMD1N与棱CC1，AA1分别交于点M，N，且M，‎ N均为中点.‎ ‎(1)求证：AC∥平面BMD1N.‎ ‎(2)若AD＝CD＝2，DD1＝2，O为AC的中点.BD1上是否存在动点F，使得OF⊥平面BMD1N？若存在，求出点F的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.‎ ‎(1)证明　连结MN.因为M，N分别为CC1，AA1的中点，所以AN＝AA1，CM＝CC1.‎ 又因为AA1∥CC1，且AA1＝CC1，‎ 所以AN∥CM，且AN＝CM，‎ 所以四边形ACMN为平行四边形，所以AC∥MN.‎ 因为MN⊂平面BMD1N，AC⊄平面BMD1N，‎ 所以AC∥平面BMD1N.‎ ‎(2)解　当点F满足D1F＝3BF时，OF⊥平面BMD1N，证明如下：‎ 连结BD，则BD经过点O，取BD1的中点G，连结OF，DG，又D1F＝3BF，‎ 所以OF为三角形BDG的中位线，所以OF∥DG.‎ 因为BD＝2＝DD1，且G为BD1的中点，‎ 所以BD1⊥DG，所以BD1⊥OF.‎ 因为底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD.‎ 又DD1⊥底面ABCD，所以AC⊥DD1，‎ 又BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，‎ 又OF⊂平面BDD1，所以AC⊥OF.‎ 由(1)知AC∥MN，所以MN⊥OF.‎ 又MN，BD1是平面四边形BMD1N的对角线，所以它们必相交，所以OF⊥平面BMD1N.‎ 思维升华　对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在这假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.‎ ‎　(2016·镇江模拟)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.‎ ‎(1)求证：D1C⊥AC1；‎ ‎(2)问在棱CD上是否存在点E，使D1E∥平面A1BD.若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由.‎ ‎(1)证明　在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连结C1D，‎ ‎∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，‎ ‎∴DC1⊥D1C.‎ 又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，‎ ‎∴AD⊥平面DCC1D1，‎ 又D1C⊂平面DCC1D1，‎ ‎∴AD⊥D1C.‎ ‎∵AD⊂平面ADC1，DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1＝D，‎ ‎∴D1C⊥平面ADC1，‎ 又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1.‎ ‎(2)解　假设存在点E，使D1E∥平面A1BD.‎ 连结AD1，AE，D1E，‎ 设AD1∩A1D＝M，‎ BD∩AE＝N，连结MN，‎ ‎∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，‎ 要使D1E∥平面A1BD，‎ 可使MN∥D1E，‎ 又M是AD1的中点，则N是AE的中点.‎ 又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.‎ 即E是DC的中点.‎ 综上所述，当E是DC的中点时，‎ 可使D1E∥平面A1BD.‎ ‎1.(2016·连云港模拟)如图所示，已知平面α∩平面β＝l，α⊥β.A，B是直线l上的两点，C，D是平面β内的两点，且AD⊥l，CB⊥l，DA＝4，AB＝6，CB＝8.P是平面α上的一动点，且有∠APD＝∠BPC，则四棱锥P－ABCD体积的最大值是________.‎ 答案　24 解析　由题意知，△PAD，△PBC是直角三角形，‎ 又∠APD＝∠BPC，所以△PAD∽△PBC.‎ 因为DA＝4，CB＝8，所以PB＝2PA.‎ 作PM⊥AB于点M，由题意知，PM⊥β.‎ 令AM＝t(0