三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 数列的综合应用 文 3页

第48课 数列的综合应用 ‎ ‎1．（2019东城质检）把数列的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如右图所示的数表，第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则这个数可记为( ______)‎ ‎【解析】设数表的第一个数的分母为数列，‎ ‎∴第行的第个数为，‎ 令，且，‎ ‎∴第行的第个数为，‎ ‎∴，解得，∴．‎ ‎2．（2019朝阳二模）在如图所示的数表中，第行第列的数记为，且满足，，则此数表中的第2行第7列的数是 ；记第3行的数3，5，8，13，22，39，为数列，则数列的通项公式是 ．‎ 第1行 1 2 4 8 …‎ 第2行 2 3 5 9 …‎ 第3行 3 5 8 13 …‎ ‎… …‎ ‎【答案】，‎ 第1行 1 2 4 8 16 32 64 …‎ 第2行 2 3 5 9 17 33 65 …‎ ‎【解析】直接写出前两行，‎ 由上数表可知第2行第7列的数是．‎ ‎∵第3行的数3，5，8，13，22，39，为数列，‎ ‎3．（2019江门一模）某学校每星期一供应1000名学生、两种菜。调查表明，凡在这星期一选种菜的，下星期一会有改选种菜；而选种菜的，下星期一会有改选种菜．设第个星期一选、两种菜分别有、名学生．‎ ‎（1）若，求、；‎ ‎（2）求，并说明随着时间推移，选A种菜的学生将稳定在名附近．‎ ‎【解析】（1）， ‎ ‎（2），，‎ ‎∴是以为首项，为公比的等比数列, ‎ 随着时间推移，即越来越大时，趋于, ‎ ‎∴趋于，趋于并稳定在附近． ‎ ‎4．（2019山东诸城质检）某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形.‎ ‎（1）求出的值；‎ ‎（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与之间的关系式，并根据你得到的关系式求出的表达式；‎ ‎（3）求…的值.‎ ‎【解析】（1）．‎ ‎（2），，‎ 由上式规律，得出，‎ 上述个等式相加可得：‎ ‎（3）当时，．‎ ‎5．设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列．‎ ‎(1)证明：为等比数列； ‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【解析】将直线的倾斜角记为，‎ 则有， ‎ 设的圆心为，‎ 则由题意可知，得； ‎ 同理， ‎ 将代入，解得， ‎ ‎∴为公比的等比数列．‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴，从而，‎ 记，则有 ‎①②得 ‎6（2019佛山一模）设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为．‎ ‎（1）用表示和；‎ ‎（2）若数列满足：．‎ ①求常数的值使数列成等比数列；‎ ②比较与的大小． ‎ ‎【解析】(1) 与圆交于点,则, ‎ 由题可知，点的坐标为，从而直线的方程为, ‎ 由点在直线上得: , ‎ 将，代入化简得: ． ‎ ‎(2)由得：，‎ 又，故，‎ ①‎ 令得：‎ 由等式对任意成立得：‎ ‎，解得：或．‎ 故当时，数列成公比为的等比数列；‎ 当时，数列成公比为2的等比数列． ‎ ②由①知：，‎ 当时，；‎ 当时，． ‎ 事实上,令,则，‎ 故是增函数,‎ 即． ‎