成都理工大学附中2014高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测数列 6页

成都理工大学附中2019高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测：数列 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知等差数列{an}的前2019项的和S2019=2019，其中所有的偶数项的和是2，则a1003的值为( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ ‎【答案】B ‎2．已知是R上的奇函数，‎ ‎，是数列的通项公式为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎3．在等差数列{an}中，若a2＋‎2a6＋a10＝120，则a3＋a9等于( )‎ A．30 B．40 C．60 D．80‎ ‎【答案】C ‎4．已知数列为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则=( )‎ A．35 B．33 C．31 D．29‎ ‎【答案】C ‎5．已知等差数列的前项和为，且则( )‎ A．11 B．16 C．20 D．28‎ ‎【答案】C ‎6．等差数列中，已知，，公差，则的最大值为( )‎ A．7 B．6 C．5 D．8‎ ‎【答案】B ‎7．等比数列的前项和为，且4，2，成等差数列.若=1，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎8．已知等差数列中,则的值是( )‎ A．21 B． 22 C． 23 D． 24‎ ‎【答案】C ‎9．已知等差数列{an}的前n项和是，则使成立的最小正整数为( )‎ A．2009 B．2019 C．2019 D．2019‎ ‎【答案】B ‎10．在等比数列{an}中，，公比|q|≠1，若am= a1 ·a2· a3· a4· a5,则m=( )‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎【答案】C ‎11．在等差数列{an}中，3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24，则此数列的前13项之和为( )‎ A．156 B．13 C．12 D．26‎ ‎【答案】D ‎12．在等比数列中，若，，则等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题： ‎ ‎①当时，数列的前3项依次为5,3,2；‎ ‎②对数列都存在正整数，当时总有；[来源:Zxxk.Com]‎ ‎③当时，；‎ ‎④对某个正整数，若，则。‎ 其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号 ‎【答案】 ‎14．若等差数列{an}的前5项和=25，且，则 .‎ ‎【答案】7‎ ‎15．在等比数列{an}中，若a‎7a9=4,a4=1,则a12= 。‎ ‎【答案】4‎ ‎16．在等差数列｛an｝中，若a10＝0，则有等式a1+a2+…＋an=a1+a2+…＋a19－n（n＜19，n∈N成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛bn｝中，若b9＝1，则有等式 成立.‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．已知数列{an}满足：，且．‎ ‎⑴求证：数列{an－3n}是等比数列，并写出an的表达式；‎ ‎⑵设3nbn＝n(3n－an)，且对于n∈N*恒成立，求m的取值范围．‎ ‎【答案】⑴∵‎ ‎∴{an－3n}是以首项为a1－3＝2，公比为－2的等比数列 ‎∴an－3n＝2·(－2)n－1‎ ‎∴an＝3n＋2·(－2)n－1＝3n－(－2)n[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎⑵由3nbn＝n·(3n－an)＝n·[3n－3n＋(－2)n]＝n·(－2)n ‎∴bn＝n·(－)n 令 ‎∴＜6[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎∴m≥6‎ ‎18．已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，且公差，。 ‎ ‎(1)求数列的通项公式； ‎ ‎(2）若成等比数列，求数列的前项和。‎ ‎【答案】（１）‎ 所以成等比数列，，即　　　‎ ‎(２）因为，设公差为d 由于成等比数列，所以 解得，，故.‎ ‎19．已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且 ‎(1）求{}的通项公式；‎ ‎(2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，求证：.   ‎ ‎【答案】（I）由，解得或，由假设，因此 ‎，又由，‎ 得，‎ 即或，因，故不成立，舍去．‎ 因此，从而是公差为，首项为的等差数列，‎ 故的通项为．‎ ‎(II）由可解得；‎ 从而．‎ 因此．‎ 令，则．‎ 因，故．‎ 特别地，从而．‎ 即．‎ ‎20．正数列的前项和满足：，‎ ‎(1）求证：是一个定值；‎ ‎(2）若数列是一个单调递增数列，求的取值范围；‎ ‎(3）若是一个整数，求符合条件的自然数．‎ ‎【答案】（1） (1）‎ ‎ (2）‎ ‎： (3） ‎ 任意,, ‎ ‎ (2）计算 ‎ 根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：，，，，，。。。。‎ 所以奇数项是递增数列，偶数项是递增数列，整个数列成单调递增的充要条件是 ‎ 解得 ‎ ‎ (3) ‎ ‎ [来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ 是一个整数，所以一共4个 ‎ 另解：‎ ‎21．已知数列满足：正项数列满足．若是公比为的等比数列 ‎ (Ⅰ）求的通项公式；[来源:1]‎ ‎ (Ⅱ）若，为的前项和，记设为数列{}的最大项，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ），又 ‎ (Ⅱ）若，则（）‎ 等号当且仅当即时取到，‎ ‎22．设数列前项和为，且。其中为实常数，‎ 且。‎ ‎(1） 求证：是等比数列；‎ ‎(2） 若数列的公比满足且，求的通项公式；‎ ‎(3）若时，设，是否存在最大的正整数，使得对任意均有成立，若存在求出的值，若不存在请说明理由。‎ ‎【答案】（1）由，得，两式相减，得，∴，∵是常数，且，，故 为不为0的常数，且由可得：，‎ ‎∴是等比数列。‎ ‎(2）由，且时，，得，∴是以1为首项，为公差的等差数列，‎ ‎∴，故。‎ ‎(3）由已知，∴‎ 相减得：，‎ ‎，递增，∴，对均成立，∴∴，又，∴最大值为7。‎