2011 江西高考数学试卷分析 12页

新课标 新起点 新高考 新思维 ‎ 高考题库 共7328套 ‎2011 江西高考数学试卷分析 九江市一中 张思意 江俊 一、试卷综述 ‎2011年是江西省实行新课程标准后的第一个高考年。在保持基本稳定的前提下，今年的江西理科数学试卷的布局有所调整，总题量数改为21题，比10年减少了一个小题。命题严格遵守《普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科）》（以下简称《考试大纲》）和《2011年普通高等学校招生全国统一考试江西卷考试说明（理科）》（以下简称《考试说明》），遵循“有助于高等学校选拔新生，有助于中学实施素质教育和课程改革，有助于对学生创新意识、实践能力的培养”的指导思想。命题根据江西省高中数学教学的实际情况，重点考查高中数学的主体内容，适当考查新课标的新增内容，体现了新课程改革的理念。试卷在考查基础知识、基本技能和基本能力的基础上，突出了对考生数学思维能力、应用意识和创新意识的考查。‎ 试卷的知识覆盖面广，只有线性规划、三角函数性质、二项式定理、立体几何中的空间角没有涉及到。命题稳中有变，稳中有新。题目数量、难度安排适宜，题目立意新颖，试卷难、中、易比例恰当。试卷具有较高的信度、效度和区分度。达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标。‎ 整套试卷难度不大，比10年稍易，通卷没有“死题”。选择题中第1—9题比较简单，第10题有难度。填空题中，第11、12、13、15题考生容易下手，第14题较难。6道解答题中，第16题为明显的送分题，其余每题都有一定的思维量，其中第20题的第（Ⅱ）问、第21题相对较难一点，但没有偏难题。‎ 二、知识点分布 遵照《考试大纲》和《考试说明》，从以下20个大项对江西理科试卷进行题数和分值的统计（其中把基本初等函数Ⅱ、三角恒等变换和解三角形合并在一起）‎ 章 节 题 号 分 值 备 注 集合 ‎（2）‎ ‎5‎ ‎1.第（4）题是导数与解不等式的综合应用。‎ ‎2.第（7）题是推理与周期的综合应用。‎ ‎3.第（8）题是立体几何初步与充要条件综合应用。‎ ‎4.第（9）题是圆锥曲线与平面解析几何初步的综合应用。‎ ‎5.第（10）题是平面解析几何与实际问题综合应用。‎ ‎6.第（14）题是圆的切点弦与圆锥曲线的综合应用。‎ ‎7.第（16）是概率与统计的综合应用及实际问题处理能力的考查。‎ ‎8.第（17）题是解三角形和三角变换综合应用。‎ ‎9.第（18）题数列知识的综合应用和计算能力，推理证明能力。‎ ‎10.第（19）题是函数、导数和不等式等基础知识以及有解问题的处理，考查综合运用数学知识进行推理论证的能力。‎ ‎11.第（20）题属于圆锥曲线的问题,主要考查了双曲线的离心率的确定，能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系和平面向量的运算。‎ ‎12.第（21）题是空间向量与立体几何及空间想象能力和计算能力，推理证明能力的综合应用。‎ 函数概念与基 本初等函数Ⅰ ‎（3）（4）（19）‎ ‎22‎ 三角函数与 解三角形 ‎（17）‎ ‎12‎ 平面向量 ‎（11）（20）‎ ‎18‎ 数列 ‎（5）（18）‎ ‎17‎ 不等式 ‎（2）（4）（15②）‎ ‎（19②）‎ ‎26‎ 立体几何初步 ‎（8）‎ ‎5‎ 空间向量与 立体几何 ‎（21）‎ ‎14‎ 平面解析 几何初步 ‎（10）‎ ‎5‎ 圆锥曲线 ‎（9）（14）（20）‎ ‎23‎ 算法初步 ‎（13）‎ ‎5‎ 计数原理（二项式定理）‎ ‎（16）‎ ‎12‎ 概率与统计 ‎（6）（12）‎ ‎10‎ 随机变量及其分布列、统计案例 ‎（16）‎ ‎12‎ 常用逻辑用语 无 ‎0‎ 导数及其应用 ‎（4）（19）‎ ‎17‎ 复数 ‎（1）‎ ‎5‎ 推理与证明 ‎（7）‎ ‎5‎ 坐标系与 参数方程 ‎（15①）‎ ‎5‎ 不等式选讲 ‎（15②）‎ ‎5‎ 三、试题特点 ‎1.试题稳中有变，稳中有新 ‎2011年高考在题目的排列顺序上，延续了一贯的由易到难的排列原则，体现高考中的人文关怀精神，有利于考生稳定情绪，顺利作答。