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  • 2021-05-14 发布

高考试题分类解析圆锥曲线方程

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‎2006年高考试题分类解析(圆锥曲线方程2)‎ ‎31. ( 2006年重庆卷)已知一列椭圆Cn:x2+=1. 0<bn<1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是|PnFn|与|PnCn|的等差中项,其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.‎ ‎(Ⅰ)试证:bn≤ (n≥1);‎ ‎(Ⅱ)取bn=,并用SA表示PnFnGn的面积,试证:S1<S1且Sn<Sn+3 (n≥3).‎ 图(22)图 证:(1)由题设及椭圆的几何性质有 ‎    ‎ ‎ 设 ‎ ‎ 因此,由题意应满足 即 即,‎ 从而对任意 ‎(Ⅱ)设点 ‎ ‎ ‎ ‎ 得两极,从而易知f(c)在(,)内是增函数,而在(,1)内是减函数.‎ ‎   现在由题设取是增数列.又易知 ‎   ‎ 故由前已证,知 ‎32.(2006年上海春卷)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.‎ ‎ 设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为. 观测点同时跟踪航天器.‎ ‎(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;‎ ‎(2)试问:当航天器在轴上方时,观测点测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?‎ 解:(1)设曲线方程为,‎ 由题意可知,. ‎ ‎. ……4分 ‎ 曲线方程为. ……6分 ‎ (2)设变轨点为,根据题意可知 ‎ 得 ,‎ ‎ 或(不合题意,舍去).‎ ‎ . ……9分 ‎ 得 或(不合题意,舍去). 点的坐标为, ……11分 ‎ .‎ 答:当观测点测得距离分别为时,应向航天器发出变轨指令. ……14分 ‎33.(2006年全国卷II)已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且=λ(λ>0).过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.‎ ‎(Ⅰ)证明·为定值;‎ ‎(Ⅱ)设△ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值.‎ 解:(Ⅰ)由已知条件,得F(0,1),λ>0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).由=λ,‎ 即得  (-x1,1-y)=λ(x2,y2-1), ‎ 将①式两边平方并把y1=x12,y2=x22代入得  y1=λ2y2 ③‎ 解②、③式得y1=λ,y2=,且有x1x2=-λx22=-4λy2=-4,‎ 抛物线方程为y=x2,求导得y′=x.‎ 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y=x1(x-x1)+y1,y=x2(x-x2)+y2,‎ 即y=x1x-x12,y=x2x-x22.‎ 解出两条切线的交点M的坐标为(,)=(,-1). ……4分 所以·=(,-2)·(x2-x1,y2-y1)=(x22-x12)-2(x22-x12)=0‎ 所以·为定值,其值为0.   ……7分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中,FM⊥AB,因而S=|AB||FM|.‎ ‎|FM|== ‎= ‎==+.‎ 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离,所以 ‎|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ++2=(+)2.‎ 于是  S=|AB||FM|=(+)3,‎ 由+≥2知S≥4,且当λ=1时,S取得最小值4.‎ ‎34.(2006年四川卷)已知两定点,满足条件的点的轨迹是曲线,直线与曲线交于两点,如果,且曲线上存在点,使,求的值和的面积 解析:本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分12分。‎ 解:由双曲线的定义可知,曲线是以为焦点的双曲线的左支,‎ 且,易知 ‎ 故曲线的方程为 ‎ 设,由题意建立方程组 ‎ 消去,得 又已知直线与双曲线左支交于两点,有 ‎ 解得 又∵ ‎ 依题意得 整理后得 ‎ ‎∴或 但 ∴‎ 故直线的方程为 设,由已知,得 ‎∴,‎ 又,‎ ‎∴点 将点的坐标代入曲线的方程,得 ‎ 得,但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意 ‎∴,点的坐标为 到的距离为 ‎ ‎∴的面积 ‎35.(2006年全国卷I)在平面直角坐标系中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B,且向量。求:‎ ‎(Ⅰ)点M的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)的最小值。‎ 解:(I)根据题意,椭圆半焦距长为,半长轴长为,半短轴长,即椭圆的方程为。‎ 设点P坐标为(,)(其中),则 切线C的方程为:‎ 点A坐标为:(,0),点B坐标为(0,)‎ 点M坐标为:(,)‎ 所以点M的轨迹方程为:(且)‎ ‎(II)等价于求函数 (其中)的最小值 当时等号成立,此时即。‎ 因此,点M坐标为(,)时,所求最小值为。‎ ‎36.(2006年江苏卷)已知三点P(5,2)、(-6,0)、(6,0)。‎ ‎(Ⅰ)求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)设点P、、关于直线y=x的对称点分别为、、,求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。‎ 解:(I)由题意,可设所求椭圆的标准方程为+,其半焦距。‎ ‎, ∴,‎ ‎,故所求椭圆的标准方程为+;‎ ‎(II)点P(5,2)、(-6,0)、(6,0)关于直线y=x的对称点分别为:‎ ‎、(0,-6)、(0,6)‎ 设所求双曲线的标准方程为-,由题意知半焦距,‎ ‎, ∴,‎ ‎,故所求双曲线的标准方程为-。‎ 点评:本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力 ‎37. (2006年湖北卷)设、分别为椭圆的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且为它的右准线.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、,证明点在以为直径的圆内.‎ ‎(此题不要求在答题卡上画图)‎ 解析:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。‎ 解:(Ⅰ)依题意得 a=‎2c,=4,解得a=2,c=1,从而b=.故椭圆的方程为 .‎ ‎(Ⅱ)解法1:由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0).设M(x0,y0).‎ ‎∵M点在椭圆上,∴y0=(4-x02). 又点M异于顶点A、B,∴-20,∴·>0,则∠MBP为锐角,从而∠MBN为钝角,‎ 故点B在以MN为直径的圆内。‎ 解法2:由(Ⅰ)得A(-2,0),B(2,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 则-2b>0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P是线段AB的中点 (1) 求点P的轨迹H的方程 (2) 在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0b>0)‎ 上的点A(x1,y1)、B(x2,y2),又设P点坐标为P(x,y),则 ‎1°当AB不垂直x轴时,x1¹x2,‎ 由(1)-(2)得 b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0‎ ‎ ‎ 2x2+a2y2-b2cx=0…………(3)‎ ‎2°当AB垂直于x轴时,点P即为点F,满足方程(3)‎ 故所求点P的轨迹方程为:b2x2+a2y2-b2cx=0‎ ‎(2)因为,椭圆 Q右准线l方程是x=,原点距l 的距离为,由于c2=a2-b2,a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0