函数与导数2009年高考原题 75页

‎ ‎ ‎ 2009年高考数学试题分类汇编——函数 一、选择题 ‎1.(2009年广东卷文)若函数是函数的反函数，且，则 ‎ A． B． C． D．2 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的反函数是,又,即,‎ 所以,,故,选A.‎ ‎2.(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是 ‎ A. B.(0,3) C.(1,4) D. 21世纪教育网 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,令,解得,故选D ‎3.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( B ) ‎ ‎(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2‎ 解:设切点，则,又 ‎.故答案选B ‎ ‎4.（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与 都是奇函数，则( D ) ‎ ‎(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 ‎ ‎(C) (D) 是奇函数 解: 与都是奇函数，，‎ 函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D ‎5.（2009浙江理）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有 ‎．下列结论中正确的是 ( )‎ A．若，，则 B．若，，且，则 C．若，，则 21世纪教育网 ‎ D．若，，且，则 答案：C ‎ ‎【解析】对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有．‎ ‎6.（2009浙江文）若函数，则下列结论正确的是（ ）‎ A．，在上是增函数21世纪教育网 ‎ B．，在上是减函数 C．，是偶函数 D．，是奇函数 C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问．‎ ‎【解析】对于时有是一个偶函数 ‎7.（2009北京文）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ ）‎ ‎ A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ‎ B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ‎ C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ‎ D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ‎【答案】C ‎.w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．.‎ 故应选C.‎ ‎8.（2009北京理）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ ）‎ ‎ A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ‎ B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ‎ C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ‎ D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. 21世纪教育网 ‎ ‎ A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．.‎ 故应选C.‎ ‎9. (2009山东卷理)函数的图像大致为( ).‎ ‎1 ‎ x ‎ y ‎ ‎1 ‎ O ‎ A ‎ x ‎ y ‎ O ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ B ‎ x ‎ y ‎ O ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ C ‎ x ‎ y ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ D ‎ O ‎ ‎【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. ‎ 答案:A.‎ ‎【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.‎ ‎10.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )‎ A.-1 B. 0 C.1 D. 2‎ ‎【解析】:由已知得,,,‎ ‎,,‎ ‎,,,‎ 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.‎ 答案:C.‎ ‎【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.‎ ‎11.(2009山东卷文)函数的图像大致为( ). ‎ ‎1 ‎ x ‎ y ‎ ‎1 ‎ O ‎ A ‎ x ‎ y ‎ O ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ B ‎ x ‎ y ‎ O ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ C ‎ x ‎ y ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ D ‎ O ‎ ‎【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. ‎ 答案:A.‎ ‎【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.‎ ‎12. (2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（3）的值为( )‎ A.-1 B. -2 C.1 D. 2‎ ‎【解析】:由已知得,,,‎ ‎,,故选B.‎ 答案:B. ‎ ‎【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.‎ ‎13.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ). ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【解析】:因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,,,又因为在R上是奇函数， ,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D. ‎ 答案:D.‎ ‎【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. ‎ ‎14.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=(x0)的反函数是 ‎ （A）（x0） （B）（x0）‎ ‎ （B）（x0） （D）（x0） ‎ 答案：B 解析：本题考查反函数概念及求法，由原函数x0可知AC错,原函数y0可知D错，选B.