在保持基本稳定的前提下，今年的江西理科数学试卷有较大的变化，给人耳目一新的感觉。‎ ‎1.1新在试卷面孔 首先，总题量数改为21题，比10年减少了一个小题；大题数由原来的三题增加到四题，增加了一道选做题；在题目类型的分布上也有变化，不仅减少了两道选择题，增加了一道选做题，而且填空题的分值上升。这种变动增大了试题的信度及区分度，更好地体现出高考试题的选拔功能。其次，在解答题顺序上，2011的高考以立体几何所考查的内容作为压轴题，改变传统的以不等式综合应用为压轴题，这一改变避免了出现“死题”的现象。这种变动同样可以更好增大试题的区分度，体现了命题者的良苦用心。最后，在严格遵循《考试大纲》、《考试说明》的基础上，在考查知识点的选取上有较大的改变，一方面是前几年高考中频繁出现的线性规划、三角函数性质、递推数列等在试卷中没有考查，导数知识没有用传统的对数、指数为背景；另一方面新增内容有统计中的相关系数、几何型概率、算法与框图等首次进入试卷。例如第7题、第9题、第10题、第14题、第18的第（2）问、第20题的第（2）问、第21题都比较有新意。第6题、第12题、第13题都是新增内容的考查。‎ ‎1.2新在试卷内涵 正如考试大纲中所说：“…….注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面………”。2011年高考试卷中没有考查线性规划、三角函数性质、二项式定理、立体几何中的空间角等知识点。这一变化不仅为新增知识点的考查留出空间，同时也展示了教育部门践行新课标的决心及勇气。比以往更注重考查能力，在大题的设置上尽量避免复杂的运算，以能力换计算。注重试题的有效度、区分度，比如压轴题，与以往相比，今年试卷的压轴题能更好的体现这一点。‎ ‎2.思维量大，计算量小 试卷注重对数学能力的考查，强调“以能力立意”，以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的综合运用。突出对思维能力的考查，弱化对运算能力的考查。整套试卷无论是选择题、填空题，还是解答题计算量都不大，推理过程也不繁杂。重点考查通性通法，避免偏题、怪题，很好地控制了运算量，加大思维量。试卷中没有涉及分类讨论。只有第10、20题的第（Ⅱ）问思维量、计算量较大一点。为了控制运算量，整套试卷中没有出现分类讨论---这在以往的高考试卷中绝无仅有。‎ ‎3.注重基础知识，突出课改理念 试卷注重对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，占有比较大的比例，构成数学试卷的主体。注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题。试题覆盖了高中数学中的主要知识点，突出了对主干知识的考查力度。解答题则沿袭了多年的传统做法，分别涉及函数、数列、不等式、三角、立几、解几和概率统计等内容，体现了平稳过渡的精神。在对题目的选配上，一方面，突出了对考生数学思维能力、应用意识和创新意识的考查，避免繁杂运算；另一方面，注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。‎ ‎4.注重考查数学的各种思想和能力 ‎4.1数形结合的思想 数形结合的思想是借助于形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。利用这种数学思想往往能简化解题过程。比如第6、9、10、12、14、17、20题都涉及数形结合。‎ 例1、【第（6）题】变量与相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),‎ ‎(12.5,4),(13,5);变量与相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).表示变量与之间的线性相关系数,表示变量与之间的线性相关系数,则 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 解析：C ‎ 在坐标系中分别做出两组数据，由图知。