高考试题分类解析圆锥曲线方程 17页

‎2006年高考试题分类解析（圆锥曲线方程2）‎ ‎31． ( 2006年重庆卷)已知一列椭圆Cn:x2+=1. 0＜bn＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.‎ ‎（Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1);‎ ‎（Ⅱ）取bn＝，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3 (n≥3).‎ 图(２２)图 证：（1）由题设及椭圆的几何性质有 ‎　　　　‎ ‎ 设 ‎ ‎ 因此，由题意应满足 即 即,‎ 从而对任意 ‎（Ⅱ）设点 ‎ ‎ ‎ ‎ 得两极，从而易知f(c)在（，）内是增函数，而在（，1）内是减函数.‎ ‎　　　现在由题设取是增数列.又易知 ‎　　　‎ 故由前已证，知 ‎32．（2006年上海春卷）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.‎ ‎ 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.‎ ‎（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；‎ ‎（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？‎ 解：（1）设曲线方程为，‎ 由题意可知，. ‎ ‎. ……4分 ‎ 曲线方程为. ……6分 ‎ （2）设变轨点为，根据题意可知 ‎ 得 ，‎ ‎ 或（不合题意，舍去）.‎ ‎ . ……9分 ‎ 得 或（不合题意，舍去）. 点的坐标为， ……11分 ‎ .‎ 答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令. ……14分 ‎33．（2006年全国卷II）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．‎ ‎（Ⅰ）证明·为定值；‎ ‎（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．‎ 解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ，‎ 即得　　(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)， ‎ 将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得　　y1＝λ2y2 ③‎ 解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，‎ 抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．‎ 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，‎ 即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．‎ 解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)． ……4分 所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0‎ 所以·为定值，其值为0．　　　……7分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．‎ ‎|FM|＝＝ ‎＝ ‎＝＝＋．‎ 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以 ‎|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．‎ 于是　　S＝|AB||FM|＝(＋)3，‎ 由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．‎ ‎34．（2006年四川卷）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点，如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积 解析：本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分12分。‎ 解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，‎ 且，易知 ‎ 故曲线的方程为 ‎ 设，由题意建立方程组 ‎ 消去，得 又已知直线与双曲线左支交于两点，有 ‎ 解得 又∵ ‎ 依题意得 整理后得 ‎ ‎∴或 但 ∴‎ 故直线的方程为 设，由已知，得 ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴点 将点的坐标代入曲线的方程，得 ‎ 得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ‎∴，点的坐标为 到的距离为 ‎ ‎∴的面积 ‎35．（2006年全国卷I）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：‎ ‎（Ⅰ）点M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）的最小值。‎ 解：（I）根据题意，椭圆半焦距长为，半长轴长为，半短轴长，即椭圆的方程为。‎ 设点P坐标为（，）（其中），则 切线C的方程为：‎ 点A坐标为：（，0），点B坐标为（0，）‎ 点M坐标为：（，）‎ 所以点M的轨迹方程为：（且）‎ ‎（II）等价于求函数 （其中）的最小值 当时等号成立，此时即。‎ 因此，点M坐标为（，）时，所求最小值为。‎ ‎36．（2006年江苏卷）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。‎ ‎（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。‎ 解：（I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距。‎ ‎， ∴，‎ ‎，故所求椭圆的标准方程为+；‎ ‎（II）点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：‎ ‎、（0，-6）、（0，6）‎ 设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距，‎ ‎， ∴，‎ ‎，故所求双曲线的标准方程为-。‎ 点评：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力 ‎37. （2006年湖北卷）设、分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、，证明点在以为直径的圆内.‎ ‎（此题不要求在答题卡上画图）‎ 解析：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。‎ 解：（Ⅰ）依题意得 a＝‎2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.故椭圆的方程为 .‎ ‎（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.‎ ‎∵M点在椭圆上，∴y0＝（4－x02）. 又点M异于顶点A、B，∴－20，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，‎ 故点B在以MN为直径的圆内。‎ 解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则－2b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点 （1） 求点P的轨迹H的方程 （2） 在Q的方程中，令a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0b>0）‎ 上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则 ‎1°当AB不垂直x轴时，x1¹x2，‎ 由（1）－（2）得 b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0‎ ‎ ‎ 2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）‎ ‎2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）‎ 故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0‎ ‎（2）因为，椭圆 Q右准线l方程是x＝，原点距l 的距离为，由于c2＝a2－b2，a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0