‎ ‎15.（2009全国卷Ⅱ文）函数y=的图像 ‎ （A） 关于原点对称 （B）关于主线对称 ‎ （C） 关于轴对称 （D）关于直线对称 答案：A 解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。‎ ‎16.（2009全国卷Ⅱ文）设则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案：B 解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c=lge, 作商比较知c>b,选B。‎ ‎17.（2009广东卷理）若函数是函数的反函数，其图像经过点，则 A. B. C. D. ‎ ‎【解析】，代入，解得，所以，选B.‎ ‎18.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 A. 在时刻，甲车在乙车前面 ‎ B. 时刻后，甲车在乙车后面 C. 在时刻，两车的位置相同 D. 时刻后，乙车在甲车前面 ‎【解析】由图像可知，曲线比在0～、0～与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A. ‎ ‎19.（2009安徽卷理）设＜b,函数的图像可能是 ‎ ‎ ‎ ‎[解析]：，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。‎ 或当时，当时，选C ‎20.（2009安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 ‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎[解析]：由得，‎ 即，∴∴，∴切线方程为 ‎，即选A ‎21.（2009安徽卷文）设，函数的图像可能是 ‎【解析】可得的两个零解.‎ 当时,则 当时,则当时,则选C。‎ ‎【答案】C ‎22.（2009江西卷文）函数的定义域为 A．　　　B．　　　C．　　　　D．‎ 答案：D ‎【解析】由得或,故选D. ‎ ‎23.（2009江西卷文）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为 A．　　　 B．　　 　C．　　　 　D．‎ 答案：C ‎【解析】,故选C.‎ ‎24.（2009江西卷文）如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为 ‎ ‎ 答案：B ‎【解析】由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.‎ ‎25.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ‎ A．或 B．或 C．或 D．或 答案：A ‎【解析】设过的直线与相切于点，所以切线方程为 即，又在切线上，则或，‎ 当时，由与相切可得，‎ 当时，由与相切可得，所以选.‎ ‎26.（2009江西卷理）函数的定义域为 A．　　　B．　　　C．　　　　D．‎ 答案：C ‎【解析】由.故选C ‎27.（2009江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 A．　　　B．　　　C．　　　　D．‎ 答案：A ‎【解析】由已知，而，所以故选A ‎28.（2009江西卷理）设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为 A． B． C． D．不能确定21世纪教育网 ‎ 答案：B ‎【解析】，，，，选B ‎29.（2009天津卷文）设，则 A ax,x下面的不等式在R内恒成立的是 A B C D ‎【答案】A ‎ 【解析】由已知，首先令 ，排除B，D。然后结合已知条件排除C,得到A ‎【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。‎ ‎32.(2009湖北卷理)设a为非零实数，函数 A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】由原函数是，从中解得即原函数反函数是，故选择D ‎32.(2009湖北卷理)设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径 A.成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C ‎ C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C ‎ ‎9.【答案】D ‎【解析】由题意可知球的体积为，则，由此可得，而球的表面积为，‎ 所以，‎ 即，故选D ‎33.（2009四川卷文）函数的反函数是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，又因原函数的值域是，‎ ‎∴其反函数是 ‎34.（2009四川卷文）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有 ‎ ，则的值是 ‎ A. 0 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】若≠0，则有，取，则有：‎ ‎ （∵是偶函数，则 ）‎ 由此得 于是，‎ ‎35.（2009全国卷Ⅱ理）曲线在点处的切线方程为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 解：,‎ 故切线方程为,即 故选B.‎ ‎36.（2009全国卷Ⅱ理）设，则 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 解：‎ ‎ .故选A.‎ ‎37.（2009湖南卷文）的值为【 D 】‎ A． B． C． D． ‎ 解:由,易知D正确. ‎ ‎38.（2009湖南卷文）若函数的导函数在区间上是增函数，‎ 则函数在区间上的图象可能是【 A 】‎ y a b a b a o x o x y b a o x y o x y b A ． B． C． D．‎ 解: 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上 各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数噢.‎ ‎39.（2009湖南卷文）设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数 ‎ ‎ 取函数。当=时，函数的单调递增区间为【 C 】‎ A ． B． C ． D ． ‎ 解: 函数，作图易知，‎ 故在上是单调递增的，选C. ‎ ‎40.（2009福建卷理）下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>‎ 的是 A．= B. = C .= D ‎ ‎【答案】：A ‎[解析]依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。‎ ‎41.（2009福建卷理）函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是 A. B C D ‎ ‎【答案】：D ‎[解析]本题用特例法解决简洁快速，对方程中分别赋值求出代入求出检验即得.‎ ‎42. （2009辽宁卷文）已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23) 且3＋log23＞4‎ ‎ ∴＝f(3＋log23)‎ ‎ ＝‎ ‎43.