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- 2021-05-14 发布
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专题限时集训(十五)
[第15讲 圆锥曲线的定义、方程与性质]
(时间:10分钟+35分钟)
1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是( )
A.y2=-8x B.y2=8x
C.y2=-4x D.y2=4x
2.椭圆+=1的离心率为( )
A. B.
C. D.
3.双曲线2x2-y2=8的实轴长是( )
A.2 B.2
C.4 D.4
4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,与抛物线准线的交点为B,点A在抛物线准线上的射影为C,若=,·=12,则p的值为________.
1.椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在椭圆上,·=0,则M到y轴的距离为( )
A. B.
C. D.
2.已知定点A(1,0)和定直线l:x=-1,在l上有两动点E,F且满足⊥,另有动点P,满足∥,∥(O为坐标原点),则动点P的轨迹方程为( )
A.y2=4x B.y2=4x(x≠0)
C.y2=-4x D.y2=-4x(x≠0)
3.设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,且·=0,则|+|=( )
A.2 B.
C.4 D.2
4.已知椭圆+=1(a>0,b>0),A是椭圆长轴的一个端点,B是椭圆短轴的一个端点,F为椭圆的一个焦点.若AB⊥BF,则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
5.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则( )
A.a2= B.a2=13
C.b2= D.b2=2
7.已知双曲线x2-=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x,则b=________.
8.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点重合,它们在第一象限内的交点为T,且TF与x轴垂直,则椭圆的离心率为________.
9.点P是椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且△PF1F2的内切圆半径为1,当P在第一象限时,P点的纵坐标为________.
10.如图15-2,已知A、B、C是椭圆:+=1(a>b>0)上的三点,其中点A的坐标为(2,0),BC过椭圆的中心,且·=0,||=2||.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点M(0,t)的直线l(斜率存在)与椭圆交于两点P,Q,设D为椭圆与y轴负半轴的交点,且||=||,求实数t的取值范围.
图15-2
11.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1、F2,且|F1F2|=2,点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A、B两点,且△AF2B的面积为,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.
专题限时集训(十五)
【基础演练】
1.B 【解析】 由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),又∵其准线方程为x=-=-2,∴p=4,所求抛物线方程为y2=8x.
2.D 【解析】 由题意a=4,c2=8,∴c=2,所以离心率为e===.
3.C 【解析】 双曲线方程可化为-=1,所以a2=4,得a=2,所以2a=4.故实轴长为4.
4.1 【解析】 设A,B,F,由=得,=(-p,yB),由此得t2=3p2,yB=-t.设C,则=,=(0,2t),所以·=12得4t2=12,故p=1.
【提升训练】
1.B 【解析】 椭圆的焦点坐标是(±,0),点M在以线段F1F2为直径的圆上,该圆的方程是x2+y2=3,即y2=3-x2,代入椭圆方程得+3-x2=1,解得x2=,即|x|=,即点M到y轴的距离.
2.B 【解析】 设P(x,y),E(-1,y1),F(-1,y2)(y1,y2均不为0),由∥⇒y1=y,即E(-1,y).由∥⇒y2=-.由⊥⇒y2=4x(x≠0).故选B.
3.D 【解析】 根据已知△PF1F2是直角三角形,向量+=2,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出.·=0,则|+|=2||=||=2.
4.B 【解析】 因为AB⊥BF,所以kAB·kBF=-1,即·=-1,即b2=ac,所以a2-c2=ac,两边同除以a2,得e2+e-1=0,所以e=(舍负),故选B.
5.C 【解析】 由双曲线x2-=1知渐近线方程为y=±2x,又∵椭圆与双曲线有公共焦点,
∴椭圆方程可化为b2x2+(b2+5)y2=(b2+5)b2,
联立直线与椭圆方程消y得,x2=.
又∵C1将线段AB三等分,
∴×2=,
解之得b2=.
6.A 【解析】 当l斜率存在时,设l:y=k,与y2=2px联立消去y得k2x2-(pk2+2p)x+=0,设A(x1,y1),D(x2,y2),抛物线的焦点为F,则|AB|=|AF|-|BF|=
x1+-=x1,同理|CD|=x2,∴·=|AB||CD|=x1x2=;当l⊥x轴时,易得|AB|=|CD|=,∴·=,故选A.
7.2 【解析】 易知y=bx=2x,故b=2.
8.-1 【解析】 依题意c=,=p,∴b2=2ac,∴c2+2ac-a2=0,∴e2+2e-1=0,解得e=-1.
9. 【解析】 |PF1|+|PF2|=10,|F1F2|=6,S△PF1F2=(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)·1=8=|F1F2|·yP=3yP.所以yP=.
(2)由条件知D(0,-2),
当k=0时,显然-2<t<2,当k≠0时,设l:y=kx+t,
消y得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-12=0,
由Δ>0,可得t2<4+12k2,①
设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点H(x0,y0),
则x0==-,y0=kx0+t=,
∴H.
由||=||,
∴DH⊥PQ,
即kDH=-.
∴=-,
化简得t=1+3k2,②
∴t>1,将②代入①得1<t<4,
∴实数t的取值范围是(1,4).
综上t∈(-2,4).
11.【解答】 (1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由题意可得椭圆C两焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0).
∴2a=+
=+=4.
∴a=2,又c=1,
∴b2=4-1=3,
故椭圆C的方程为+=1.
(2)解法一:当直线l⊥x轴时,计算得到:A,B,S△AF2B=·|AB|·|F1F2|=×3×2=3,不符合题意.
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为:y=k(x+1),由消去y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.
显然Δ>0成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1·x2=.
又|AB|=·
=·
=·=,
圆F2的半径r==,
所以S△AF2B=|AB|·r=··==,
化简,得17k4+k2-18=0,即(k2-1)(17k2+18)=0,解得k=±1.所以r==.
故圆F2的方程为(x-1)2+y2=2.
解法二:设直线l的方程为x=ty-1,由消去x得(4+3t2)y2-6ty-9=0,Δ>0恒成立,设A(
x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1·y2=-.
所以|y1-y2|===,
又圆F2的半径为r==,
所以S△AF2B=·|F1F2|·|y1-y2|=|y1-y2|==,解得t2=1,
所以r==.故圆F2的方程为(x-1)2+y2=2.