高考文科数学立体几何的综合测试 15页

‎2011年高考文科数学立体几何的综合测试题及参考答案 ‎1．、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题： ‎ ‎① 若，，则； ② 若，，则；‎ ‎③ 若，，则；④ 若，，则.‎ 其中真命题的序号是A．① ③ B．① ④ C．② ③ D．② ④‎ ‎2．如图，模块①－⑤均由个棱长为的小正方体构成，模块⑥由个棱长为的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为 （ ）‎ A 模块①，②，⑤ B 模块①，③，⑤ C模块②，④，⑥ D 模块③，④，⑤‎ ‎3.某几何体的三视图如图所示，当取最大值时，这个几何体的体积为 ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ A B 　　 　C D ‎ ‎4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸(单位:)，可得这个几何体的体积是 ‎ A B C D 2‎ ‎5. 已知不同的直线，不同的平面，，，则下列条件中是的充分条件的是 A．，， B．，‎ ‎ C．，， D．，，‎ ‎6．已知某个几何体的三视图 如下，根据图中标出的尺 寸（单位：），可得这 个几何体的体积是______。‎ ‎7．一几何体的三视图如右，‎ 则它的体积为 ．‎ ‎8．在空间中，有如下命题：‎ ‎① 两条平行直线在同一平面内的射影是互相平行的两条直线；‎ ‎② 若平面内任意一条直线∥平面，则；‎ ‎③ 若平面与平面的交线为，，，则；‎ ‎④ 若点到的三个顶点的距离相等，则点平面上的射影是三角形的外心；‎ ‎⑤ 若平面内的直线垂直于平面，那么⊥；‎ 其中正确的命题为 ______________。(填上所有正确命题的序号)‎ ‎9．如图，正的中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题:‎ ‎① 动点在平面上的射影在线段上； ‎ ‎② 恒有平面平面；‎ ‎③ 三棱锥的体积有最大值；‎ ‎④ 异面直线与不可能垂直.其中正确的命题的序号是 .‎ ‎10．设、、表示三条直线，、表示两个平面，则下列命题的逆命题是假命题的是 A ，若，则 B ，，若，则 C ，若，则 D ，是在内的射影，若，则 ‎11.如图，正四棱柱的侧棱长为，底面边长为，是棱的中点。‎ ‎（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.‎ ‎12．如图，三棱柱的所有棱长都相等，且底面，‎ 为的中点，与相交于点，连结，‎ （1） 求证：平面；（2）求证：平面。‎ ‎13．如图所示，四边形为矩形，平面，为上的点，，为上的点，且平面 ‎ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｆ Ｅ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积。‎ ‎14．如图，在底面是正方形的四棱锥中，，。‎ ‎（1）证明平面；‎ ‎（2）已知点在上，且，点 为棱的中点，证明平面；‎ ‎（3）求四面体的体积．‎ ‎15. 如图，在矩形中，，、分别 为线段、的中点，⊥平面.‎ ‎（1）求证: ∥平面；‎ ‎（2）求证:平面⊥平面；‎ ‎（3）若，求三棱锥的体积.‎ D A B C P M N ‎16.如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底 面垂直，底面是边长为的菱形，，‎ 是中点，过、、三点的平面交于．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面⊥平面． ‎ ‎17. 如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，且，，，底面，为的中点，。‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）证明：平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积。‎ ‎18. 在正方体中，为的中点，为的中点，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎19．