广东省高考大题训练二 统计与概率附答案及评分标准 9页

‎2014年广东省高考大题训练（二）‎ 统计与概率（附答案及评分标准）‎ ‎1．（本小题满分13分）‎ ‎ 某校高三年级在5月份进行一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：‎ 文科考生 ‎67‎ ‎35‎ ‎19‎ ‎6‎ 理科考生 ‎53‎ ‎2 4‎ ‎0 5 8‎ ‎1‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎11‎ ‎ 已知用分层抽样方法在不低于550分的考生中随机抽取5名考生进行质量 ‎ 分析，其中文科考生抽取了2名．‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）右图是文科不低于550分的6名学生的语文成绩的茎叶图，计算这6名 ‎ 考生的语文成绩的方差；‎ ‎ （3）已知该校不低于480分的文科理科考生人数之比为1：2，不低于400分 ‎ 的文科理科考生人数之比为2：5，求的值．‎ 解：（1）依题意，∴…………………………………………………………………………3分 ‎ （2） ……………………………………………………5分 ‎ ∴这6名考生的语文成绩的方差 ‎ ‎ ‎ ………………………………………………………8分 ‎ （3）依题意， ……………………………………………………………11分 ‎ 解得 ………………………………………………………………………………13分 ‎2．（本小题满分12分）‎ ‎ 某完全中学高中部共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：‎ 高一年级 高二年级 高三年级 女生 ‎373‎ 男生 ‎377‎ ‎370‎ ‎ 已知在全校高中学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，求在高三年级抽取的人数；‎ ‎ （3）已知245，245，求高三年级中女生比男生多的概率．‎ 解：（1）∵，∴． ……………………………………………………………………2分 ‎ （2）高三年级人数为， ……………………………4分 ‎ ∴应在高三年级抽取的人数为：名； …………………………………………6分 ‎ （3）高三年级女生男生数记为，由（2）知，且，则所有的基本事件有：‎ ‎ （245，255），（246，254），（247，253），（248，252），（249，251），（250，250），‎ ‎ （251，249），（252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共11个；…………8分 ‎ 设高三年级女生比男生多的事件为，则事件包含的基本事件有：‎ ‎ （251，249）、（252，248）、（253，247）、(254，246)、(255，245) 共5个． …………10分 ‎ ∴，即高三年级中女生比男生多的概率为．……………………………………12分 ‎3．（本小题满分14分）‎ ‎ 有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得 ‎ 到如下的列联表．‎ 优秀 非优秀 总计 甲班 ‎10‎ 乙班 ‎30‎ 合计 ‎105‎ ‎ 已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为．‎ ‎ （1）请完成上面的列联表；‎ ‎ （2）根据列联表的数据，若按的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；‎ ‎ （3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先 ‎ 后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6或10号的概率．‎ 解：（1）表格如下：……………………………………………………………………………………………3分 优秀 非优秀 总计 甲班 ‎10‎ ‎45‎ ‎55‎ 乙班 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎30‎ ‎75‎ ‎105‎ ‎ （2）根据列联表中的数据，得到． ………………5分 ‎ 因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”． ……………………………………………………7分 ‎ （3）设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为．………8分 ‎ 所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36个．……………………10分 ‎ 事件A包含的基本事件有：‎ ‎ （1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）、（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个．……12分 ‎ ，即抽到6或10号的概率为．……………………………………………14分 ‎4．（本小题满分14分）‎ ‎ 甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口 ‎ 袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲 ‎ 赢，否则算乙赢．‎ ‎ （1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；‎ ‎ （2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．‎ 解：（1）设“两个编号和为8”为事件A，则事件A包含的基本事件为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），‎ ‎ （6，2）共5个，又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36（个）（列举：略）等可能的结果，‎ ‎ 故．………………………………………………………………………………………6分 ‎ （2）这种游戏规则是公平的．……………………………………………………………………………7分 ‎ 设甲胜为事件B，乙胜为事件C，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件有18个：(1,1),(1,3),‎ ‎ (1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)． …11分 ‎ 所以甲胜的概率，乙胜的概率＝．…………………13分 ‎ 所以这种游戏规则是公平的． ……………………………………………………………………14分 ‎5．（本小题满分13分）‎ ‎ 某学校对学生的考试成绩作抽样调查，得到成绩的频率分布 ‎ 直方图如图所示，其中［70,80）对应的数值被污损，记为．‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）记[90,100]为A组，[80,90)为B组，[70,80)为C组，用分层 ‎ 抽样的办法从[90,100]，[80,90)，[70,80) 三个分数段的学生 ‎ 中抽出6人参加比赛，从中任选3人为正选队员，求正选队 ‎ 员中有A组学生的概率．