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  • 2021-05-14 发布

2013高考数学秒杀必备攻克圆锥曲线解答题的策略论文

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攻克圆锥曲线解答题的策略 摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题,提高成绩,战胜高考,可从四个方面着手:知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。‎ 关键词:知识储备 方法储备 思维训练 强化训练 第一、知识储备:‎ ‎1. 直线方程的形式 ‎(1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。‎ ‎(2)与直线相关的重要内容 ‎①倾斜角与斜率 ‎②点到直线的距离 ③夹角公式:‎ ‎(3)弦长公式 直线上两点间的距离:‎ ‎ 或 ‎(4)两条直线的位置关系 ‎①=-1 ② ‎ ‎2、圆锥曲线方程及性质 ‎(1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式)‎ ‎ 标准方程:‎ ‎ 距离式方程:‎ ‎ 参数方程:‎ ‎(2)、双曲线的方程的形式有两种 ‎ 标准方程:‎ ‎ 距离式方程:‎ ‎(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?‎ ‎ ‎ ‎(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗?‎ 如:已知是椭圆的两个焦点,平面内一个动点M满足则动点M的轨迹是( )‎ A、双曲线;B、双曲线的一支;C、两条射线;D、一条射线 ‎(5)、焦点三角形面积公式:‎ ‎ ‎ ‎(其中)‎ ‎(6)、记住焦半径公式:(1),可简记为“左加右减,上加下减”。‎ ‎ (2)‎ ‎ (3)‎ ‎(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? ‎ 第二、方法储备 ‎1、点差法(中点弦问题)‎ 设、,为椭圆的弦中点则有 ‎,;两式相减得 ‎=‎ ‎2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什么?如果有两个参数怎么办?‎ ‎ 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判别式,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点,将这两点代入曲线方程得到两个式子,然后-,整体消元······‎ ‎,若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为,就意味着k存在。‎ 例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上,且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).‎ ‎(1)若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程;‎ ‎(2)若角A为,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.‎ 分析:第一问抓住“重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率,从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为可得出AB⊥AC,从而得,然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程;‎ 解:(1)设B(,),C(,),BC中点为(),F(2,0)‎ 则有 两式作差有 ‎ ‎ (1) F(2,0)为三角形重心,所以由,得 由得, 代入(1)得 直线BC的方程为 2)由AB⊥AC得 (2)‎ 设直线BC方程为,得 ‎ ‎, 代入(2)式得 ,解得或 直线过定点(0,,设D(x,y)‎ 则 即 所以所求点D的轨迹方程是。‎ ‎4、设而不求法 例2、如图,已知梯形ABCD中,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点当时,求双曲线离心率的取值范围。‎ 分析:本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系,如图,若设C,代入,求得,进而求得再代入,建立目标函数,整理,此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,‎ 建立目标函数,整理,化繁为简.‎ ‎ 解法一:如图,以AB为垂直平分线为轴,直线AB为轴,建立直角坐标系,则CD⊥轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于轴对称 ‎ 依题意,记A,C,E,其中为双曲线的半焦距,是梯形的高 由定比分点坐标公式得 ‎ ,‎ ‎ ‎ 设双曲线的方程为,则离心率 由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 ‎ , ①‎ ‎ ② ‎ 由①式得 , ③‎ 将③式代入②式,整理得 ‎ ‎ ,‎ 故 ‎ 由题设得,‎ 解得 ‎ 所以双曲线的离心率的取值范围为 ‎ 分析:考虑为焦半径,可用焦半径公式, 用的横坐标表示,回避的计算, 达到设而不求的解题策略.‎ ‎ 解法二:建系同解法一,,‎ ‎,又,代入整理,由题设 得,‎ 解得 ‎ 所以双曲线的离心率的取值范围为 ‎ ‎5、判别式法 例3已知双曲线,直线过点,斜率为,当时,双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为,试求的值及此时点B的坐标。‎ 分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:过点B作与平行的直线,必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发,可设计如下解题思路:‎ 把直线l’的方程代入双曲线方程,消去y,令判别式 直线l’在l的上方且到直线l的距离为 解题过程略.