（2009辽宁卷文）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是 ‎（A）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，）‎ ‎【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)‎ ‎ ∴得f(|2x－1|)＜f(),再根据f(x)的单调性 ‎ 得|2x－1|＜ 解得＜x＜‎ ‎【答案】A ‎44.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝‎ ‎（A） (B)3 (C) (D)4‎ ‎【解析】由题意 ①‎ ‎ ②‎ ‎ 所以,‎ ‎ 即2‎ ‎ 令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)‎ ‎ ∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2 于是2x1＝7－2x2‎ ‎【答案】C ‎45.（2009宁夏海南卷理）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值 ‎ 设f（x）=min{, x+2,10-x} (x 0),则f（x）的最大值为 ‎（A）4 （B）5 （C）6 （D）7‎ 解析：选C ‎46.（2009陕西卷文）函数的反函数为 ‎ ‎（A） (B) ‎ ‎（C） (D)学科 答案：D. 解析:令原式 则 ‎ ‎ 故 故选D.‎ ‎47.（2009陕西卷文）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ 答案:A. ‎ 解析:由等价，于则在上单调递增, 又是偶函数,故在单调递减.且满足时, , ,得,故选A.‎ ‎48.（2009陕西卷文）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为 ‎(A) (B) (C) (D) 1‎ 答案:B 解析: 对,令得在点（1，1）处的切线的斜率,在点 ‎（1，1）处的切线方程为,不妨设,则, 故选 B.‎ ‎49.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足：对任意 的，有.‎ 则当时,有 ‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (C) (D) ‎ 答案：C ‎50.（2009四川卷文）函数的反函数是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，又因原函数的值域是，‎ ‎∴其反函数是 ‎51.（2009四川卷文）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有 ‎ ，则的值是 ‎ A. 0 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】若≠0，则有，取，则有：‎ ‎ （∵是偶函数，则 ）‎ 由此得 于是，‎ ‎52.（2009全国卷Ⅰ文）已知函数的反函数为，则 ‎（A）0 （B）1 （C）2 （D）4‎ ‎【解析】本小题考查反函数，基础题。‎ 解：由题令得，即，又，所以，故选择C。‎ ‎53.（2009湖北卷文）函数的反函数是 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】可反解得且可得原函数中y∈R、y≠-1所以且x∈R、x≠-1选D ‎54.(2009湖南卷理)若a＜0，＞1，则 (D)‎ A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜0‎ ‎【答案】：D ‎【解析】由得由得，所以选D项。‎ ‎55.(2009湖南卷理)如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 则 [ B]‎ A B ‎ C D ‎ ‎【答案】：B ‎【解析】解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在是连续的，可知参数，即排除C，D项，又取，知对应函数值，由图可知所以，即选B项。‎ ‎56.(2009湖南卷理)设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数 ‎ ‎ 取函数=。若对任意的，恒有=，则 ‎ A．K的最大值为2 B. K的最小值为2‎ C．K的最大值为1 D. K的最小值为1 【D】‎ ‎【答案】：D ‎【解析】由知，所以时，，当时，，所以即的值域是，而要使在上恒成立，结合条件分别取不同的值，可得D符合，此时。故选D项。‎ ‎57.（2009天津卷理）设函数则 A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。‎ C在区间内有零点，在区间内无零点。‎ D在区间内无零点，在区间内有零点。 ‎ ‎【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。‎ 解析：由题得，令得；令得；‎ 得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。‎ ‎58.（2009天津卷理）已知函数若则实数的取值范围是 ‎ A B C D ‎ ‎【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。‎ 解析：由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。‎ ‎59.（2009四川卷理）已知函数连续，则常数的值是 Ａ.２　　 Ｂ.３　　 　Ｃ.４　　 　Ｄ.５ ‎ ‎【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。‎ 解析：由题得，故选择B。‎ 解析2：本题考查分段函数的连续性．由，，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知，可得．故选B．‎ ‎60.（2009四川卷理）已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 ‎ A.0 B. C.1 D. ‎ ‎ 【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12）‎ 解析：令，则；令，则 由得，所以 ‎，故选择A。‎ ‎61.（2009福建卷文）下列函数中，与函数 有相同定义域的是 ‎ A . B. C. D.‎ 解析 解析 由可得定义域是的定义域；的定义域是≠0；的定义域是定义域是。故选A.‎ ‎62.（2009福建卷文）定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是 A．‎ B. ‎ C. ‎ D．‎ 解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在 上单调递减，注意到要与的单调性不同，故所求的函数在上应单调递增。而函数在上递减；函数在时单调递减；函数在（上单调递减，理由如下y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数，有y’=-<0(x<0),故其在（上单调递减，不符合题意，综上选C。‎ ‎63.（2009福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是 A. B. ‎ C. D. ‎ 解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。