如图四棱锥中平面，底面是矩形，，‎ ‎，点是的中点，点在边上移动.‎ ‎（1）求四棱锥的体积；‎ ‎（2）点为边的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；‎ ‎（3）证明：无论点在边的何处，都有。‎ ‎ ‎ ‎20．已知某几何体的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，设为的中点。‎ C A B C1‎ A B1‎ ‎3‎ A B C ‎（1）作出该几何体的直观图并求其体积；‎ ‎（2）求证：平面平面；‎ ‎（3）边上是否存在点，使平面？‎ 若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论。‎ ‎21. 如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，，，为棱的中点，为线段的中点，‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ F M ‎（1）求证：面；（2）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；（3）求三棱锥的体积.‎ ‎22. 矩形中，、分别是线段、 ‎ 第22题图 C D B A P E F 的中点，平面.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）在上找一点，使得平面.‎ ‎23. 如图，在直三棱柱中，，，，．‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ D ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若是棱的中点，在棱上是否存在一点 ‎，使平面？证明你的结论．‎ ‎24. 将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，，，将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如图乙．‎ ‎（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；‎ ‎25. 如图（1）是一正方体的表面展开图，和是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将和画出来，并就这个正方体解决下面问题。‎ ‎（1）求证：平面； （2）求证：平面；‎ ‎（3）求和平面所成的角的大小（选做）．‎ ‎26．两个有相同底面的正四棱锥组合成一个八面体，可放于棱长为的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．‎ ‎（1）若正方体的“正子体”的六个顶点分别是正方体各面的中心，求此正子体的体积；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求异面直线与所成的角．‎ ‎ ‎ A B E D F C A B E D F C ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ 立体几何的综合答案 ‎1、A ； 2、A ； 3、D； 4、C ； 5、C； 6． 7．；‎ ‎8．② ④ ⑤ ； 9、① ② ③ ； 10、C ；‎ ‎11．（1）证明：连接交于，连结，‎ 在正四棱柱中，底面四边形为矩形，∴为的中点.‎ 又为的中点，故.∴平面.‎ ‎ （2）连结，，又的面积为.‎ ‎ 故三棱锥的体积.‎ ‎12．证明：（1）取的中点，连结、，可以证明，故平面.‎ ‎ （2）由题意四边形是正方形，则.连结、，‎ 易证得≌，故，‎ 又为的中点，故，∴平面 Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｆ Ｅ ‎13．（1）证明：∵平面，，‎ ‎∴平面，则 ‎ 又平面，则 平面 ‎ ‎（2）证明：由题意可得是的中点，连接 平面，则，‎ 而，是中点 在中，，平面 ‎（3）解：平面，，‎ 而平面，平面 是中点，是中点，‎ 且，‎ ‎ 平面，，‎ 中，，‎ ‎ 。‎ ‎14．（1）证明：因为在正方形中 ‎∴ ‎ 可得在中，。