2003全国高考数学试题北京春理 12页

‎2003年普通高等学校春季招生考试 ‎ 数 学（理工农医类）（北京卷）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟. ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.‎ ‎2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.‎ ‎3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回. ‎ 正棱台、圆台的侧面积公式 其中、c分别表示上、下底面周长 l表示斜高或母线长 球体的体积公式 其中R表示球的半径 参考公式：‎ 三角函数的积化和差公式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若集合( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若，则方程的根是( )‎ ‎ A． B．－ C．2 D．－2‎ ‎3．设复数( )‎ ‎ A． B． C． D．－‎ ‎4．函数的最大值是( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在同一坐标系中，方程的曲线大致是( )‎ ‎6．若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．椭圆为参数）的焦点坐标为( )‎ ‎ A．（0，0），（0，－8） B．（0，0），（－8，0）‎ ‎ C．（0，0），（0，8） D．（0，0），（8，0）‎ ‎8．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，‎ ‎ G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC ‎ 沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度 ‎ 数为( ) ‎ ‎ A．90° B．60° C．45° D．0°‎ ‎9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )‎ ‎ A．42 B．30 C．20 D．12‎ ‎10．已知直线相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形( )‎ A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在 ‎11．若不等式的解集为（－1，2），则实数a等于( )‎ ‎ A．8 B．2 C．－4 D．－8‎ ‎12．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是( )‎ ‎ A．95 B．91 C．88 D．75‎ ‎2003年普通高等学校春季招生考试 ‎ 数 学（理工农医类）（北京卷）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 注意事项：‎ ‎1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.‎ ‎2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.‎ 题 号 二 三 总 分 ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ 分 数 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.‎ ‎13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有 适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水 面高度恰好升高r，则 .‎ ‎14．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压 结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据 的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内.‎ 年龄（岁）‎ ‎30 35 40 45 50 55 60 65‎ 收缩压（水银柱 毫米）‎ ‎110 115 120 125 130 135 （ ）145‎ 舒张压（水银柱 毫米）‎ ‎70 73 75 78 80 83 （ ）88‎ ‎15．如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，‎ 点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2‎ 的值是 .‎ ‎16．若存在常数，使得函数 的一个正 周期为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ‎ ‎17．（本小题满分12分）解不等式：‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域. ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，‎ EF∩BD=G.‎ ‎ （Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；‎ ‎ （Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；‎ ‎ （Ⅲ）求三棱锥B1—EFD1的体积V. ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.‎ ‎ （Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？‎ ‎ （Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？‎ ‎21．（本小题满分13分）‎ 如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去. 记圆On的面积为.‎ ‎ （Ⅰ）证明是等比数列；‎ ‎ （Ⅱ）求的值.‎ ‎22．（本小题满分13分）‎ 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上. ‎ ‎ （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；‎ ‎ （Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A，B两点.‎ ‎ （i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；‎ ‎ （ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.‎ ‎2003年普通高等学校春季招生考试 ‎ 数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案 一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分. ‎ ‎1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.A 7.D 8.B 9.A 10.B 11.C 12.B ‎ 二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. ‎ ‎13． 14．（140）（85） 15． 16．注：填的正整数倍中的任何一个都正确. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12‎ 分. ‎ 解：原不等式变形为.所以，原不等式 ‎.‎ 故原不等式的解集为. ‎ ‎18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力. 满分12分.‎ 解：由. ‎ ‎ 所以的定义域为 ‎ 因为的定义域关于原点对称，且 ‎ 是偶函数. ‎ ‎ 当 ‎ ，‎ ‎ 所以的值域为 ‎19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 满分12分. ‎ ‎（Ⅰ）证法一：‎ 连结AC.‎ ‎∵正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1. ‎ ‎∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，‎ ‎∴EF⊥平面BDD1B1，‎ ‎∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.‎ ‎ 证法二：‎ ‎ ∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD. 又 EF⊥D1D ‎∴EF⊥平面BDD1B1， ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.‎ ‎（Ⅱ）在对角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足为H. ‎ ‎∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G，‎ ‎∴D1H⊥平面B1EF，且垂足为H，∴点D1到平面B1EF的距离d=D1H. ‎ 解法一：‎ 在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1·sin∠D1B1H. ‎ ‎∵，‎ ‎ ‎ ‎ ∴‎ ‎ 解法二：‎ ‎ ∵△D1HB1～△B1BG， ∴， ‎ ‎∴‎ ‎ 解法三：‎ ‎ 连结D1G，则三角形D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半，‎ ‎ 即， ‎ ‎ （Ⅲ）‎ ‎ ‎ ‎20．本小题主要考查二次函数的性质等基本知识，考查分析和解决问题的能力. 满分12分.‎ 解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了 ‎88辆车.‎ ‎ （Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为 ‎，‎ 整理得 所以，当x=4050时，最大，最大值为，‎ 即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元. ‎ ‎21．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分13分. ‎ ‎ （Ⅰ）证明：记rn为圆On的半径，则 所以 故成等比数列. ‎ ‎ （Ⅱ）解：因为所以 ‎22．本小题主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能 力. 满分13分.‎ 解：（Ⅰ）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为.‎ ‎（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为 消y得 所以A点坐标为，B点坐标为（3，），‎ 假设存在点C（－1，y），使△‎ ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 ‎①‎ ‎②‎ ‎ ‎ 由①－②得 但不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.‎ 因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.‎ ‎（ii）解法一：‎ 设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，‎ 由，‎ 即当点C的坐标为（－1，）时，A，B，C三点共线，故.‎ 又，‎ ‎ ， .‎ ‎ 当，即，‎ ‎ 即为钝角. ‎ ‎ 当，即，‎ 即为钝角.‎ ‎ 又，即，‎ ‎ 即. 该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.‎ ‎ 因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是.‎ ‎ 解法二：‎ ‎ 以AB为直径的圆的方程为.‎ ‎ 圆心到直线的距离为，‎ ‎ 所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G.‎ ‎ 当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G ‎ 点不重合，且A，B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角. ‎ ‎ 因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角. ‎ ‎ 过点A且与AB垂直的直线方程为.‎ ‎ 过点B且与AB垂直的直线方程为. 令.‎ ‎ 又由，所以，当点C的坐标为（－1，）时，A，B，C三点共 ‎ 线，不构成三角形.‎ ‎ 因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是