‎ ‎64.19.（2009重庆卷文）把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 解析根据题意曲线C的解析式为则方程，即，即对任意恒成立，于是的最大值，令则 由此知函数在（0，2）上为增函数，在上为减函数，所以当时，函数取最大值，即为4，于是。‎ 二、填空题 ‎1.（2009辽宁卷文）若函数在处取极值，则 ‎ ‎【解析】f’(x)＝‎ ‎ f’(1)＝＝0 Þ a＝3‎ ‎【答案】3‎ ‎2.（2009重庆卷理）若是奇函数，则 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解法1‎ ‎3.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .‎ 解析 解析：由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。‎ 解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填 或是。‎ 解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得 ‎4.（2009上海卷文） 函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由y＝x3+1，得x＝，将y改成x，x改成y可得答案。‎ ‎5.（2009北京文）已知函数若，则 . ‎ ‎.w.w.k.s.5【答案】‎ ‎.w【解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ 由，无解，故应填.‎ ‎6.（2009北京理）若函数 则不等式的解集为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ （1）由.‎ ‎ （2）由.‎ ‎ ∴不等式的解集为，∴应填.‎ ‎7.（2009江苏卷）函数的单调减区间为 . ‎ ‎【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。‎ ‎，‎ 由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。‎ ‎8.（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . ‎ ‎【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。 ‎ ‎，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）‎ ‎9.（2009江苏卷）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 . ‎ ‎【解析】考查指数函数的单调性。 ‎ ‎，函数在R上递减。由得：m0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .‎ ‎【解析】: 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是 答案: ‎ ‎【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.‎ ‎12.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则 ‎ ‎【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以 ‎-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 ‎ y ‎ x ‎ f(x)=m (m>0) ‎ 答案:-8‎ ‎【命题立意】:本题综合考查了函数的 奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由 函数图象解答方程问题,运用数形结合 的思想和函数与方程的思想解答问题. ‎ ‎13.(2009山东卷文)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 . ‎ ‎【解析】: 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是. ‎ 答案: ‎ ‎【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.‎ ‎14.（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：‎ ‎①设是平面上的线性变换，，则 ‎ ‎②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； ‎ ‎③对，则是平面上的线性变换； ‎ ‎④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。‎ 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】①：令，则故①是真命题 ‎ 同理，④：令，则故④是真命题 ‎ ③：∵，则有 ‎ ‎ 是线性变换，故③是真命题 ‎ ②：由，则有 ‎ ‎ ‎ ∵是单位向量，≠0，故②是假命题 ‎【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。‎ ‎15.（2009福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.‎ ‎【答案】：‎ ‎ 解析：由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，‎ 所以。‎ ‎16.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 . ‎ 答案：-2‎ ‎17.（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：‎ ‎①设是平面上的线性变换，，则 ‎ ‎②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； ‎ ‎③对，则是平面上的线性变换； ‎ ‎④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。‎ 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】①：令，则故①是真命题 ‎ 同理，④：令，则故④是真命题 ‎ ③：∵，则有 ‎ 是线性变换，故③是真命题 ‎ ②：由，则有 ‎ ‎ ‎ ∵是单位向量，≠0，故②是假命题 ‎【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。‎ ‎18.（2009宁夏海南卷文）曲线在点（0,1）处的切线方程为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即 ‎19.（2009重庆卷文）记的反函数为，则方程的解 ．‎ ‎【答案】2‎ 解法1由，得，即，于是由，解得 解法2因为，所以 三、解答题 ‎1.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数 ‎(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值 ‎(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.