‎ 例2、【第（9）题】 若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是 ( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ 解析：B 曲线表示以为圆心，以1为半径的圆，曲线表示，直线过定点，直线与圆有两个交点，故直线也应该与圆有两个交点，‎ 由图可以知道，临界情况是直线与圆相切的时候，如图由三角形知识可知，两种相切分别对应，所以实数的取值范围应是 C A B 例3、【第（12）题】小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 .‎ 解析：‎ 方法一：‎ 不在家看书的概率 ‎ 方法二：不在家看书的概率=1—在家看书的概率 ‎4.2函数与方程的思想 今年的试卷中，更多地体现了函数与方程的思想，例如第17题，第18题，第19题，第20题，都是利用了函数和方程的思想。‎ 例4、【第（20）题】是双曲线：上一点，分别是双曲线的左、右顶点，直线的斜率之积为.‎ （1） 求双曲线的离心率；‎ （2） 过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为双曲线上的一点，满足，求的值.‎ 解：（1）已知双曲线：，在双曲线上，分别为双曲线的左右顶点，所以，，直线斜率之积为 而，比较得 ‎（2）联立，得，设 则………..（1）‎ 设，，即 又为双曲线上一点，即，有 化简得：………….(2)‎ 又在双曲线上，所以，‎ 由（1）式又有 得：，解出.‎ ‎4.3转化与化归思想 转化与化归思想的考查在整套试题中处处可见，主要体现化繁为简的转化；文字语言、图形语言、数学语言互译转化；数学形式之间的转化；知识与方法的迁移等。特别是第7、8、14、15①、②、17、18、19等题更为明显。比如19①就把函数单调递增转化为导数有解。‎ 例5、【第（7）题】观察下列各式:则的末四位数字为( )‎ ‎ A.3125 B. ‎5625 C.0625 D.8125‎ 解析：D ‎ 所以从开始，后四位数重复出现，，又 所以 例6、【第（10）题】如右图，一个直径为1的小圆沿着直径 为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，和是小圆的一条 固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一 周，点，在圆内所绘出的图形大致是( )‎ M A N P B O F 解析：A 由运动过程可知，小圆圆心始终在以原点为圆心,‎ ‎0.5为半径的圆上运动。当小圆运动到两圆相切于 点时，则小圆与大圆的切点转过的弧长长度 等于弧，过小圆圆心作垂线，‎ 设转动角度为，则大圆弧长，‎ 小圆弧长，所以，‎ 则，则，所以，则平行轴。又，所以，所以轴，则点在轴上，又为中位线，，则，所以点在轴上。故最终运动轨迹如图所示。‎ 例7、【第（14）题】若椭圆的焦点在轴上，过点作圆 的切线，切点分别为，，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .‎ 方法一：应用切点弦知识可以得到：直线方程为.代入、得. 根据公式，即椭圆方程为：‎ 方法二：作图可知一个切点为，所以椭圆.分析可知直线为圆与以为圆心，为半径的圆的公共弦.由与相减得直线方程为：.令，解得，‎ ‎∴，又，∴，故所求椭圆方程为：. ‎ 例8、【第（15②）题】对于实数，，若，，则的最大值为 .‎ 解析：方法一：‎ 此题，看似很难，运用转化与化归思想，其实不难，首先解出的范围：，再解出的范围，，所以的范围是，得到的最大值为5. ‎ 方法二：‎ 方法三：‎ 由得，由得 ‎ 故的最大值为5‎ ‎5.重视通性通法，体现多角度的命题思路 ‎2011年的试题中，体现命题者这样一种命题思路，即解题强调通性通法，同时鼓励多角度的思考和解决问题，不拘泥于某一解法，不局限考生的思想，每个命题尽可能让考生可以从不同角度入手，均能得到好的结果，体现命题者的独具匠心。‎ 例9、【第(22)题】（1）如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面，使得，且其中每相 邻两个平面间的距离都相等；‎ ‎(2)给定依次排列的四个相互平行的平面，‎ 其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体的四个顶点满足，求该正四面体的体积.