新课标人教A版高考数学理总复习限时规范训练二项式定理 4页

第十章 第3讲 ‎(时间：45分钟　分值：100分)‎ 一、选择题 ‎1. [2012·天津高考]在(2x2－)5的二项展开式中，x的系数为(　　)‎ A. 10　　　　　　　　　 B. －10‎ C. 40　　 D. －40‎ 答案：D 解析：Tr＋1＝(－1)rC·(2x2)5－r·x－r＝(－1)rC·25－r·x10－3r，令10－3r＝1⇒r＝3，∴T4＝－C·22x＝－40x.‎ ‎2. [2013·皖南八校联考]二项式(3x－)n的展开式中的第9项是常数项，则n的值是(　　)‎ A. 4　　 B. 8‎ C. 11　　 D. 12‎ 答案：D 解析：二项式(3x－)n的展开式的通项是Tr＋1＝C·(3x)n－r·(－)r＝C·3n－r·(－2)r·xn－r，依题意得n－×8＝0，所以n＝12.‎ ‎3. 若实数a＝2－，则a10－‎2Ca9＋‎22Ca8－…＋210＝(　　)‎ A. 32　　 B. －32‎ C. 1024　　 D. 512‎ 答案：A 解析：由题意得a10－‎2Ca9＋‎22Ca8－…＋210＝(a－2)10，又a＝2－，所以原式＝(2－－2)10＝32.‎ ‎4. [2013·衡阳三联考]已知(3－)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是(　　)‎ A. －24　　 B. 24‎ C. －252　　 D. 252‎ 答案：D 解析：令x＝1可得各项系数之和为2n＝256，则n＝8，故展开式中第7项的系数为C×32×(－1)6＝252.‎ ‎5. 已知n＝∫e61dx，那么(x－)n展开式中含x2项的系数为(　　)‎ A. 125　　 B. 135‎ C. －135　　 D. －125‎ 答案：B 解析：n＝∫e61dx＝x＝6，(x－)6的通项Tr＋1＝Cx6－r(－)r＝C(－3)rx6－2r,6－2r＝2，即r＝2，则x2项的系数为C(－3)2＝135.‎ ‎6. [2013·琼海模拟]已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝(　　)‎ A. 180　　 B. 90‎ C. －5　　 D. 5‎ 答案：A 解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通项公式为：Tr＋1＝C210－r(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．‎ 所以a8＝C22(－1)8＝180.故选A.‎ 二、填空题 ‎7. [2013·金版原创]已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．‎ 答案：6‎ 解析：(x＋1)10展开式的各项系数为其二项式系数，当n＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k的最大值为6.‎ ‎8. 二项式(＋x)(1－)4的展开式中x的系数是________．‎ 答案：3‎ 解析：利用分步计数原理与组合数公式，符合题目要求的项有·(－)4和x·14，求和后可得3x，即展开式中x的系数为3.‎ ‎9. [2013·汕头模拟]若n是正整数，则7n＋7n－‎1C＋7n－‎2C＋…＋‎7C除以9的余数是________．‎ 答案：7或0‎ 解析：7n＋7n－‎1C＋7n－‎2C＋…＋‎7C＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝C9n(－1)0＋C9n－1(－1)1＋…＋C90(－1)n－1，当n＝2k时，余数为0；当n＝2k＋1时，余数为7.‎ 三、解答题 ‎10. 若(x2－)9(a∈R)的展开式中x9的系数是－，求sinxdx的值．‎ 解：由题意得Tr＋1＝C(x2)9－r(－1)r()r ‎＝(－1)rCx18－3r，令18－3r＝9得r＝3，‎ 所以－C＝－，解得a＝2，‎ 所以sinxdx＝(－cosx)＝－cos2＋cos0＝1－cos2.‎ ‎11. [2013·重庆月考]已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.‎ 求：(1)a1＋a2＋…＋a7；‎ ‎(2)a1＋a3＋a5＋a7；‎ ‎(3)a0＋a2＋a4＋a6；‎ ‎(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.‎ 解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1， ①‎ 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37. ②‎ ‎(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.‎ ‎(2)(①－②)÷2，‎ 得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.‎ ‎(3)(①＋②)÷2，‎ 得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.‎ ‎(4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，‎ 而a1，a3，a5，a7小于零，‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|‎ ‎＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)．‎ ‎∴由(2)、(3)即可得其值为2187.‎ ‎12. [2013·衡中模拟]已知(＋2x)n.‎ ‎(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；‎ ‎(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．‎ 解：(1)∵C＋C＝‎2C，∴n2－21n＋98＝0.‎ ‎∵n＝7或n＝14，‎ 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.‎ ‎∴T4的系数＝C()423＝，‎ T5的系数＝C()324＝70.‎ 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.‎ ‎∴T8的系数＝C()727＝3432.‎ ‎(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.‎ ‎∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，‎ ‎∵(＋2x)12＝()12(1＋4x)12，‎ ‎∴ ‎∴9.4