‎ ‎【解析】（1）设，则；‎ ‎ 又的图像与直线平行 ‎ ‎ 又在取极小值， ， ‎ ‎ ， ；‎ ‎ ， 设 ‎ 则 ‎ ；21世纪教育网 ‎ ‎ （2）由，‎ ‎ 得 ‎ ‎ 当时，方程有一解，函数有一零点；‎ ‎ 当时，方程有二解，若，，‎ ‎ 函数有两个零点；若，‎ ‎ ，函数有两个零点；‎ ‎ 当时，方程有一解, , 函数 有一零点 21世纪教育网 ‎ ‎2.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）‎ 设函数在两个极值点，且 ‎（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；‎ ‎(II)证明：‎ 分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。‎ 大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根 则有 故有 ‎ 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。‎ ‎(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。‎ 解： 由题意有．．．．．．．．．．．．①‎ 又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②‎ ‎　　　消去可得．‎ 又，且 ‎ www.ks5u.com ‎3.（2009浙江理）（本题满分14分）已知函数，，‎ 其中．21世纪教育网 ‎ ‎ （I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；‎ ‎ （II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一 的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存 在，请说明理由．‎ 解析：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得 21世纪教育网 ‎ ‎，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；21世纪教育网 ‎ ‎（II）当时有；‎ 当时有，因为当时不合题意，因此，‎ 下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；‎ 当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；‎ 同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．21世纪教育网 ‎ ‎4.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数 ．‎ ‎ （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；‎ ‎ （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．‎ 解析：（Ⅰ）由题意得 ‎ 又 ，解得，或 ‎ （Ⅱ）函数在区间不单调，等价于 ‎ 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 ‎ 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ‎ ， 即：‎ ‎ 整理得：，解得 ‎5.（2009北京文）（本小题共14分）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.‎ ‎【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．‎ ‎（Ⅰ）,‎ ‎∵曲线在点处与直线相切，‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）∵,‎ 当时，，函数在上单调递增，‎ 此时函数没有极值点.‎ 当时，由，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 当时，，函数单调递增，‎ ‎∴此时是的极大值点，是的极小值点.‎ ‎6.（2009北京理）（本小题共13分）‎ 设函数 ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.‎ ‎21世纪教育网 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．‎ ‎（Ⅰ）,‎ ‎ 曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）由，得，‎ ‎ 若，则当时，，函数单调递减，‎ ‎ 当时，，函数单调递增，‎ ‎ 若，则当时，，函数单调递增，‎ ‎ 当时，，函数单调递减，‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，‎ 即时，函数内单调递增，‎ 若，则当且仅当，‎ 即时，函数内单调递增，‎ 综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.‎ ‎7.（2009江苏卷）(本小题满分16分) ‎ 设为实数，函数. ‎ ‎(1)若，求的取值范围； ‎ ‎(2)求的最小值； ‎ ‎(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.‎ ‎【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分 ‎（1）若，则 ‎（2）当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 综上 ‎（3）时，得，‎ 当时，；‎ 当时，△>0,得：‎ 讨论得：当时，解集为;‎ 当时，解集为;‎ 当时，解集为.‎ ‎8.(2009山东卷理)（本小题满分12分）‎ 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.‎ ‎（1）将y表示成x的函数；‎ ‎（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。‎ A ‎ B ‎ C ‎ x ‎ 解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC,,‎ 其中当时，y=0.065,所以k=9‎ 所以y表示成x的函数为 ‎（2）,,令得,所以,即,当时, ‎ ‎,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.‎ 解法二: （1）同上.‎ ‎（2）设,‎ 则,,所以 当且仅当即时取”=”.‎ 下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.‎ 设04×240×240‎ ‎9 m1m2<9×160×160所以,‎ 所以即函数在(0,160)上为减函数.‎ 同理,函数在(160,400)上为增函数,设1609×160×160‎ 所以,‎ 所以即函数在(160,400)上为增函数.‎ 所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,‎ 所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.‎ ‎【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.