‎ 所以，同理可得，‎ 故平面 ‎ ‎ （2）取中点，连接，，‎ 连接交于，连接，‎ ‎∵ 、分别是、的中点，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ 平面， ‎ 又是的中点，故，‎ ‎∴ 平面，故平面平面 ‎∴ 平面 ‎ ‎ （3）连接，则，因为平面，则平面 所以，又的面积为，故四面体的体积．‎ ‎15. （1）证明:在矩形中，，‎ ‎∴ 与平行且相等，故四边形为平行四边形.‎ 故 ，故平面. ‎ ‎（2）证明： ∵ 平面，平面，∴ . ‎ ‎∵，为的中点，∴ . 连结, ‎ ‎∴ 四边形为正方形，故.∴ 平面. ‎ ‎∵ 平面. ∴ 平面⊥平面. ‎ ‎（3）解：∵⊥平面 ∴ 为三棱锥的高，‎ ‎ 所以 ‎16. （1）证明D A B C E P M N :依题意有，故平面，又平面平面，‎ ‎ ∴，∴，（或证平面） ‎ ‎（2）取的中点，连结、、，‎ ‎∵为边长为的菱形，且 ‎∴为等边三角形，又为的中点 ‎∴，又∵‎ ‎∴⊥面，∴AD⊥PB ‎ 又∵，为的中点，∴ ‎ ‎∴平面，又平面 ‎ ‎∴平面平面。 ‎ ‎17. 证明：（1）取的中点，连，，则，‎ 可以得到与 平行切相等，故四边形是平行四边形，‎ 故，故平面。‎ ‎（2）可证平面，故，‎ 又可得，故平面，‎ 又，故平面；‎ ‎（3）的面积，‎ 三棱锥的体积。‎ ‎18.（1）证明：连结，设与的交点为，则为中点，‎ 正方形的对角线，连结，‎ 又分别为的中点，　 ，故平面． ‎ ‎（2），平面，‎ ‎ ，故平面，‎ 又平面，故， ‎ 连结，在中，，‎ ‎，，‎ ‎∴，，‎ 又，平面； ‎ ‎（3）三棱锥的体积 ‎．‎ ‎19．（1）解:，，‎ ‎.‎ ‎（2）证明：当点为的中点时，与平面平行.‎ ‎∵ 在中，、分别为、的中点，‎ ‎∴ ∥，平面，平面 ‎ ‎∴ ∥平面. ‎ ‎（3）证明: ∵ 平面，平面，‎ ‎.又平面，‎ ‎∴ 平面 又平面，故. ‎ 又，点是的中点，故 平面，平面.‎ 又平面，故.‎ ‎20．（1）解：由题意可知该几何体为直三棱柱，其直观图（略）‎ ‎∵几何体的底面积，高，故几何体的体积 ‎ ‎ （2）证明：连结交于点，则为与的中点，连结。‎ ‎∵ ，，，‎ ‎∴ ≌，∴ ，∴ 。‎ 同理，∴ 平面，∴平面⊥平面。‎ ‎ （3）解：取的中点，连结，则平面，下面加以证明：‎ 连结，则与平行且相等，‎ ‎∴ 四边形为平行四边形，∴ ，∴平面。‎ ‎21. （1）证明：连结、交于点，再连结， ‎ ‎，且， 又，故且，‎ ‎ 四边形是平行四边形，故，平面。‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ F M O E ‎（2）平面，下面加以证明：‎ 在底面菱形中， ‎ ‎ 又平面，面 ‎ ，平面，‎ ‎，平面。 ‎ ‎（3）过点作，垂足，平面，平面 ‎ ，平面，‎ 在中，，，故，‎ ‎。‎ ‎22. (1) 证明：连结，在矩形中，，‎ 是线段的中点，故. ‎ 第22题图 C D B A P E F 又∵平面，∴ . ‎ ‎∴平面，∴ .　 ‎ ‎(2) 过作交于，则平面，‎ 且. 再过点作交于，‎ 则平面，且. ‎ ‎∴ 平面平面.∴ 平面.故满足的点为所找. ‎ ‎23. （1）证明：∵，∴．‎ ‎∵三棱柱为直三棱柱，∴． ‎ ‎∵，∴平面．∵平面，∴，‎ E F A B C A1‎ B1‎ C1‎ D ‎∵，则． ‎ 在中，，，∴．‎ ‎∵，∴四边形为正方形．‎ ‎∴．∵，∴平面 ‎ ‎（2）当点为棱的中点时，平面．证明如下：‎ ‎ 取的中点，连、、，‎ ‎∵ 、、分别为、、的中点， ‎ ‎∴．∵平面，平面，∴平面．‎ 同理可证平面． ∵， ∴平面平面．‎ ‎∵平面， ∴平面．‎ ‎24.（1）证明：设在的射影为，则平面，‎ ‎， 又， 平面， ‎ ‎ ，又， 平面 ‎（2）解：由（1）知平面，又平面，故平面平面，‎ ‎ 二面角为直二面角，即二面角的大小为。‎ ‎25． 解：和的位置如右图所示；‎ ‎（1）由与平行且相等，得四边形为平行四边形 ‎ ∴ ‎ ‎∵平面，故平面。‎ ‎（2）∵平面，平面，∴‎ ‎ 又在正方形中，故平面，‎ 平面，故，同理可得，故平面 ‎（3）连结交于点，由，，，‎ 得平面，连结，则为和平面所成的角。‎ 在中，故.即和平面所成的角为。‎ ‎26.解：（1）因为正子体的各个顶点是正方体各面的中心，所以 ‎．‎ ‎ 正四棱锥的底面积，高．‎ 正子体体积．‎ ‎（2）记正方体为，取棱的中点为，中点为．‎ 则，，故．‎ ‎ 是异面直线与所成的角，‎ 因为，故=．‎ 即异面直线与所成的角为．‎