‎ 分析2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”,相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路:‎ 转化为一元二次方程根的问题 求解 问题 关于x的方程有唯一解 简解:设点为双曲线C上支上任一点,则点M到直线的距离为:‎ ‎ ‎ 于是,问题即可转化为如上关于的方程.‎ 由于,所以,从而有 于是关于的方程 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由可知:‎ ‎ 方程的二根同正,故恒成立,于是等价于 ‎.‎ ‎ 由如上关于的方程有唯一解,得其判别式,就可解得 .‎ 点评:上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的优越性.‎ 例4已知椭圆C:和点P(4,1),过P作直线交椭圆于A、B两点,在线段AB上取点Q,使,求动点Q的轨迹所在曲线的方程.‎ 分析:这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往往不知从何入手。其实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此,首先是选定参数,然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的.‎ 由于点的变化是由直线AB的变化引起的,自然可选择直线AB的斜率作为参数,如何将与联系起来?一方面利用点Q在直线AB上;另一方面就是运用题目条件:来转化.由A、B、P、Q四点共线,不难得到,要建立与的关系,只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程,利用韦达定理即可.‎ 通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,已经做到心中有数. ‎ 将直线方程代入椭圆方程,消去y,利用韦达定理 利用点Q满足直线AB的方程:y = k (x—4)+1,消去参数k 点Q的轨迹方程 ‎ ‎ 在得到之后,如果能够从整体上把握,认识到:所谓消参,目的不过是得到关于的方程(不含k),则可由解得,直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。‎ 简解:设,则由可得:,‎ 解之得: (1)‎ 设直线AB的方程为:,代入椭圆C的方程,消去得出关于 x的一元二次方程:‎ ‎ (2)‎ ‎∴ ‎ 代入(1),化简得: (3)‎ 与联立,消去得:‎ 在(2)中,由,解得 ,结合(3)可求得 ‎ 故知点Q的轨迹方程为: ().‎ 点评:由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、韦达定理模块思维易于想到.‎ ‎ 这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参.,而“引参、用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.‎ ‎6、求根公式法 例5设直线过点P(0,3),和椭圆顺次交于A、B两点,试求的取值范围.‎ 分析:本题中,绝大多数同学不难得到:=,但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路:其一是构造所求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程),这只需利用对应的思想实施;其二则是构造关于所求量的一个不等关系.‎ 分析1: 从第一条想法入手,=已经是一个关系式,但由于有两个变量,同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程,消去y得出关于的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.‎ 所求量的取值范围 把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程 xA= f(k),xB = g(k)‎ 得到所求量关于k的函数关系式 求根公式 AP/PB = —(xA / xB)‎ 由判别式得出k的取值范围 简解1:当直线垂直于x轴时,可求得;‎ 当与x轴不垂直时,设,直线的方程为:,代入椭圆方程,消去得 解之得 ‎ 因为椭圆关于y轴对称,点P在y轴上,所以只需考虑的情形.‎ 当时,,,‎ 所以 ===.‎ 由 , 解得 ,‎ 所以 ,‎ 综上 .‎ ‎ 分析2: 如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到:判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后,解决问题的方法自然也就有了,即我们可以构造关于的对称关系式.‎ 把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程 xA+ xB = f(k),xA xB = g(k)‎ 构造所求量与k的关系式 关于所求量的不等式 韦达定理 AP/PB = —(xA / xB)‎ 由判别式得出k的取值范围 简解2:设直线的方程为:,代入椭圆方程,消去得 ‎ (*)‎ 则 令,则,‎ 在(*)中,由判别式可得 ,‎ 从而有 ,‎ 所以 ,‎ 解得 .‎ 结合得. ‎ 综上,.‎ 点评:范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界性法,函数的性质法,数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解法.‎ 解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的胜利并不能说明问题,有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在,只有见微知著,树立全局观念,讲究排兵布阵,运筹帷幄,方能决胜千里.‎ 第三、推理训练:数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解题方法,达到解题目标,得出结论的一系列推理过程。在推理过程中,必须注意所使用的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等),做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑,快速提高解题能力。