‎ ‎9.(2009山东卷文)（本小题满分12分）‎ 已知函数,其中 ‎ （1） 当满足什么条件时,取得极值?‎ （2） 已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.‎ 解: (1)由已知得,令,得,‎ 要取得极值,方程必须有解,‎ 所以△,即, 此时方程的根为 ‎,,‎ 所以 ‎ 当时,‎ x ‎(-∞,x1)‎ x 1‎ ‎(x1,x2)‎ x2‎ ‎(x2,+∞)‎ f’(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f (x)‎ 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.‎ 当时, ‎ x ‎(-∞,x2)‎ x 2‎ ‎(x2,x1)‎ x1‎ ‎(x1,+∞)‎ f’(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f (x)‎ 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.‎ 综上,当满足时, 取得极值. ‎ ‎(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.‎ 即恒成立, 所以 设,,‎ 令得或(舍去), ‎ 当时,,当时,单调增函数;‎ 当时,单调减函数,‎ 所以当时,取得最大,最大值为.‎ 所以 当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以 综上,当时, ; 当时, ‎ ‎【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.‎ ‎10.设函数，其中常数a>1‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。21世纪教育网 ‎ 解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。‎ 解： （I） 21世纪教育网 ‎ ‎ 由知，当时，，故在区间是增函数；‎ ‎ 当时，，故在区间是减函数；‎ ‎ 当时，，故在区间是增函数。‎ ‎ 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。‎ ‎ （II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由假设知21世纪教育网 ‎ ‎ 即 解得 11时, ‎ 当x变化时，与的变化情况如下表：‎ x ‎+‎ ‎－‎ ‎+‎ 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。‎ ‎②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R ‎③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 21世纪教育网 ‎ 综上：‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；‎ 当时，函数的单调增区间为R；‎ 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.‎ ‎(Ⅱ)由得令得 由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。‎ 观察的图象，有如下现象：‎ ‎①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。‎ ‎②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；‎ ‎③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；‎ 线段MP的斜率Kmp 当Kmp－=0时，解得 直线MP的方程为 21世纪教育网 ‎ 令 当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。‎ 当时，.‎ 所以存在使得 即当MP与曲线有异于M,P的公共点21世纪教育网 ‎ 综上，t的最小值为2.‎ ‎（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为 解法二：‎ ‎（1）同解法一.‎ ‎（2）由得，令，得 由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()‎ ‎ (Ⅰ) 直线MP的方程为 由 得 线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数 上有零点.‎ 因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.‎ 又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.‎ 等价于 即 又因为,所以m 的取值范围为(2,3)‎ 从而满足题设条件的r的最小值为2.‎ ‎22.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）‎ 设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。‎ （I） 求a的值，并讨论f（x）的单调性；‎ （II） 证明：当 ‎ 解：（Ⅰ）.有条件知，‎ ‎ ，故. ………2分 ‎ 于是.‎ ‎ 故当时，＜0； ‎ ‎ 当时，＞0.‎ ‎ 从而在，单调减少，在单调增加. ………6分 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为，‎ 最小值为. ‎ ‎ 从而对任意，，有. ………10分 ‎ 而当时，.‎ ‎ 从而 ………12分 ‎23.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）‎ 已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。‎ ‎（1）讨论函数的单调性； ‎ ‎（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。‎ 解：(1)的定义域为。‎ ‎2分 ‎（i）若即,则 故在单调增加。‎ ‎(ii)若,而,故,则当时，;‎ 当及时，‎ 故在单调减少，在单调增加。‎ ‎(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.‎ ‎(II)考虑函数 ‎ 则 由于11,证明对任意的c,都有M>2: ‎ ‎ (Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。‎ 本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）‎ ‎（I）解：，由在处有极值 可得 解得或 若，则，此时没有极值；‎ 若，则 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ 极小值 极大值 当时，有极大值，故，即为所求。‎ ‎（Ⅱ）证法1：‎ 当时，函数的对称轴位于区间之外。‎ 在上的最值在两端点处取得 故应是和中较大的一个 即 证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，‎ 在上的最值在两端点处取得。