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- 2021-05-14 发布
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学案67 二项分布及其应用
导学目标: 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.3.能解决一些简单的实际问题.
自主梳理
1.条件概率及其性质
(1)设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.
(2)条件概率具有的性质:
①__________________;
②如果B和C是两个互斥事件,则
P(B∪C|A)=________________.
2.相互独立事件
(1)设A,B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B____________.
(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=______,
P(AB)=________________=________________.
(3)若A与B相互独立,则________________,________________,________________也都相互独立.
(4)若P(AB)=P(A)P(B),则________________.
3.二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.此时称随机变量X服从二项分布.记作____________.
自我检测
1.两人独立地破译一个密码,他们能译出的概率分别为,,则密码被译出的概率为( )
A.0.45 B.0.05 C.0.4 D.0.6
2.(2011·三明月考)一学生通过一种英语听力测试的概率是,他连续测试两次,那么其中恰有一次通过的概率是( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量X服从二项分布X~B,则P(X=2)等于( )
A. B. C. D.
4.已知P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
5.(2011·临沂调研)一次测量中出现正误差和负误差的概率都是,在5次测量中至少3次出现正误差的概率是( )
A. B. C. D.
探究点一 条件概率
例1 在100件产品中有95件合格品,5件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件.试求:
(1)第一次取到不合格品的概率;
(2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率.
变式迁移1 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问:
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出红球的概率是多少?
(2)从2号箱取出红球的概率是多少?
探究点二 相互独立事件
例2 (2011·宁波模拟)甲、乙两名射击运动员,分别对一目标射击一次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求
(1)两人都射中的概率;
(2)两人中恰有一人射中的概率;
(3)两人中至少一人射中的概率;
(4)两人中至多一人射中的概率.
变式迁移2 甲、乙、丙三人分别独立做一道题,甲做对的概率是,三人都做对的概率是,三人全做错的概率是.
(1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率;
(2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率.
探究点三 独立重复试验与二项分布
例3 (2010·天津汉沽一中月考)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落,小球
在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中,已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.
(1)求小球落入A袋中的概率P(A);
(2)在容器入口处依次放入4个小球,记ξ为落入A袋中小球的个数,试求ξ=3的概率.
变式迁移3 粒子A位于数轴x=0处,粒子B位于数轴x=2处,这两颗粒子每隔1秒钟向左或向右移动一个单位,设向右移动的概率为,向左移动的概率为.
(1)求4秒后,粒子A在点x=2处的概率;
(2)求2秒后,粒子A、B同时在x=2处的概率.
1.一般地,每一个随机试验都在一定的条件下进行,而这里所说的条件概率,则是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的基础上,再加上一定的条件),求另一事件在此条件下发生的概率.求条件概率,必须理解条件概率的定义及公式,公式中的P(AB)是指事件A、B同时发生的概率.
2.一般地,事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,即P(B|A)=P(B),这时,我们称两个事件A、B相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.事件的独立是一种对等的性质.如果事件A对事件B独立,那么就可以说事件A与B相互独立.显然,必然事件与任何事件是相互独立的.
3.独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.
4.独立重复试验概率公式的特点:关于Pn(k)=Cpk(1-p)n-k,它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率.其中,n是重复试验次数,p是一次试验中某事件A发生的概率,k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数,需要弄清公式中n、p、k的意义,才能正确运用公式.
(满分:75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2010·湖北)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是( )
A. B.
C. D.
2.(2011·温州月考)位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )
A.5 B.C5
C.C3 D.CC5
3.设每门高射炮击中飞机的概率为0.6,今有一架飞机来犯,问需要几门高射炮射击,才能至少以99%的概率击中它( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.(2011·合肥模拟)
一个电路如图所示,A、B、C、D、E、F为6个开关,其闭合的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是( )
A. B.
C. D.
5.同时抛掷三颗骰子:设A=“三个点数都不相同”,B=“至少有一个6点”,则P(B|A)为( )
A. B.
C. D.
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2010·湖北)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答).
7.(2010·重庆)加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为、、,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为________.
8.(2010·福建)某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于______.
三、解答题(共38分)
9.(12分)一名学生骑车从家到学校的途中有6个路口,假设他在每个路口遇到红灯的事件是相互独立的,且概率都为.求:
(1)这名学生在途中遇到红灯次数ξ的分布列;
(2)这名学生首次遇到红灯或到达目的地而停车时所经过了的路口数η的分布列;
(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
10.(12分)(2011·六安模拟)设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数(重根按一个计).
(1)求方程x2+bx+c=0有实根的概率;
(2)求ξ的分布列;
(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x2+bx+c=0有实根的概率.
11.(14分)甲、乙两个乒乓球选手进行比赛,他们的水平相当,规定“七局四胜”,即先赢四局者胜,若已知甲先赢了前两局,求:(1)乙取胜的概率;
(2)比赛打满七局的概率;
(3)设比赛局数为ξ,求ξ的分布列.
学案67 二项分布及其应用
自主梳理
1.(2)①0≤P(B|A)≤1 ②P(B|A)+P(C|A) 2.(1)相互独立 (2)P(B) P(B|A)P(A) P(A)P(B) (3)A与 与B 与 (4)A与B相互独立 3.(2)X~B(n,p)
自我检测
1.C 2.C 3.D 4.B 5.D
课堂活动区
例1 解题导引 求条件概率的通常方法是利用条件概率公式P(B|A)=.这就需要求P(AB)和P(A).如果事件具有等可能特点,还可以看作是基本事件空间改变后的古典概型,利用P(B|A)=来计算.
解 设A={第一次取到不合格品},B={第二次取到不合格品}.
(1)P(A)==.
(2)方法一 根据条件概率的定义计算,需要先求出事件AB的概率:P(AB)=×,
所以有P(B|A)===.