‎ 例6椭圆长轴端点为,为椭圆中心,为椭圆的右焦点,且,.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)记椭圆的上顶点为,直线交椭圆于两点,问:是否存在直线,使点恰为的垂心?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由。‎ 思维流程:‎ 写出椭圆方程 由,‎ ‎,‎ ‎(Ⅰ) ‎ ‎ ‎ 由F为的重心 ‎(Ⅱ) ‎ 两根之和,‎ 两根之积 得出关于 m的方程 解出m ‎ 消元 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解题过程: ‎ ‎(Ⅰ)如图建系,设椭圆方程为,则 又∵即 ‎ ‎∴ ‎ 故椭圆方程为 ‎ ‎ (Ⅱ)假设存在直线交椭圆于两点,且恰为的垂心,则 设,∵,故,‎ 于是设直线为 ,由得 ‎ ‎ ‎∵ 又 得 即 ‎ 由韦达定理得 ‎ ‎ 解得或(舍) 经检验符合条件.‎ 点石成金:垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两向量乘积为零.‎ 例7、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过、、三点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程:‎ ‎(Ⅱ)若点D为椭圆上不同于、的任意一点,,当Δ内切圆的面积最大时,求Δ内心的坐标;‎ 由椭圆经过A、B、C三点 设方程为 得到的方程组 解出 思维流程:‎ ‎(Ⅰ) ‎ ‎ ‎ 由内切圆面积最大 转化为面积最大 转化为点的纵坐标的绝对值最大最大 为椭圆短轴端点 面积最大值为 ‎(Ⅱ) ‎ ‎ ‎ 得出点坐标为 解题过程:‎ ‎ (Ⅰ)设椭圆方程为 将、、代入椭圆E的方程,得 解得.‎ ‎∴椭圆的方程 . ‎ ‎(Ⅱ),设Δ边上的高为 ‎ 当点在椭圆的上顶点时,最大为,所以的最大值为.‎ ‎ 设Δ的内切圆的半径为,因为Δ的周长为定值6.所以,‎ ‎ 所以的最大值为.所以内切圆圆心的坐标为.‎ 点石成金: ‎ 例8、已知定点及椭圆,过点的动直线与椭圆相交于两点.‎ ‎(Ⅰ)若线段中点的横坐标是,求直线的方程;‎ ‎(Ⅱ)在轴上是否存在点,使为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 思维流程:‎ ‎(Ⅰ)解:依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为,‎ 将代入, 消去整理得 ‎ 设 ‎ 则 ‎ 由线段中点的横坐标是, 得,‎ 解得,符合题意。‎ 所以直线的方程为 ‎ ‎,或 . ‎ ‎(Ⅱ)解:假设在轴上存在点,使为常数.‎ ‎① 当直线与轴不垂直时,由(Ⅰ)知 ‎ 所以 ‎ 将代入,整理得 ‎ ‎ ‎ 注意到是与无关的常数, 从而有, 此时 ‎ ‎② 当直线与轴垂直时,此时点的坐标分别为,当时, 亦有 ‎ ‎ 综上,在轴上存在定点,使为常数.‎ 点石成金:‎ ‎ ‎ 例9、已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),交椭圆于A、B两个不同点。‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎ (Ⅱ)求m的取值范围;‎ ‎ (Ⅲ)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.‎ 思维流程:‎ 解:(1)设椭圆方程为 则 ∴椭圆方程为 ‎(Ⅱ)∵直线l平行于OM,且在y轴上的截距为m 又KOM= ‎ 由 ‎∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点, ‎ ‎(Ⅲ)设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2,只需证明k1+k2=0即可 设 ‎ 则 由 而 故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.‎ 点石成金:直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形 例10、已知双曲线的离心率,‎ 过的直线到原点的距离是 ‎ (1)求双曲线的方程;‎ ‎ (2)已知直线交双曲线于不同的点C,D且C,D都在以B为圆心的圆上,求k的值.‎ ‎ 思维流程:‎ 解:∵(1)原点到直线AB:的距离 ‎.‎ ‎ 故所求双曲线方程为 ‎ ‎(2)把中消去y,整理得 .‎ ‎ 设的中点是,则 ‎ ‎ ‎ ‎ 即 故所求k=±.‎ 点石成金: C,D都在以B为圆心的圆上BC=BDBE⊥CD;‎ 例11、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆C的标准方程;‎ ‎ (II)若直线y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.‎ 思维流程:‎ 解:(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为,‎ ‎ 由已知得:,‎ ‎ 椭圆的标准方程为.‎ ‎ (II)设.‎ ‎ 联立 ‎ 得 ,则 ‎ ‎ ‎ 又.‎ ‎ 因为以为直径的圆过椭圆的右顶点,‎ ‎ ,即. .‎ ‎ . .‎ ‎ 解得:,且均满足.‎ ‎ 当时,的方程,直线过点,与已知矛盾;‎ ‎ 当时,的方程为,直线过定点.‎ ‎ 所以,直线过定点,定点坐标为.‎ 点石成金:以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 CA⊥CB;‎ 例12、已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.‎ ‎(Ⅰ)若当点P的坐标为时,,求双曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.‎ 思维流程:‎ 解:(Ⅰ)(法一)由题意知,, ,‎ ‎, (1分)‎ 解得 . 由双曲线定义得: ‎ ‎, ‎ ‎ 所求双曲线的方程为: ‎ ‎ (法二) 因,由斜率之积为,可得解.‎ ‎(Ⅱ)设,‎ ‎ (法一)设P的坐标为, 由焦半径公式得,,, ‎ 的最大值为2,无最小值. 此时,‎ 此时双曲线的渐进线方程为 ‎ ‎(法二)设,.‎ ‎(1)当时, , ‎ 此时 .‎ ‎(2)当,由余弦定理得:‎ ‎ ,‎ ‎,,综上,的最大值为2,但无最小值. (以下法一)‎