‎ ‎【解析】（1）如图所示，取的三等分点，，的中点，的中点，过三点，，作平面，过三点，，作平面，因为 o N M z x y ‎,,所以平面平面，再过点 ‎，分别作平面，与平面平行，那么四个平面 ‎，，，依次相互平行，由线段被平行平面 ‎，，，截得的线段相等知，期中每相邻两个平面间 的距离相等，故，，，为所求平面.‎ ‎（2）解法一：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面，每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体就是满足题意的正四面体.设正四面体的棱长为，以的中心为坐标原点，以直线为轴，直线为轴建立如图的右手直角坐标系，则，，，‎ 令，为的三等分点，为的中点，有 ‎，,所以，‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，有，即 所以，.因为，，，相邻平面之间的距离为1，所以点到平面 的距离，解得 由此可得，边长为的正四面体满足条件.‎ ‎()‎ 所以所求正四面体的体积.‎ 解法二：如图，现将此正四面体 置于一个正方体 中，（或者说，‎ 在正四面体的四个面外侧各镶嵌 一个直角正三棱锥，得到一个正方 体），，分别是，‎ 的中点，和是两 个平行平面，若其距离为1，则正四面体即为满足条件的正四面体.右图是正方体的上底面，现设正方体的棱长为，若，则有，‎ ‎ 据，得 于是正四面体的棱长，其体积 四、市高三十套、三模试题与高考试题的对比分析 市高三十套模拟试卷和三次模拟考试试卷在命题上都抓住了新课程新高考的特点，在试题的个数、试题类型和考查的知识点上与高考卷基本一致，说明考前掌握的信息是准确的、有效的。以下对市高三十套、三模试题与高考试题做个简单的对比和分析。‎ ‎1 重视新增内容 因为今年是江西省实行新课程标准后的第一个高考年，所以新增内容在高考卷中必然会有所体现，其中文科卷中第7，8，9，13，15分别考查了统计，回归方程，三视图，框图和不等式选讲五个知识点共25分，理科卷中的第6,13,15题分别考查了相关系数，框图，极坐标方程和不等式选讲共15分，只有线性规划和定积分没有涉及，可见新高考对新增内容的重视。市一模试卷考了一道框图题，一道线性规划和几何概率交汇的题和一道统计题；二模考试考查了三视图，框图，定积分，线性规划和几何概率五个新增内容考点；三模试题中有回归方程，三视图，框图，线性规划，线性规划与几何概率交汇和极坐标与不等式选讲六个新增内容考点，可见越接近高考新增内容越重视，这三次考试对新增内容的考查基本覆盖了高考的新增内容，只有相关系数没有考。遗憾的是在市高三十套模拟试卷中均没有考相关系数的题目，因此在今后综合模拟卷中应该注意要覆盖所有的新增内容。‎ ‎2 重点是掌握基本题 ‎ 今年高考卷中选择题和填空题的难度不大，以简单和中等题为主。第10题是新编题，以解析几何与平面几何为背景，联系生活重点考查学生的分析推理能力，与去年最后一道选择题有异曲同工之妙，而在市三次模试卷和高三十套模拟试卷中都缺乏类似题目，除此题外市三次模试卷和高三十套模拟试卷中的选择题和填空题基本覆盖了高考卷中的题型，高考卷选择题第2，3，4题分别考了集合，函数定义域，导数三个知识点，其中解不等式是关键，而关于解不等式的题目在模拟卷出现较少。第5题是数列题，文科考了等差数列，理科考了前项和与的关系，都是简单题基本题。第8题是立几与充要条件交汇题，考查概念的掌握，这在十套卷中有类似题。第9题是解几题，主要考查方程与曲线，直线与圆的位置关系的判断方法，这在模拟卷中出现较少。‎ ‎3 注重思维和方法 ‎ 有相当一部分考生在第17（2）题遇到了困难耽误了时间甚至影响了后面试题的作答，第17题虽然解法单一，但并不难，只是很多考生没有对这道题形成正确的思考方法。以文科题为例。‎ 例10 【17】在中，的对边分别是，已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎(2)若，求边的值．‎ 解：（1）由 及正弦定理得：‎ 即，所以。