方法二 事件A发生的条件下,事件空间包含的基本事件个数为nA=100-1=99个.
事件A发生的条件下,事件B包含4个基本事件.
∴P(B|A)==.
变式迁移1 解 记事件A:最后从2号箱中取出的是红球;
事件B:从1号箱中取出的是红球.
则P(B)==,P()=1-P(B)=,
(1)P(A|B)==.
(2)∵P(A|)==,
∴P(A)=P(AB)+P(A)
=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=×+×=.
例2 解题导引 (1)审题应注意关键的词句,例如“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰好有一个发生”等.
(2)复杂事件的概率拆分为几个互斥事件的和事件,然后利用互斥事件的概率加法公式进行求解.
(3)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有:
①利用相互独立事件的概率乘法公式;
②正面计数较繁或难以入手时,可以从对立事件入手计算.
解 (1)记事件A:甲射中目标;
事件B:乙射中目标.
两人都射中的概率为
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
(2)两人中恰有一人射中包括“甲中乙不中”、“甲不中乙中”两种情况,其对应事件为互斥事件,则
P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)
=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9
=0.08+0.18=0.26.
(3)方法一 两人至少有一人射中包括“两人都射中”和“两人有一人射中”两种情况,其概率为P(AB)+P(B)+P(A)=P(A)P(B)+P()P(B)+P(A)P()
=0.72+0.26=0.98.
方法二 因为“两人至少有一人射中”与“两人都未射中”互为对立事件.
所以“两人至少有一人射中”的概率为:
1-P( )=1-P()P()=1-0.2×0.1=0.98.
(4)方法一 至多有一人射中包括“有一人射中”和“两人都未射中”,故所求概率为
P( )+P(A)+P(B)
=P()P()+P(A)P()+P()P(B)
=0.02+0.08+0.18=0.28.
方法二 “至多有一人射中”的对立事件为“两人都射中”,
故所求概率为1-P(AB)=1-P(A)P(B)
=1-0.72=0.28.
变式迁移2 解 (1)设甲、乙、丙三人各自做对这道题分别为事件A、B、C,则P(A)=,
由题意得,
解得P(B)=,P(C)=或P(B)=,P(C)=,
所以乙、丙两人各自做对这道题的概率为和或和.
(2)设“甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题”为事件D,则
P(D)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+
P()P()P(C)=++=,
所以甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率是.
例3 解题导引
因为小球每次遇到黑色障碍物相互独立,且每次向左(或向右)的概率都是,因此该试验属n次独立重复试验.注意n=3,P=.
独立重复试验,是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
解 (1)方法一 记小球落入B袋中的概率P(B),
则P(A)+P(B)=1,由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落,小球将落入B袋,
所以P(B)=3+3=,
∴P(A)=1-=.
方法二 由于小球每次遇到黑色障碍物时,有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入A袋.
∴P(A)=C3+C3=.
(2)由题意,ξ~B.
∴P(ξ=3)=C31=.
变式迁移3 解 (1)要求4秒后,粒子A在x=2处的概率,即求粒子A四次移动中恰有三次向右移动发生的概率:
C()3()=.
(2)要使粒子A、B在2秒后同时在点x=2处,粒子A一定要往右移动2次,而粒子B往右和左各一次,所求概率为:2·C=.
课后练习区
1.C 2.B 3.D 4.B 5.A
6.0.947 7 7. 8.0.128
9.解 (1)由已知ξ~B,
分布列为P(ξ=k)=Ck6-k,
k=0,1,2,3,…,6.(2分)
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
6
P
(4分)
(2)η=k表示这名学生首次停车时经过的路口数,即在前k个路口没有遇上红灯,但在第k+1个路口遇上红灯,则η的取值可能为0,1,2,3,4,5,6,其中η=6表示路上没有遇上红灯.
当0≤k≤5时,P(η=k)=·k;
当k=6时,P(η=6)=6.(9分)
所以η的分布列为
η
0
1
2
3
4
5
6
P
·
·()2
·()3
·()4
·()5
()6
(10分)
(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件概率为
P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-()6=.(12分)
10.解 (1)基本事件总数为6×6=36,若使方程有实根,则Δ=b2-4c≥0,即b≥2.
当c=1时,b=2,3,4,5,6;
当c=2时,b=3,4,5,6;
当c=3时,b=4,5,6;
当c=4时,b=4,5,6;
当c=5时,b=5,6;
当c=6时,b=5,6,
所求事件个数为5+4+3+3+2+2=19,
因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为.(4分)
(2)由题意知,ξ=0,1,2,则P(ξ=0)=,
P(ξ=1)==,P(ξ=2)=,
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
(8分)
(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M,
“方程x2+bx+c=0有实根”为事件N,
则P(M)=,P(M∩N)=,
P(N|M)==.(12分)
11.解 (1)当甲先赢了前两局时,乙取胜的情况有两种:第一种是乙连胜四局;第二种是在第三局到第六局,乙赢了三局,第七局乙赢.
在第一种情况下,乙取胜的概率为4=,
在第二种情况下,乙取胜的概率为C4=,
所以当甲先赢了前两局时,乙取胜的概率为
+=.(5分)
(2)比赛打满七局有两种结果:甲胜或乙胜,记“比赛打满七局甲胜”为事件A,记“比赛打满七局乙胜”为事件B.
则P(A)=C4=,
P(B)=C4=,
又A,B互斥,所以比赛打满七局的概率为
P(A)+P(B)=.(9分)
(3)P(ξ=4)=2=,
P(ξ=5)=C2=,
P(ξ=6)=C3+4=,
P(ξ=7)=C4+C4·=,(13分)
所以ξ的分布列为
ξ
4
5
6
7
P
(14分)