步步高高考数学第一轮知识点巩固题库函数的单调性与最值含解析新人教A版 4页

第2讲 函数的单调性与最值 一、选择题 ‎1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是 ‎(　　)．‎ A．y＝x2B．y＝|x|＋1‎ C．y＝－lg|x| D．y＝2|x|‎ 解析　对于C中函数，当x>0时，y＝－lg x，故为(0，＋∞)上的减函数，且y＝－lg |x|为偶函数．‎ 答案　C ‎2．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)＜f(1)的实数x的取值范围是(　　)‎ A．(－1,1) B．(0,1)‎ C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ 解析∵f(x)在R上为减函数且f(|x|)＜f(1)，‎ ‎∴|x|＞1，解得x＞1或x＜－1.‎ 答案　D ‎3．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是(　　)‎ A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 解析∵y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，‎ ‎∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－<0，‎ ‎∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．‎ 答案B ‎4．设函数f(x)＝g(x)＝x‎2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是(　　)．‎ A．(－∞，0] B．[0,1)‎ C．[1，＋∞) D．[－1,0]‎ 解析　g(x)＝如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.‎ 答案B ‎5．函数y＝－x2＋2x－3(x＜0)的单调增区间是(　　)‎ A．(0，＋∞) B．(－∞，1]‎ C．(－∞，0) D．(－∞，－1]‎ 解析　二次函数的对称轴为x＝1，又因为二次项系数为负数，拋物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(－∞，0)．‎ 答案　C ‎6．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为(　　)．‎ A．(－∞，0) B．(0，＋∞) ‎ C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)‎ 解析f(x)＝⇔‎ f(x)＝ f(x)的图象如右图所示，因此f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．‎ 答案C 二、填空题 ‎7．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)＝________.‎ 解析　∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1.‎ 当－2≤a<1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，ymin＝a2－‎2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1.‎ 综上，g(a)＝ 答案　 ‎8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是_______．‎ 解析y＝－(x－3)|x|‎ ‎＝ 作出该函数的图像，观察图像知递增区间为.‎ 答案 ‎9．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是________．‎ 解析①当a＝0时，f(x)＝－12x＋5在(－∞，3)上为减函数；②当a＞0时，要使f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则对称轴x＝必在x＝3的右边，即≥3，故0＜a≤；③当a＜0时，不可能在区间(－∞，3)上恒为减函数．综合知：a的取值范围是.‎ 答案 ‎10．已知函数f(x)＝(a是常数且a>0)．对于下列命题：‎ ‎①函数f(x)的最小值是－1；‎ ‎②函数f(x)在R上是单调函数；‎ ‎③若f(x)>0在上恒成立，则a的取值范围是a>1；‎ ‎④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有 f<.‎ 其中正确命题的序号是____________．‎ 解析　根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)>0在上恒成立，则‎2a×－1>0，a>1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<成立，故④正确．‎ 答案　①③④‎ 三、解答题 ‎11．求函数y＝a1－x2(a>0且a≠1)的单调区间．‎ 解当a>1时，函数y＝a1－x2在区间[0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0]上是增函数；‎ 当0x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，‎ 由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，‎ x1x2>0.‎ 要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，‎ 只需f(x1)－f(x2)<0，‎ 即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16.‎ ‎13．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.‎ ‎(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；‎ ‎(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．‎ 解　(1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减．‎ ‎(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.‎ ‎(i)当a<0，b>0时，x>－，‎ 解得x>log；‎ ‎(ii)当a>0，b<0时，x<－，‎ 解得x0时，f(x)>1.‎ ‎(1)求证：f(x)是R上的增函数；‎ ‎(2)若f(4)＝5，解不等式f(‎3m2‎－m－2)<3.‎ 解(1)证明　设x1，x2∈R，且x10，∴f(x2－x1)>1.‎ f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)‎ ‎＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.‎ ‎∴f(x2)>f(x1)．即f(x)是R上的增函数．‎ ‎(2)　∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，‎ ‎∴f(2)＝3，‎ ‎∴原不等式可化为f(‎3m2‎－m－2)