‎ ‎（2）因为，所以 由，得展开易得：‎ ‎ 由正弦定理： ‎ ‎【点评】本题主要考查解三角形和三角函数公式。第一问主要涉及到正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式及三角形内角和为，这几个知识点的考查属于一般难度；第二问同样是对正弦定理和诱导公式的考查，但形势更为灵活，关键是想到角，则，由诱导公式得，利用两角和的余弦公式展开，结果便不难得到。很多学生就是在 然后用两角和的余弦公展开这个关键点卡住了。从解题方向来说，已知三角形的一边和此边所对角的余弦，以及另外两角的三角函数式求其中一边肯定需要正弦定理，只需求边所对角的正弦值即可，所以求只需将带入条件即可，同样求类似。‎ 市三次模拟试卷和十套模拟卷大部分是以三角形为平台，重点对向量和三角函数性质的综合考查，以解三角形为主体的题少了一些。另外今年高考卷理科的解析几何大题是以双曲线为背景的，而市三次模拟试卷和十套模拟卷中以双曲线为背景的大题只有两套，分别是三模试卷和综合训练卷（2），可见模拟卷中都把以椭圆和抛物线为背景的大题作为重点考查的对象，应该同等重视。‎ 五、对今后高三复习的启示 今年是我省进入新课改后的第一次高考，今年的高考命题为今后的课程改革和高考改革提供哪些重要的信息，成为人们关注的焦点。高考命题的导向在很大程度上决定着中学推行新课改的力度和发展新课改的深度，及高三复习的方向。今后复习中应该做好以下几个方面：‎ ‎1.注重双基，基本知识和基本技能的掌握是根本 从今年的试卷中不难看出，函数、数列、不等式、三角、立几、解几和概率统计仍然是考查的主要内容，从本文的知识点统计中更是一目了然。‎ 试题的框架主体仍是考查数学的基础知识和通性通法。如函数的图象、单调性、定义域等性质及变换；数列的基本运算及应用；不等式的求解与证明；三角函数图象与性质；空间图形的识别及线面的位置关系（包括体积和夹角）；圆锥曲线的基本概念、性质及应用；几种常见类型的概率和统计图表及用样本估计总体问题等。‎ 所以今后的高三复习这些内容仍然是重中之重，只有夯实这些章节的基础知识，才能从容应对高考。‎ ‎2.注重通法，培养能力是关键 重视高中数学的通性通法。努力培养学生空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。特别应注意新增加的“数据处理能力”和“应用意识和创新意识”。前者与统计有关，后者与应用问题有关。‎ ‎3.注重课程改革的本质，新课程改革是方向 随着新课程改革的不断深入，执行和推广新课标是大势所趋，所以新课标中新增加的教学内容会不断地出现在今后的高考试题中。特别是今年高考中未涉及到的线性规划、三角函数的图象及变换、二项式定理、积分、独立性检验（2×2列联表）与回归分析中的基本概念和性质、茎叶图、回归直线方程等，我们在今后的高三复习中更应引起重视。‎ ‎4.注重高考的指挥棒作用，命题动向是航向 ‎ ‎2011高考试题与以往有很大的不同，对今年高考试题、外省试题的研究，有利于把握下一年的命题动向。比如今年试题中压轴题是立体几何题，与往年压轴题比难度明显要低，可用向量法和综合法均可解，但学生能成功解答的并不多。这要求我们回归立体几何的核心——培养学生的空间想象能力和推理论证能力。所以教学中不能完全依赖向量工具，也要注重培养学生的空间想象能力和推理论证能力，也就是要适当加强学生用综合法解立体几何题的训练。‎ ‎【参考文献】‎ ‎1.教育部考试中心，《普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科）》，2011.3‎ ‎2.江西省考试中心《2011年普通高等学校招生全国统一考试江西卷数学考试说明（理科）》，2011.3‎ ‎3.江西省《2011年普通高等学校招生统一考试试题、参考答案》（江西卷），2011.6‎ ‎2011年7月 http://563.ys168.com 下载地址 高考题库9361套 中考题库12356套 会考题库1586套 中学题库4358套 小学题库15892套 公考题库3265套 教师题库5012套 邮政题库363套 信合题库1062套 计算机题库2865套 音乐题库158套 美术题库213套 水利题库325套 电力题库562套 更多题库 》 》 》‎ 考题宝