‎ 故应是和中较大的一个 假设，则 ‎ 21世纪教育网 ‎ 将上述两式相加得：‎ ‎，导致矛盾，‎ ‎（Ⅲ）解法1：‎ ‎（1）当时，由（Ⅱ）可知；‎ ‎（2）当时，函数）的对称轴位于区间内， ‎ 此时 由有 ‎①若则，‎ 于是 ‎②若，则 于是 综上，对任意的、都有 而当时，在区间上的最大值 故对任意的、恒成立的的最大值为。‎ 解法2：‎ ‎（1）当时，由（Ⅱ）可知； ‎ ‎（2）当时，函数的对称轴位于区间内，‎ 此时 ‎ ‎ ‎，即 下同解法1‎ ‎29.（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ (1) 设，求函数的极值；‎ (2) 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.‎ 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 ‎ ‎（21）解：‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得21世纪教育网 ‎ ‎ 令 ‎ 列表讨论的变化情况：‎ ‎（-1，3）‎ ‎3‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值6‎ 极小值-26‎ 所以，的极大值是，极小值是 ‎（Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.‎ 若上是增函数，从而 ‎ 上的最小值是最大值是 由于是有 ‎ 由 所以 ‎ 若a>1,则不恒成立.‎ 所以使恒成立的a的取值范围是 ‎ ‎30.(2009湖南卷理)（本小题满分13分）‎ 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。‎ ‎ （Ⅰ）试写出关于的函数关系式；‎ ‎ （Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？‎ 解 （Ⅰ）设需要新建个桥墩，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，‎ ‎ 令，得，所以=64 21世纪教育网 ‎ ‎ 当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数； ‎ 当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数，‎ 所以在=64处取得最小值，此时，‎ 故需新建9个桥墩才能使最小。‎ ‎31.（2009天津卷理）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数其中 （1） 当时，求曲线处的切线的斜率； ‎ （2） 当时，求函数的单调区间与极值。 ‎ 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。‎ ‎（I）解：‎ ‎（II） ‎ 以下分两种情况讨论。‎ ‎（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ ‎（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ ‎32.（2009四川卷理）（本小题满分12分）‎ 已知函数。‎ ‎（I）求函数的定义域，并判断的单调性；‎ ‎（II）若 ‎（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。‎ 本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。‎ 解：（Ⅰ）由题意知 当 当 当….（4分）‎ ‎（Ⅱ）因为 由函数定义域知>0,因为n是正整数，故00……..3分 故单调递减 ‎ 当，掌握程度的增长量总是下降……………..6分 ‎（2）由题意可知0.1+15ln=0.85……………….9分 整理得 解得…….13分 由此可知，该学科是乙学科……………..14分 ‎ ‎35.（2009年上海卷理）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。‎ ‎ 已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。‎ （1） 判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由； ‎ （2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；‎ （3） 设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。‎ 解：（1）函数的反函数是 ‎ ‎ 而其反函数为 ‎ 故函数不满足“1和性质”‎ ‎（2）设函数满足“2和性质”，‎ ‎…….6分 而得反函数………….8分 由“2和性质”定义可知=对恒成立 即所求一次函数为………..10分 ‎ ‎（3）设，，且点在图像上，则在函数图象上，‎ 故，可得， 　　．．．．．．12分 ‎， ‎ 令，则。，即。　　　　．．．．．．14分 综上所述，，此时，其反函数就是，‎ 而，故与互为反函数 。 ．．．．．．16分 ‎36.（2009上海卷文）‎ ‎（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分 .有时可用函数 ‎ ‎ 描述学习某学科知识的掌握程度.其中表示某学科知识的学习次数（），表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.‎ ‎（1）证明：当x 7时，掌握程度的增长量f（x+1）- f(x)总是下降； ‎ ‎（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121］,(121,127］,‎ ‎(127,133］.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.‎ 证明（1）当时，‎ 而当时，函数单调递增，且 故函数单调递减 ‎ 当时，掌握程度的增长量总是下降21世纪教育网 ‎ ‎(2)有题意可知 整理得 解得…….13分 由此可知，该学科是乙学科……………..14分 ‎37.（2009重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）‎ 设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数，讨论的单调性． ‎ 解（Ⅰ）因 又在x=0处取得极限值，故从而 21世纪教育网 ‎ 由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知 该切线斜率为2，即 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 令 ‎（1）当 ‎（2）当 K=1时，g（x）在R上为增函数 ‎（3）方程有两个不相等实根 ‎ 21世纪教育网 ‎ 当函数 当时，故上为减函数 时，故上为增函数 ‎38.（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问5分）‎ 已知为偶函数，曲线过点，．‎ ‎（Ⅰ）求曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若当时函数取得极值，确定的单调区间．‎ 解: （Ⅰ）为偶函数,故即有 ‎ 解得 又曲线过点,得有 从而,曲线有斜率为0的切线，故有有实数解.即有实数解.此时有解得 ‎ ‎ 所以实数的取值范围:‎ ‎（Ⅱ）因时函数取得极值,故有即,解得 又 令,得 当时, ,故在上为增函数 当时, ,故在上为减函数 当时, ,故在上为增函数21世纪教育网 ‎