‎ 解：（1）．‎ ‎ ．…………………………………………………………………………………………5分 ‎ （2）设从分数段的学生中抽出人，依题意：‎ ‎ ，．………………………………………………………………………7分 ‎ 记从中抽出的学生为，从中抽出的学生为，从中抽出的学生为 ‎ ，从6人中选出3人共有 ‎ 共20种． ………………………………………………………9分 ‎ 有的共10种．……………………………………………………………………………………11分 ‎ ∴，即正选队员中有A组学生的概率为．………………………………………13分 ‎6．（本小题满分12分）‎ ‎ 对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了100人，其中女性60人，男性40人．女性中有 ‎ 38人主要的休闲方式是看电视，另外22人主要的休闲方式是运动；男性中有15人主要的休闲方 ‎ 式是看电视，另外25人主要的休闲方式是运动．‎ ‎ （1）根据以上数据建立一个2×2列联表；‎ ‎ ‎ ‎ （2）判断性别与休闲方式是否有关．‎ 参考公式：，．‎ 参考数据：60×40×53×47=5978400，620×620=384400，384400÷59784≈6.4298．‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.84‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.83‎ 解：（1）2×2列联表如下： …………………………………………………………………………………6分 ‎ 休闲方式 性别 看电视 运动 总计 女 ‎38‎ ‎22‎ ‎60‎ 男 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 总计 ‎53‎ ‎47‎ ‎100‎ ‎ （2）假设“休闲方式与性别无关”．由表中数据计算得，……10分 ‎ 因为≥5.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，‎ ‎ 即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”．…………………………………………………12分 ‎7．（本小题满分12分）‎ ‎ 某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：‎ 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性高 ‎18‎ ‎7‎ ‎25‎ 学习积极性一般 ‎6‎ ‎19‎ ‎25‎ 合计 ‎24‎ ‎26‎ ‎50‎ ‎ （1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？‎ ‎ （2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？‎ ‎ 并说明理由．‎ 附：独立性检验的随机变量的计算公式：，其中 ‎ 为样本容量．独立性检验的随机变量临界值参考表如下：‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解：（1）由表可知，积极参加班级工作的学生有24人，而总人数为50人，‎ ‎ 则抽到积极参加班级工作的学生的概率．…………………………………………5分 ‎（2）假设“学生的学习积极性与对待班级工作的态度没有关系”．‎ ‎ 由公式；………10分 ‎ ∵，∴有的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系，‎ ‎ 即有的把握认为学习积极性高的学生积极参加班级工作． ……………………………12分 ‎8．（本小题满分14分）‎ ‎ 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，‎ ‎ 他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分 ‎ 是85， 乙班学生成绩的中位数是83．‎ ‎ （1）求和的值；‎ ‎ （2）计算甲班7位学生成绩的方差； ‎ ‎ （3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．‎ ‎ 参考公式：方差，其中．‎ 解：（1）∵甲班学生的平均分是85，∴．…………………1分 ‎ ∴． …………………………………………………………………………………………… 2分 ‎ ∵乙班学生成绩的中位数是83，∴．……………………………………………………… 3分 ‎ （2）甲班7位学生成绩的方差为 ‎ ．………………………… 6分 ‎ （3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为，………………………………………… 7分 ‎ 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为． …………………………………… 5分 ‎ 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：‎ ‎ ．………………………………………10分 ‎ 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：． …………………………………………………………………………………………………12分 ‎ 记“甲班至少有一名学生”为事件，则，‎ ‎ 即从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为． … 14分 ‎9．（本小题满分12分）‎ ‎ 为了更好地开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”，“街舞”，‎ ‎ “动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表：（单位：人）‎ 社团 相关人数 抽取人数 模拟联合国 ‎24‎ 街舞 ‎18‎ ‎3‎ 动漫 ‎4‎ 话剧 ‎12‎ ‎ （1）求，，的值；‎ ‎ （2）若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团 ‎ 的概率．‎ 解：（1）由表可知抽取比例为，故＝4，＝24，＝2．……………………………………………3分 ‎ （2）设“动漫”4人分别为A1，A2，A3，A4；“话剧”2人分别为B1，B2.则从中任选2人的所有基本事件 ‎ 为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，‎ ‎ (A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15个． …………………6分 ‎ 记事件=｛2人分别来自这两个社团｝，则事件包括的基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，‎ ‎ B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，共8个．…………………………8分 ‎ ∴．………………………………………………………………………………………10分 ‎ 即这2人分别来自这两个社团的概率为． ……………………………………………………12分